Как построить эпюру перемещений: пошаговое решение

Дано: ступенчатый стальной брус защемлён левым концом, ось $x$ направлена вправо вдоль бруса. Участок 1 от заделки: $l_1 = 0{,}4$ м, $A_1 = 4$ см². Участок 2: $l_2 = 0{,}5$ м, $A_2 = 2$ см². Участок 3 до свободного торца: $l_3 = 0{,}3$ м, $A_3 = 2$ см². Силы: $F_1 = 40$ кН вправо в сечении $x = 0{,}4$ м, $F_2 = 60$ кН влево в сечении $x = 0{,}9$ м, $F_3 = 30$ кН вправо на торце $x = 1{,}2$ м. Модуль упругости $E = 2 \cdot 10^5$ МПа. Найти: эпюру перемещений $u(x)$.

Перемещение сечения - это сумма удлинений всех участков, лежащих между ним и заделкой, а удлинение каждого участка даёт закон Гука $\Delta l = Nl/(EA)$. Считать надо строго от заделки, где перемещение равно нулю. Ответ: $u_1 = 0{,}05$ мм, $u_2 = -0{,}325$ мм, $u_3 = -0{,}10$ мм; наибольшее по модулю перемещение $0{,}325$ мм в сечении $x = 0{,}9$ м, а свободный торец смещается к заделке всего на $0{,}10$ мм. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: схема, эпюра $N$ и эпюра перемещений стоят там в одном масштабе по длине, так что каждый излом ломаной видно на своём месте.

Решение по шагам

Шаг 1. Продольные силы на участках. Перемещения считаются через $N$, поэтому эпюра продольных сил строится первой. Удобно резать брус от свободного торца: тогда реакция заделки в расчёт не входит вовсе, а в сумму попадают только силы правее сечения.

$$\begin{aligned} N_3 &= F_3 = 30\ \text{кН}, \\ N_2 &= F_3 + F_2 = 30 - 60 = -30\ \text{кН}, \\ N_1 &= F_3 + F_2 + F_1 = 30 - 60 + 40 = 10\ \text{кН}. \end{aligned}$$

Знак взят стандартный: растягивающая сила положительна, сжимающая отрицательна. Первый и третий участки растянуты, средний сжат. Сама техника построения эпюры $N$ с правилом знаков и скачков разобрана отдельно - построение эпюры продольных сил; здесь она нужна только как заготовка.

Шаг 2. Удлинение каждого участка. Теперь к каждому участку применяем закон Гука. Удобно сразу перевести всё в миллиметры и ньютоны: $l$ в мм, $A$ в мм², $E$ в Н/мм², тогда $\Delta l$ получится в мм.

$$\begin{aligned} \Delta l_1 &= \frac{N_1 l_1}{E A_1} = \frac{10 \cdot 10^3 \cdot 400}{2 \cdot 10^5 \cdot 400} = 0{,}050\ \text{мм}, \\ \Delta l_2 &= \frac{N_2 l_2}{E A_2} = \frac{-30 \cdot 10^3 \cdot 500}{2 \cdot 10^5 \cdot 200} = -0{,}375\ \text{мм}, \\ \Delta l_3 &= \frac{N_3 l_3}{E A_3} = \frac{30 \cdot 10^3 \cdot 300}{2 \cdot 10^5 \cdot 200} = 0{,}225\ \text{мм}. \end{aligned}$$

Обрати внимание: у второго и третьего участков модуль силы одинаковый и площадь одинаковая, а удлинения разные - работает длина. Второй участок длиннее, поэтому он даёт больший вклад, хотя напряжения на обоих участках равны по модулю.

Шаг 3. Накопление перемещений от заделки. В заделке сечение не движется, значит $u(0) = 0$. Дальше идём слева направо и каждый раз прибавляем удлинение пройденного участка:

$$\begin{aligned} u_0 &= 0, \\ u_1 &= u_0 + \Delta l_1 = 0{,}050\ \text{мм}, \\ u_2 &= u_1 + \Delta l_2 = 0{,}050 - 0{,}375 = -0{,}325\ \text{мм}, \\ u_3 &= u_2 + \Delta l_3 = -0{,}325 + 0{,}225 = -0{,}100\ \text{мм}. \end{aligned}$$

Положительное $u$ означает смещение вправо, от заделки; отрицательное - влево, к заделке. Сечение $x = 0{,}4$ м ушло вправо, а всё, что правее, уехало влево, потому что сжатие среднего участка перекрыло растяжение первого.

Шаг 4. Построение эпюры. Отложи найденные ординаты в узлах $x = 0;\ 0{,}4;\ 0{,}9;\ 1{,}2$ м и соедини их прямыми: внутри участка $N$ и $EA$ постоянны, поэтому перемещение меняется линейно. Получается ломаная с нулём в заделке, максимумом $+0{,}050$ мм в первом узле и минимумом $-0{,}325$ мм во втором.

Ответ: эпюра перемещений - ломаная $0 \to 0{,}050 \to -0{,}325 \to -0{,}100$ мм. Наибольшее по модулю перемещение $|u|_{\max} = 0{,}325$ мм в сечении $x = 0{,}9$ м, полное укорочение бруса $\Delta l = -0{,}100$ мм.

Формула и откуда она берётся

Закон Гука при растяжении-сжатии связывает относительную деформацию и нормальное напряжение: $\varepsilon = \sigma / E$. Подставь сюда $\sigma = N/A$ и $\varepsilon = \Delta l / l$ - получится рабочая формула участка:

$$\Delta l = \frac{N l}{E A}.$$

Знаменатель $EA$ называют жёсткостью сечения при растяжении-сжатии. Чем он больше, тем меньше брус деформируется под той же силой, поэтому ступень с площадью 4 см² при одинаковой силе тянется вдвое меньше, чем ступень с 2 см². Подробнее про саму связь напряжений и деформаций - в разборе закона Гука при растяжении и сжатии, а про смысл $\varepsilon$ - в заметке об абсолютном и относительном удлинении стержня.

В общем виде перемещение произвольного сечения записывается интегралом от деформации вдоль оси:

$$u(x) = \int_0^x \varepsilon(t)\, dt = \int_0^x \frac{N(t)}{E A(t)}\, dt.$$

Отсюда следует всё, чем пользуются при построении. Перемещение - это интеграл, то есть площадь под эпюрой $N/(EA)$; значит, на каждом участке с постоянными $N$ и $A$ функция линейна, а её наклон равен относительной деформации $\varepsilon = N/(EA)$. Для нашего бруса наклоны такие: $1{,}25 \cdot 10^{-4}$, $-7{,}5 \cdot 10^{-4}$ и $+7{,}5 \cdot 10^{-4}$. Самый крутой спуск - на среднем участке, там брус и сжимается сильнее всего.

Форма эпюры и четыре проверки

Правильно построенную эпюру перемещений видно по форме, и это быстрее, чем пересчитывать арифметику.

Первое: в заделке ордината строго нулевая. Если у тебя там не ноль, значит счёт вёлся от свободного конца - типичная ошибка, при которой вся эпюра оказывается сдвинутой на постоянную величину.

Второе: у эпюры перемещений нет скачков. Брус сплошной, соседние сечения не могут разъехаться, поэтому под сосредоточенной силой эпюра $N$ прыгает, а эпюра $u$ только ломается. Вертикальный участок на ломаной означает ошибку.

Третье: излом ставится там, где меняется $N$ или площадь. В нашей задаче узлы $x = 0{,}4$ и $x = 0{,}9$ м совпали и с силой, и со ступенью сечения, но так бывает не всегда: если площадь меняется в сечении, где сил нет, излом там всё равно будет.

Четвёртое: знак наклона обязан совпасть со знаком $N$ на том же участке. Растянутый участок даёт возрастающую линию, сжатый - убывающую. Сверь эпюры $N$ и $u$ по вертикали: на калькуляторе сверху они нарочно стоят одна под другой.

Если сечение переменное или брус нагружен своим весом

Формула $\Delta l = Nl/(EA)$ работает, пока $N$ и $A$ постоянны на участке. Как только что-то из этого меняется по длине, участок считают интегралом. Самый частый случай - собственный вес: продольная сила растёт линейно от свободного конца к заделке, $N(x) = \gamma A x$, и интеграл даёт $\Delta l = \gamma L^2/(2E)$, а эпюра перемещений становится квадратной параболой вместо прямой. Полезно помнить, что вес действует как половина собранной в торце силы той же величины.

Второй случай - статически неопределимый брус, защемлённый с обоих концов. Там продольные силы по статике не находятся: нужно уравнение совместности деформаций, и роль его играет ровно эпюра перемещений. Условие простое: суммарное перемещение второй заделки равно нулю, то есть $\sum \Delta l_i = 0$. Из этого уравнения находят лишнюю реакцию, а дальше всё считается как в обычном брусе.

Заодно по найденным $N$ полезно посмотреть напряжения: $\sigma_1 = 25$ МПа, $\sigma_2 = -150$ МПа, $\sigma_3 = 150$ МПа. Сталь с допускаемым $[\sigma] = 160$ МПа условие прочности выдерживает, хотя запас на двух тонких участках почти исчерпан. Как считают такие напряжения, разобрано в статье про нормальные напряжения при растяжении стержня, а расчёт по жёсткости для изгиба - в разборе как найти прогиб балки.

Частые ошибки

• Счёт от свободного конца, а не от заделки. Ноль перемещения там, где сечение закреплено. Если начать с торца, вся эпюра съедет на постоянную величину, хотя форма останется правильной.
• Потерянный знак продольной силы. Сжатый участок укорачивается, и его $\Delta l$ отрицателен. Подставив $|N|$, получишь монотонно растущую эпюру там, где она должна нырять вниз.
• Перемещение перепутано с удлинением. $\Delta l_i$ относится к участку, $u_i$ - к сечению. В нашей задаче $\Delta l_3 = +0{,}225$ мм, а $u_3 = -0{,}100$ мм: участок растянулся, но торец всё равно стоит левее исходного положения.
• Максимум ищут на торце. Наибольшее по модулю перемещение здесь в среднем узле, а не на свободном конце. При знакопеременной эпюре $N$ проверять надо все узлы.
• Несогласованные единицы. Классика - кН и м вместе с МПа и см². Переводи заранее: 1 см² = 100 мм², 1 кН = 1000 Н, МПа = Н/мм².
• Забытая ступень сечения. Границу участка ставят не только под силой, но и там, где меняется площадь: на таком стыке эпюра ломается без всякой силы.

FAQ

Чем эпюра перемещений отличается от эпюры продольных сил? Эпюра $N$ показывает внутреннее усилие в сечении и меняется скачками под сосредоточенными силами. Эпюра $u$ показывает, насколько сечение уехало от исходного положения, и скачков не имеет вовсе - только изломы. Строятся они последовательно: сначала $N$, потом по ней $u$.

Почему перемещение свободного конца меньше, чем в среднем сечении? Потому что участки работают по-разному: первый растянут, второй сжат, третий снова растянут. Перемещения складываются алгебраически, и растяжение третьего участка частично возвращает торец обратно. Если бы все участки были растянуты, максимум действительно оказался бы на торце.

Нужно ли учитывать реакцию заделки? При счёте продольных сил от свободного конца - нет, она не попадает ни в одну сумму. Реакцией удобно проверить результат: здесь $R = -N_1 = -10$ кН, то есть 10 кН влево, и это совпадает с суммой внешних сил, взятой с обратным знаком.

Что делать, если задан не модуль упругости, а материал? Взять табличное значение: сталь $2 \cdot 10^5$ МПа, медь $1{,}1 \cdot 10^5$ МПа, алюминий $0{,}7 \cdot 10^5$ МПа, чугун около $1{,}2 \cdot 10^5$ МПа. В калькуляторе сверху материал переключается чипами, и видно, что при той же нагрузке алюминиевый брус деформируется почти втрое сильнее стального.

Коротко

1. Построй эпюру продольных сил: реж брус от свободного конца, складывай силы правее сечения с их знаками. Здесь $N_1 = 10$ кН, $N_2 = -30$ кН, $N_3 = 30$ кН.
2. Посчитай удлинение каждого участка по закону Гука $\Delta l = Nl/(EA)$, переведя длины в мм, площади в мм², силы в Н. Получилось $0{,}050$, $-0{,}375$ и $0{,}225$ мм.
3. Прими $u = 0$ в заделке и иди от неё, прибавляя удлинения по очереди: $0{,}050$, затем $-0{,}325$, затем $-0{,}100$ мм.
4. Соедини ординаты прямыми внутри участков: эпюра перемещений непрерывна, изломы стоят в узлах, наклон на участке равен $\varepsilon = N/(EA)$.
5. Ответ: $|u|_{\max} = 0{,}325$ мм в сечении $x = 0{,}9$ м, полное укорочение бруса $0{,}100$ мм.