Как найти жёсткость сечения: EA, EI и GIp

Дано: двутавр №20 по ГОСТ 8239-89, площадь сечения $A = 26{,}8$ см$^2$, осевой момент инерции $I_x = 1840$ см$^4$, материал сталь с модулем упругости $E = 2 \cdot 10^5$ МПа и модулем сдвига $G = 8 \cdot 10^4$ МПа. Найти: жёсткость сечения при растяжении, изгибе и кручении и сравнить её с круглым стержнем той же площади.

Жёсткость сечения - это произведение упругой постоянной материала на геометрическую характеристику сечения: $EA$ при растяжении, $EI$ при изгибе, $GI_p$ при кручении. Считается она в три умножения, вся сложность - в переводе единиц и в том, какую именно геометрическую характеристику брать для кручения. Ответ: $EA = 536$ МН, $EI = 3680$ кН$\cdot$м$^2$, $GI_{\text{кр}} = 4{,}62$ кН$\cdot$м$^2$; круг той же площади даёт те же 536 МН, но всего 114 кН$\cdot$м$^2$ на изгиб и сразу 91,4 кН$\cdot$м$^2$ на кручение. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: столбики показывают, как расходятся жёсткости четырёх сечений, в которые уложена одна и та же площадь металла.

Решение по шагам

Дано. Сведём исходные данные в таблицу и сразу переведём их в ньютоны и миллиметры: модуль упругости в мегапаскалях - это ньютоны на квадратный миллиметр, поэтому сантиметры в расчёт пускать нельзя.

Шаг 1. Жёсткость при растяжении и сжатии. Здесь работает вся площадь сечения целиком, форма роли не играет:

$$EA = 2 \cdot 10^5 \cdot 2680 = 5{,}36 \cdot 10^8 \ \text{Н} = 536 \ \text{МН}.$$

Шаг 2. Жёсткость при изгибе. Берём осевой момент инерции относительно той оси, вокруг которой сечение поворачивается при изгибе. Для балки, поставленной стенкой вертикально, это ось $x$:

$$EI_x = 2 \cdot 10^5 \cdot 1{,}84 \cdot 10^7 = 3{,}68 \cdot 10^{12} \ \text{Н} \cdot \text{мм}^2 = 3680 \ \text{кН} \cdot \text{м}^2 .$$

Перевод простой: $1$ кН$\cdot$м$^2 = 10^3$ Н $\cdot 10^6$ мм$^2 = 10^9$ Н$\cdot$мм$^2$, поэтому результат в ньютонах на миллиметр в квадрате делим на миллиард.

Шаг 3. Жёсткость при кручении. Вот тут спотыкается большинство: у двутавра нельзя брать $I_p = I_x + I_y$. Полярный момент инерции годится только для круглых сечений, где при кручении плоские сечения остаются плоскими. Двутавр - открытый тонкостенный профиль, его стенка и полки при кручении коробятся, и работает геометрическая характеристика $I_{\text{кр}}$, собранная из прямоугольников:

$$I_{\text{кр}} = \frac{\eta}{3} \sum b_i t_i^3 = \frac{1{,}2}{3} \left( 2 \cdot 100 \cdot 8{,}4^3 + 183{,}2 \cdot 5{,}2^3 \right) = 0{,}4 \cdot 144\,302 = 57\,720 \ \text{мм}^4 .$$

Здесь полки двутавра №20 имеют размеры $100 \times 8{,}4$ мм, стенка - $183{,}2 \times 5{,}2$ мм, поправка $\eta = 1{,}2$ учитывает сопряжения полок со стенкой. Получилось 5,77 см$^4$ против 1840 см$^4$ на изгиб, и жёсткость выходит соответствующая:

$$GI_{\text{кр}} = 8 \cdot 10^4 \cdot 5{,}772 \cdot 10^4 = 4{,}62 \cdot 10^9 \ \text{Н} \cdot \text{мм}^2 = 4{,}62 \ \text{кН} \cdot \text{м}^2 .$$

Шаг 4. Круг той же площади. Чтобы сравнение было честным, возьмём круглый стержень с такой же площадью 2680 мм$^2$, то есть с тем же расходом металла:

$$d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 2680}{3{,}1416}} = 58{,}4 \ \text{мм}, \qquad I = \frac{\pi d^4}{64} = 5{,}72 \cdot 10^5 \ \text{мм}^4, \qquad I_p = 2I = 1{,}14 \cdot 10^6 \ \text{мм}^4 .$$

Отсюда $EI = 114$ кН$\cdot$м$^2$ и $GI_p = 91{,}4$ кН$\cdot$м$^2$, а жёсткость на растяжение у него ровно такая же, как у двутавра, - 536 МН.

Ответ: $EA = 536$ МН, $EI_x = 3680$ кН$\cdot$м$^2$, $GI_{\text{кр}} = 4{,}62$ кН$\cdot$м$^2$. При одинаковом расходе металла двутавр жёстче круга на изгиб в 32 раза и мягче его на кручение в 20 раз, а на растяжение оба сечения работают одинаково.

Формула и откуда она берётся

Все три жёсткости приходят из одного места - из закона Гука, записанного для соответствующего вида нагружения. При растяжении относительное удлинение равно $\varepsilon = N/(EA)$, при изгибе кривизна оси равна $1/\rho = M/(EI)$, при кручении относительный угол закручивания равен $\theta = T/(GI_p)$. В каждой формуле произведение упругой постоянной на геометрическую характеристику стоит в знаменателе и играет роль коэффициента сопротивления деформации.

Отсюда и название. Чем больше это произведение, тем меньше деформация при том же усилии, поэтому его и зовут жёсткостью сечения. Материал в нём отвечает за упругость ($E$ или $G$), геометрия - за то, как удачно материал разнесён по сечению ($A$, $I$ или $I_p$).

Разница между тремя случаями в том, какая геометрическая характеристика включается. Растяжение чувствует только количество металла, поэтому в формуле стоит площадь. Изгиб и кручение чувствуют, насколько далеко металл отодвинут от оси, поэтому в формулах стоят моменты инерции, в которые расстояние входит в квадрате. Именно поэтому двутавр, у которого полки унесены от нейтральной оси на 100 мм, выигрывает у компактного круга в десятки раз, хотя металла в нём столько же. Как эти моменты инерции считаются для составных фигур и почему оси выбирают главными центральными, разобрано в статье про главные центральные моменты инерции сечения.

Жёсткость сечения и жёсткость стержня: не путать

В задачах встречаются два похожих термина, и подменять один другим нельзя. Жёсткость сечения - это $EA$, $EI$ или $GI_p$: характеристика самого сечения вместе с материалом, длина в неё не входит. Измеряется она в Н для растяжения и в Н$\cdot$мм$^2$ для изгиба и кручения.

Жёсткость стержня - это коэффициент $c$ в записи «сила равна жёсткость на перемещение», как у пружины. Он уже зависит от длины и от схемы закрепления: при растяжении $c = EA/L$, при кручении $c = GI_p/L$, а для балки на двух опорах с силой посередине $c = 48EI/L^3$. Размерность у него Н/мм или Н$\cdot$м/рад.

Проверить себя просто: если в ответе должны получиться ньютоны на миллиметр, речь о жёсткости стержня и длину надо подставлять. Если единицы содержат мм$^2$ или м$^2$, это жёсткость сечения, и длина в расчёт не входит вовсе.

Как жёсткость сечения влияет на перемещения

Смысл всех трёх чисел виден только на перемещениях. Возьмём стержень длиной $L = 2$ м из нашего двутавра: продольная сила $N = 400$ кН, распределённая нагрузка $q = 10$ кН/м на двух опорах, крутящий момент $T = 0{,}5$ кН$\cdot$м.

$$\Delta l = \frac{NL}{EA} = \frac{400 \cdot 10^3 \cdot 2000}{5{,}36 \cdot 10^8} = 1{,}49 \ \text{мм}, \qquad f = \frac{5qL^4}{384EI} = 0{,}57 \ \text{мм}, \qquad \varphi = \frac{TL}{GI_{\text{кр}}} = 0{,}217 \ \text{рад} = 12{,}4^\circ .$$

У круглого стержня той же площади удлинение получится точно такое же - 1,49 мм, ведь $EA$ у них совпадает. А вот прогиб вырастет до 18,2 мм, то есть в 32 раза, зато угол закручивания упадёт до 0,63 градуса. Это и есть практический вывод: форму сечения выбирают под тот вид нагружения, который в конструкции главный.

Дальше жёсткость сечения работает в двух типовых расчётах. Первый - проверка по допускаемому прогибу, когда $EI$ подставляют в готовую формулу перемещения и сравнивают результат с нормой вроде $L/250$; подробный разбор такой проверки есть на странице как найти прогиб балки. Второй - подбор сечения, когда из условия жёсткости получают требуемый момент инерции и лезут в сортамент, как в разборе подбора сечения балки и подбора диаметра вала.

Частые ошибки

• Смешивать сантиметры с мегапаскалями. Момент инерции из сортамента дан в см$^4$, а $E$ в МПа - это Н/мм$^2$. Либо всё переводится в миллиметры, либо ответ ошибается в $10^4$ раз.
• Брать для двутавра полярный момент инерции. Сумма $I_x + I_y = 1955$ см$^4$ даёт крутильную жёсткость в 340 раз больше реальной. Для открытых профилей работает только $I_{\text{кр}} = \eta \sum b_i t_i^3 / 3$.
• Подставлять $E$ вместо $G$. Модуль сдвига связан с модулем упругости как $G = E / \left[ 2(1+\nu) \right]$ и для стали примерно в 2,6 раза меньше. Про сам коэффициент Пуассона $\nu$ проще всего вспомнить по определению через поперечную деформацию.
• Считать, что больше площадь - значит жёстче на изгиб. Площадь отвечает только за $EA$. Два сечения с одинаковой площадью могут отличаться по $EI$ в десятки раз.
• Брать не ту ось. У двутавра №20 $I_y = 115$ см$^4$, то есть в 16 раз меньше $I_x$. Если балка положена полками вертикально, изгибная жёсткость падает до 230 кН$\cdot$м$^2$.
• Путать жёсткость с прочностью. Прочность считают через момент сопротивления $W$, а жёсткость - через момент инерции $I$. Сечение может пройти по напряжениям и не пройти по прогибу.

FAQ

Чем жёсткость сечения отличается от прочности? Прочность отвечает на вопрос, выдержит ли материал напряжения, и считается через момент сопротивления $W$. Жёсткость отвечает на вопрос, насколько конструкция деформируется, и считается через момент инерции $I$. Это независимые проверки: длинная балка часто проходит по напряжениям, но прогибается сверх нормы. Разницу между $I$ и $W$ подробно разбирает материал про момент сопротивления сечения при изгибе.

В каких единицах измеряется жёсткость сечения? При растяжении это ньютоны, потому что площадь на напряжение даёт силу. При изгибе и кручении - Н$\cdot$мм$^2$ или, что удобнее для балок, кН$\cdot$м$^2$. Перевод: $1$ кН$\cdot$м$^2 = 10^9$ Н$\cdot$мм$^2$.

Почему у двутавра нельзя брать $I_p$ при кручении? Формула $\theta = T/(GI_p)$ выведена для круглого сечения, где при закручивании плоские сечения остаются плоскими. У открытого профиля сечения коробятся, депланация снимает большую часть сопротивления, и реальная жёсткость оказывается на два порядка ниже. Если двутавр при этом зажат по концам, включается стеснённое кручение и расчёт ведут уже с секториальными характеристиками.

Как поднять жёсткость, не добавляя металла? Разнести материал подальше от оси. На изгиб это значит увеличить высоту сечения: момент инерции растёт как куб высоты, а площадь - линейно. На кручение - замкнуть контур: труба с той же площадью даёт крутильную жёсткость в сотню раз больше, чем открытый профиль, что и видно по столбикам калькулятора сверху.

Коротко

1. Жёсткость сечения - произведение упругой постоянной на геометрическую характеристику: $EA$ при растяжении, $EI$ при изгибе, $GI_p$ при кручении.
2. Перед подстановкой всё переводится в Н и мм: $A$ в мм$^2$, $I$ в мм$^4$, $E$ и $G$ в Н/мм$^2$.
3. Для двутавра №20: $EA = 2 \cdot 10^5 \cdot 2680 = 536$ МН, $EI_x = 2 \cdot 10^5 \cdot 1{,}84 \cdot 10^7 = 3680$ кН$\cdot$м$^2$.
4. При кручении открытого профиля вместо $I_p$ берут $I_{\text{кр}} = \eta \sum b_i t_i^3 / 3 = 5{,}77$ см$^4$, откуда $GI_{\text{кр}} = 4{,}62$ кН$\cdot$м$^2$.
5. Круг той же площади даёт те же 536 МН, но 114 кН$\cdot$м$^2$ на изгиб и 91,4 кН$\cdot$м$^2$ на кручение: форма решает всё, кроме растяжения.