Как найти коэффициент Пуассона: пошаговое решение

Дано: стальной образец, база $l_0 = 200$ мм, начальный диаметр $d_0 = 20$ мм, растягивающая сила $F = 50$ кН, замеренное удлинение $\Delta l = 0{,}16$ мм, уменьшение диаметра $\Delta d = 0{,}0048$ мм. Найти: коэффициент Пуассона $\mu$.

Коэффициент Пуассона ищется как отношение поперечной относительной деформации к продольной, взятое по модулю: $\mu = -\varepsilon_{\text{поп}} / \varepsilon_{\text{прод}}$. Ответ: $\mu = 0{,}30$, ровно то значение, которое справочник даёт для конструкционной стали. Калькулятор сверху пересчитывает всю цепочку для любых замеров и показывает, куда попал твой результат на шкале материалов.

Решение по шагам

Дано: $l_0 = 200$ мм; $d_0 = 20$ мм; $\Delta l = 0{,}16$ мм; $\Delta d = 0{,}0048$ мм (диаметр уменьшился); $F = 50$ кН. Найти: $\mu$.

Шаг 1. Продольная относительная деформация. Делим прирост длины на начальную длину базы. Единицы сокращаются, поэтому миллиметры в метры переводить не нужно, лишь бы обе величины были в одних единицах.

$$\varepsilon_{\text{прод}} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{0{,}16}{200} = 8{,}0 \cdot 10^{-4} = 0{,}08\ \%.$$

Шаг 2. Поперечная относительная деформация. Здесь базой служит не длина, а начальный поперечный размер: диаметр. Это ключевой момент задачи, и именно на нём теряется правильный ответ. Знак минус ставим потому, что при растяжении диаметр убывает.

$$\varepsilon_{\text{поп}} = \frac{\Delta d}{d_0} = \frac{-0{,}0048}{20} = -2{,}4 \cdot 10^{-4} = -0{,}024\ \%.$$

Шаг 3. Коэффициент Пуассона. Берём отношение двух деформаций и убираем знак: коэффициент по определению положителен.

$$\mu = -\frac{\varepsilon_{\text{поп}}}{\varepsilon_{\text{прод}}} = \frac{2{,}4 \cdot 10^{-4}}{8{,}0 \cdot 10^{-4}} = 0{,}30.$$

Шаг 4. Проверка, что опыт был упругим. Коэффициент Пуассона определён только на линейном участке диаграммы, поэтому нужно убедиться, что напряжение не вышло за предел пропорциональности. Площадь сечения и напряжение считаются так:

$$S = \frac{\pi d_0^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 20^2}{4} = 314{,}2\ \text{мм}^2, \qquad \sigma = \frac{F}{S} = \frac{50 \cdot 10^{3}}{314{,}2} = 159{,}2\ \text{МПа}.$$

Для конструкционной стали предел пропорциональности порядка 200 МПа, значит точка лежит на прямом участке и найденное отношение действительно является упругой постоянной, а не случайным числом из области пластики.

Шаг 5. Попутный результат. Раз известны напряжение и продольная деформация, из тех же данных выпадает модуль Юнга: $E = \sigma / \varepsilon_{\text{прод}} = 159{,}2 \cdot 10^{6} / 8{,}0 \cdot 10^{-4} \approx 199$ ГПа. Это тоже попадание в справочные 200 ГПа, то есть оба числа опыта согласованы между собой.

Ответ: $\mu = 0{,}30$; попутно $E \approx 199$ ГПа. Оба значения совпадают с табличными для стали, расхождение меньше процента.

Формула и откуда она берётся

Растянутый стержень не только удлиняется, но и утончается. Симеон Пуассон предложил описывать это одним числом: во сколько раз поперечное сжатие меньше продольного растяжения. Отсюда определение

$$\mu = -\frac{\varepsilon_{\text{поп}}}{\varepsilon_{\text{прод}}}, \qquad \varepsilon_{\text{прод}} = \frac{\Delta l}{l_0}, \qquad \varepsilon_{\text{поп}} = \frac{\Delta a}{a_0},$$

где $a_0$ - любой поперечный размер до нагружения: диаметр круглого образца, ширина или толщина прямоугольного. Для изотропного материала все поперечные направления равноправны, поэтому неважно, какой именно размер ты мерил.

Минус в формуле нужен ради удобства: при растяжении $\varepsilon_{\text{прод}} > 0$, а $\varepsilon_{\text{поп}} < 0$, их отношение отрицательно, и знак минус возвращает результату положительность. При сжатии обе деформации меняют знак одновременно, отношение снова отрицательно, и $\mu$ остаётся тем же положительным числом. Поэтому на практике удобно считать по модулям, а знаки держать в голове как проверку.

Коэффициент Пуассона безразмерен: это отношение двух безразмерных величин. Если в ответе получились проценты, миллиметры или паскали, где-то потеряна нормировка на начальный размер. Сама величина $\mu$ - характеристика материала, а не детали: тонкая проволока и толстый вал из одной стали дадут одинаковые 0,3, хотя удлинения и сужения у них будут разными.

Важно, что $\mu$ и продольная упругость описывают разные стороны одного и того же закона Гука. Продольная часть, связывающая $\sigma$ и $\varepsilon$, разобрана в материале про закон Гука при растяжении и сжатии; здесь мы её не повторяем, а добавляем к ней поперечную составляющую, которую одной формулой $\sigma = E\varepsilon$ не поймать.

Связь E, G и mu: третья постоянная лишняя

У изотропного материала независимых упругих постоянных всего две. Любую третью можно получить из двух других, и чаще всего этим пользуются, чтобы не ставить отдельный опыт на кручение:

$$G = \frac{E}{2(1 + \mu)}, \qquad K = \frac{E}{3(1 - 2\mu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2G} - 1.$$

Подставим числа нашей задачи. При $E = 198{,}9$ ГПа и $\mu = 0{,}30$ модуль сдвига равен $G = 198{,}9 / (2 \cdot 1{,}3) = 76{,}5$ ГПа, а модуль объёмного сжатия $K = 198{,}9 / (3 \cdot 0{,}4) = 165{,}8$ ГПа. Справочное значение $G$ для стали 77 ГПа, то есть расчёт через коэффициент Пуассона попадает в таблицу. Что такое $G$ физически и как он работает при кручении, показано в разборе чистого сдвига.

Обратная формула $\mu = E/(2G) - 1$ полезна, когда в условии даны именно $E$ и $G$, а коэффициент Пуассона спрашивают. Например, для $E = 200$ ГПа и $G = 80$ ГПа получится $\mu = 200/160 - 1 = 0{,}25$: так задают чугун и некоторые стали в задачниках.

Третье следствие двух постоянных - изменение объёма. При растяжении стержень вытягивается вдоль и сжимается поперёк, и суммарный эффект даётся формулой

$$\frac{\Delta V}{V} = \varepsilon_{\text{прод}} (1 - 2\mu) = 8{,}0 \cdot 10^{-4} \cdot (1 - 0{,}6) = 3{,}2 \cdot 10^{-4} = 0{,}032\ \%.$$

При начальном объёме $V = S l_0 = 314{,}2 \cdot 200 = 62\,832$ мм³ прирост составляет всего 20 мм³. Отсюда видно, почему $\mu = 0{,}5$ - теоретический предел: при таком значении множитель $(1 - 2\mu)$ обращается в ноль, и материал растягивается без изменения объёма. Ровно так ведут себя резина и жидкости, у которых объём практически несжимаем.

Типичные значения и границы

Для изотропного материала термодинамика ограничивает $\mu$ отрезком от $-1$ до $0{,}5$, а реальные конструкционные материалы укладываются в куда более узкий диапазон.

Пробка почти не расширяется вбок при сжатии - поэтому пробку и загоняют в горлышко бутылки, а не, скажем, резиновый цилиндр. Существуют и ауксетики, материалы с отрицательным $\mu$: при растяжении они становятся толще за счёт разворота складчатой микроструктуры. В курсе сопромата они не встречаются, но именно их существование и объясняет, почему нижняя граница отрезка равна $-1$, а не нулю.

Практический вывод для проверки ответа простой. Получил для металла $\mu$ в районе 0,25 - 0,35 - скорее всего, всё посчитано верно. Получил 0,003 или 12 - ищи ошибку в базах деформаций, а не радуйся открытию: такими значениями изотропные материалы не обладают. Поведение поперечных размеров при осевом нагружении дополняет картину нормальных напряжений при растяжении стержня, где поперечная деформация ещё не учитывается.

Частые ошибки

• Поперечное сужение делят на длину образца. Самая массовая ошибка: $\Delta d$ нормируют на $l_0 = 200$ мм вместо $d_0 = 20$ мм. Ответ выходит в десять раз меньше, 0,03 вместо 0,30, и выглядит правдоподобно ровно настолько, чтобы его не заметить.
• Переворачивают дробь. В числителе стоит поперечная деформация, в знаменателе продольная. Обратное отношение даёт $1/0{,}3 = 3{,}33$, что сразу выходит за физически возможный отрезок.
• Оставляют знак минус в ответе. Коэффициент Пуассона изотропного конструкционного материала положителен. Минус в формуле уже учтён определением, повторно его писать не нужно.
• Подставляют конечный диаметр вместо начального. Нормировать надо на $d_0$ до нагружения. Разница в четвёртом знаке, но привычка брать конечный размер потом переносится на задачи с большими деформациями, где она уже критична.
• Считают $\mu$ за пределом пропорциональности. При пластическом течении объём материала не меняется, и отношение деформаций стремится к 0,5. Полученные 0,45 - 0,50 для стали означают не свойство материала, а то, что образец уже потёк.
• Путают $\mu$ с коэффициентом Пуассона для газов. В термодинамике так же называют показатель адиабаты $\gamma = c_p/c_v$. Это совершенно другая величина, и у неё нет ни малейшего отношения к поперечной деформации.

FAQ

Может ли коэффициент Пуассона быть больше 0,5? У изотропного материала нет: при $\mu > 0{,}5$ множитель $(1 - 2\mu)$ становится отрицательным, и растянутый образец должен был бы уменьшаться в объёме, а модуль объёмного сжатия оказался бы отрицательным. Значения выше 0,5 в расчёте означают ошибку в данных или выход за предел упругости.

Как найти коэффициент Пуассона, если образец прямоугольный? Точно так же, только поперечной базой служит ширина или толщина: $\varepsilon_{\text{поп}} = \Delta b / b_0$. Для изотропного материала оба поперечных размера дают одинаковый результат, поэтому меряют тот, который удобнее, а лучше оба и усредняют.

Зачем коэффициент Пуассона нужен в расчётах? Он входит в обобщённый закон Гука для сложного напряжённого состояния, в формулы для толстостенных труб и дисков, в расчёты температурных напряжений и в связь $E$ и $G$. При одноосном растяжении без него можно обойтись, а при плоском и объёмном напряжённом состоянии - уже нет; там же пригодится умение находить главные напряжения.

Меняется ли $\mu$ с температурой? Слабо. У сталей при нагреве до нескольких сотен градусов коэффициент Пуассона растёт на сотые доли, тогда как модуль Юнга падает заметно. В учебных задачах $\mu$ считают константой материала.

Коротко

1. Найти продольную деформацию: $\varepsilon_{\text{прод}} = \Delta l / l_0 = 0{,}16/200 = 8{,}0 \cdot 10^{-4}$.
2. Найти поперечную деформацию, нормируя сужение на диаметр, а не на длину: $\varepsilon_{\text{поп}} = -0{,}0048/20 = -2{,}4 \cdot 10^{-4}$.
3. Поделить одно на другое и убрать знак: $\mu = 2{,}4 \cdot 10^{-4} / 8{,}0 \cdot 10^{-4} = 0{,}30$.
4. Проверить упругость опыта: $\sigma = F/S = 159{,}2$ МПа ниже предела пропорциональности стали, значит результат осмыслен.
5. При необходимости добрать остальные постоянные: $E = \sigma/\varepsilon_{\text{прод}} \approx 199$ ГПа, $G = E/[2(1+\mu)] = 76{,}5$ ГПа, $\Delta V/V = 0{,}032\ \%$.