Как найти модуль Юнга: пошаговое решение задачи

Дано: стальная проволока, начальная длина $l_0 = 2{,}0$ м, диаметр $d = 1{,}2$ мм, растягивающая сила $F = 200$ Н, замеренное удлинение $\Delta l = 1{,}8$ мм. Найти: модуль Юнга $E$ и сравнить его со справочным значением для стали.

Модуль Юнга находится как отношение нормального напряжения к относительной деформации, а через данные опыта это разворачивается в одну рабочую формулу $E = \dfrac{F l_0}{S \Delta l}$. Ответ: $E \approx 1{,}96 \cdot 10^{11}$ Па, то есть около 196 ГПа, что отличается от справочных 200 ГПа для стали меньше чем на 2 %. Калькулятор сверху считает всю цепочку для любых чисел и показывает наклон твоей прямой на диаграмме растяжения рядом со справочным наклоном.

Решение по шагам

Дано: $l_0 = 2{,}0$ м; $d = 1{,}2$ мм $= 1{,}2 \cdot 10^{-3}$ м; $F = 200$ Н; $\Delta l = 1{,}8$ мм $= 1{,}8 \cdot 10^{-3}$ м. Найти: $E$.

Шаг 1. Площадь поперечного сечения. Проволока круглая, поэтому сечение считается через диаметр. Переводить в метры нужно сразу: если оставить диаметр в миллиметрах, ответ уедет на шесть порядков.

$$S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot (1{,}2 \cdot 10^{-3})^2}{4} = 1{,}131 \cdot 10^{-6}\ \text{м}^2 = 1{,}131\ \text{мм}^2.$$

Шаг 2. Нормальное напряжение в сечении. Сила растягивает проволоку вдоль оси, значит она распределена по сечению равномерно:

$$\sigma = \frac{F}{S} = \frac{200}{1{,}131 \cdot 10^{-6}} = 1{,}768 \cdot 10^{8}\ \text{Па} = 176{,}8\ \text{МПа}.$$

Шаг 3. Относительная деформация. Это безразмерная величина, отношение прироста длины к исходной длине:

$$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{1{,}8 \cdot 10^{-3}}{2{,}0} = 9{,}0 \cdot 10^{-4} = 0{,}09\ \%.$$

Шаг 4. Модуль Юнга. Делим напряжение на деформацию:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{1{,}768 \cdot 10^{8}}{9{,}0 \cdot 10^{-4}} = 1{,}965 \cdot 10^{11}\ \text{Па} \approx 196\ \text{ГПа}.$$

Те же четыре действия можно свернуть в одну формулу и не считать промежуточные величины:

$$E = \frac{F l_0}{S \Delta l} = \frac{4 F l_0}{\pi d^2 \Delta l} = \frac{4 \cdot 200 \cdot 2{,}0}{3{,}1416 \cdot (1{,}2 \cdot 10^{-3})^2 \cdot 1{,}8 \cdot 10^{-3}} = 1{,}965 \cdot 10^{11}\ \text{Па}.$$

Шаг 5. Проверка, что опыт вообще был упругим. Напряжение 176,8 МПа ниже предела пропорциональности обычной конструкционной стали (порядка 200 МПа), поэтому точка лежит на прямом участке диаграммы и отношение $\sigma/\varepsilon$ действительно является модулем Юнга. Если бы напряжение оказалось выше, деформация была бы частично пластической и то же самое деление дало бы заниженное число, не имеющее отношения к табличному $E$.

Ответ: $E \approx 1{,}96 \cdot 10^{11}$ Па $\approx 196$ ГПа. Справочное значение для стали 200 ГПа, расхождение 1,8 %, то есть опыт согласуется с таблицей.

Формула и откуда она берётся

Модуль Юнга (модуль продольной упругости) вводится как коэффициент пропорциональности между напряжением и деформацией:

$$\sigma = E \varepsilon \quad \Longrightarrow \quad E = \frac{\sigma}{\varepsilon}.$$

Это и есть закон Гука при растяжении и сжатии в напряжениях; здесь мы его не выводим, а пользуемся готовым. Подставив $\sigma = F/S$ и $\varepsilon = \Delta l / l_0$, получаем рабочую формулу опыта:

$$E = \frac{F/S}{\Delta l / l_0} = \frac{F l_0}{S \Delta l}.$$

Расшифровка букв: $F$ - растягивающая сила в ньютонах, $l_0$ - длина образца до нагружения в метрах, $S$ - площадь поперечного сечения в квадратных метрах, $\Delta l$ - прирост длины в метрах. Размерность результата - паскали, потому что $\varepsilon$ безразмерна, а значит $E$ измеряется в тех же единицах, что и напряжение.

Отсюда физический смысл: модуль Юнга численно равен напряжению, которое растянуло бы образец вдвое, если бы закон Гука работал так далеко. В реальности материал разрушится гораздо раньше, поэтому $E$ - не «прочность», а мера жёсткости: чем он больше, тем меньше образец вытягивается при той же нагрузке. У стали 200 ГПа, у меди около 110 ГПа, у алюминия 70 ГПа, у бетона порядка 30 ГПа.

Важно, что $E$ - свойство материала, а не детали. Форма и размеры сидят отдельно, в жёсткости образца $k = ES/l_0$. В нашей задаче $k = F/\Delta l = 200 / 1{,}8 \cdot 10^{-3} \approx 1{,}11 \cdot 10^{5}$ Н/м: толстая проволока даст ту же сталь, но другую жёсткость. Подробнее про две меры удлинения и их роли - в разборе абсолютного и относительного удлинения стержня.

Как найти E по серии замеров, а не по одной точке

В лабораторной работе одной парой чисел не обходятся: нагрузку наращивают ступенями и записывают удлинение на каждой. Пусть для той же проволоки получены такие данные.

Считать $E$ по каждой строке отдельно и усреднять - плохая идея: погрешность маленьких удлинений велика, и первая строка утянет среднее. Правильнее взять наклон прямой. Простой вариант - по двум крайним точкам:

$$E = \frac{l_0}{S} \cdot \frac{\Delta F}{\Delta(\Delta l)} = \frac{2{,}0}{1{,}131 \cdot 10^{-6}} \cdot \frac{200 - 50}{(1{,}80 - 0{,}44) \cdot 10^{-3}} = 1{,}95 \cdot 10^{11}\ \text{Па}.$$

Аккуратный вариант - метод наименьших квадратов для прямой, проходящей через начало координат. Наклон $a = \Delta l / F$ ищется как

$$a = \frac{\sum F_i \Delta l_i}{\sum F_i^2} = \frac{674}{75\,000} = 8{,}987 \cdot 10^{-3}\ \frac{\text{мм}}{\text{Н}}, \qquad E = \frac{l_0}{S a} = 1{,}968 \cdot 10^{11}\ \text{Па}.$$

Все три оценки (196,5; 195,0; 196,8 ГПа) сходятся в пределах процента - это и есть признак того, что опыт проведён на упругом участке и данные не испорчены. Разброс в разы означал бы, что часть точек снята за пределом пропорциональности или что образец проскальзывал в захватах.

Проверка ответа и сверка со справочником

Первая проверка - порядок величины. Для металлов $E$ лежит в диапазоне десятков и сотен гигапаскалей, то есть $10^{10}$–$10^{11}$ Па. Ответ вида «196 МПа» или «196 ТПа» означает потерянные или лишние множители при переводе миллиметров в метры: это самая частая арифметическая беда в таких задачах.

Вторая проверка - обратный ход. Подставь справочные 200 ГПа в формулу удлинения $\Delta l = \dfrac{F l_0}{E S}$ и посмотри, что должно было получиться в опыте: $\Delta l = 200 \cdot 2{,}0 / (200 \cdot 10^{9} \cdot 1{,}131 \cdot 10^{-6}) = 1{,}77$ мм против замеренных 1,80 мм. Расхождение 0,03 мм укладывается в точность индикатора часового типа, и вывод формулируется так: результат опыта совпадает с табличным значением в пределах погрешности измерения.

Третья проверка - материал. Если бы та же проволока была алюминиевой, при $E = 70$ ГПа она удлинилась бы на 5,05 мм, а не на 1,8 мм. Получив «модуль Юнга стали 70 ГПа», ты почти наверняка ошибся в сечении или в переводе единиц, а не открыл новый сплав. График в калькуляторе сверху показывает это наглядно: пунктирная справочная прямая и сплошная опытная должны почти совпасть, а не расходиться веером.

Отдельно стоит помнить, что модуль Юнга описывает только продольную упругость. За сопротивление сдвигу отвечает другая константа, модуль сдвига $G$; как она работает, разобрано в материале про чистый сдвиг и закон Гука при сдвиге. Связаны они через коэффициент Пуассона: $G = E / [2(1 + \mu)]$, и для стали при $\mu = 0{,}3$ получается около 77 ГПа. Значение $E$ дальше используется почти во всех расчётах на жёсткость, от прогиба балки до подбора сечения.

Частые ошибки

• Диаметр не переведён в метры. $S = \pi d^2/4$ при $d$ в миллиметрах даёт площадь в квадратных миллиметрах, и $E$ выходит в мегапаскалях, отличаясь от правильного ответа в миллион раз. Либо всё в СИ, либо всё в мм и Н, и тогда $E$ получится в МПа.
• Радиус подставляют вместо диаметра. $S = \pi r^2$ и $S = \pi d^2/4$ - одно и то же, но если в $\pi d^2/4$ подставить радиус, площадь окажется вчетверо меньше, а модуль Юнга вчетверо больше.
• Путают $\Delta l$ и $l$. В знаменателе относительной деформации стоит начальная длина $l_0$, а в числителе прирост. Деление 2,0 м на 1,8 мм вместо обратного даёт бессмысленное $\varepsilon = 1111$.
• В условии дана масса, а не сила. Если груз задан в килограммах, сначала $F = mg$. Пропуск множителя $g = 9{,}8$ м/с² занижает $E$ почти в десять раз.
• Считают $E$ за пределом пропорциональности. Отношение $\sigma/\varepsilon$ равно модулю Юнга только на прямом участке диаграммы. После предела текучести деформация растёт почти без роста напряжения, и формула даёт заниженное число.
• Усредняют модули по точкам серии. Вместо среднего арифметического из отдельных $E_i$ берут наклон прямой по всем точкам: так малые удлинения с большой относительной погрешностью не перекашивают результат.

FAQ

В каких единицах выражается модуль Юнга? В паскалях, как и напряжение, потому что относительная деформация безразмерна. На практике пользуются гигапаскалями (сталь 200 ГПа) или мегапаскалями (сталь $2 \cdot 10^{5}$ МПа) - это одно и то же число в разных приставках. Иногда встречается запись в $\text{кгс}/\text{см}^2$ в старых справочниках.

Зависит ли модуль Юнга от размеров образца? Нет. Это характеристика материала: толстая и тонкая стальные проволоки дадут одинаковое $E$, хотя удлинятся по-разному. Размеры влияют на жёсткость образца $k = ES/l_0$, которую с модулем Юнга часто путают.

Как найти модуль Юнга по графику растяжения? Взять любые две точки на прямом начальном участке и поделить разность напряжений на разность деформаций: $E = \Delta\sigma / \Delta\varepsilon$. Если по осям отложены сила и абсолютное удлинение, наклон нужно домножить на $l_0/S$. Точки за изломом графика брать нельзя.

Что означает отрицательное или нулевое значение E в расчёте? Обычно ошибку в знаках или в данных: при растяжении и сила, и удлинение положительны. При сжатии отрицательными становятся обе величины одновременно, и их отношение снова положительно, поэтому модуль Юнга отрицательным не бывает.

Коротко

1. Перевести все длины в метры и найти площадь сечения: $S = \pi d^2/4 = 1{,}131 \cdot 10^{-6}$ м².
2. Посчитать напряжение $\sigma = F/S = 176{,}8$ МПа и деформацию $\varepsilon = \Delta l / l_0 = 9{,}0 \cdot 10^{-4}$.
3. Поделить одно на другое: $E = \sigma/\varepsilon = F l_0 / (S \Delta l) \approx 1{,}96 \cdot 10^{11}$ Па.
4. Убедиться, что напряжение не вышло за предел пропорциональности, иначе найденное число модулем Юнга не является.
5. Сверить с таблицей: 196 ГПа против справочных 200 ГПа для стали, расхождение 1,8 % - задача решена верно.