Как найти удельную энергию связи: формула и расчёт

Дано: ядро алюминия-27, заряд $Z = 13$, массовое число $A = 27$, масса ядра $M_{\text{я}} = 26{,}97440$ а.е.м. Найти: удельную энергию связи $\varepsilon$ в мегаэлектронвольтах на нуклон.

Порядок действий один и тот же для любого ядра: сначала дефект массы (сумма масс свободных нуклонов минус масса собранного ядра), затем перевод дефекта в энергию через множитель 931,5 МэВ на а.е.м., затем деление энергии связи на число нуклонов. Ответ: дефект массы $0{,}24148$ а.е.м., энергия связи $224{,}9$ МэВ, удельная энергия связи $8{,}33$ МэВ на нуклон. Калькулятор сверху повторяет тот же расчёт для любого нуклида и ставит вашу точку на кривую удельной энергии связи.

Решение по шагам

Дано. Сводим условие и табличные массы в одну таблицу, чтобы не путать нуклонные массы с массой ядра:

Найти: $\Delta m$, $E_{\text{св}}$, $\varepsilon = E_{\text{св}} / A$.

Шаг 1. Считаем состав ядра. Зарядовое число $Z$ равно числу протонов, а нейтронов ровно столько, сколько осталось от массового числа:

$N = A - Z = 27 - 13 = 14.$

Значит, ядро алюминия-27 собрано из 13 протонов и 14 нейтронов. Этот шаг выглядит формальным, но именно на нём чаще всего теряют пару нуклонов: в условии дают массовое число, а в формулу дефекта массы подставляют заряд.

Шаг 2. Находим дефект массы. Дефект массы - это разность между суммарной массой свободных нуклонов и массой готового ядра:

$\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - M_{\text{я}}.$

Подставляем числа и считаем слагаемые по отдельности, сохраняя все пять знаков после запятой: округлять здесь нельзя, потому что дефект массы составляет доли процента от исходных величин.

$$\begin{aligned} Z\,m_p &= 13 \cdot 1{,}00728 = 13{,}09464\ \text{а.е.м.},\\ N\,m_n &= 14 \cdot 1{,}00866 = 14{,}12124\ \text{а.е.м.},\\ \Delta m &= 13{,}09464 + 14{,}12124 - 26{,}97440 = 0{,}24148\ \text{а.е.м.} \end{aligned}$$

Дефект положительный, и так и должно быть: собранное ядро легче своих частей, иначе оно развалилось бы само.

Шаг 3. Переводим дефект массы в энергию связи. Одной атомной единице массы отвечает 931,5 МэВ, поэтому умножение дефекта на этот множитель сразу даёт ответ в мегаэлектронвольтах:

$E_{\text{св}} = \Delta m \cdot 931{,}5\ \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0{,}24148 \cdot 931{,}5 = 224{,}9\ \text{МэВ}.$

Шаг 4. Делим на число нуклонов. Удельная энергия связи - это энергия связи, приходящаяся на один нуклон:

$\varepsilon = \frac{E_{\text{св}}}{A} = \frac{224{,}9}{27} = 8{,}33\ \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}}.$

Ответ: $\Delta m = 0{,}24148$ а.е.м., $E_{\text{св}} \approx 224{,}9$ МэВ, $\varepsilon \approx 8{,}33$ МэВ на нуклон. Табличное значение для алюминия-27 равно 8,332 МэВ на нуклон, так что расчёт сошёлся до третьей значащей цифры.

Формула и откуда берётся множитель 931,5

Удельная энергия связи по определению равна отношению полной энергии связи к числу нуклонов, а полная энергия связи выражается через дефект массы:

$\varepsilon = \frac{E_{\text{св}}}{A} = \frac{\left(Z\,m_p + N\,m_n - M_{\text{я}}\right) c^2}{A}.$

Физический смысл прост. Чтобы растащить ядро на отдельные протоны и нейтроны, нужно совершить работу против ядерных сил, и эта работа равна $E_{\text{св}}$. Ровно столько же энергии выделяется при обратной сборке, и именно поэтому собранное ядро оказывается легче суммы частей: часть массы ушла в излучённую энергию. Подробнее эквивалентность массы и энергии разобрана в статье про связь массы и энергии, здесь она нужна только как рабочий инструмент.

Множитель 931,5 - это просто энергетический эквивалент атомной единицы массы, посчитанный один раз навсегда. Одна а.е.м. равна $1{,}66054 \cdot 10^{-27}$ кг; умножив её на $c^2 = (2{,}9979 \cdot 10^8)^2$ м²/с², получим $1{,}4924 \cdot 10^{-10}$ Дж, а после деления на заряд электрона $1{,}6022 \cdot 10^{-19}$ Кл - $9{,}315 \cdot 10^{8}$ эВ, то есть 931,5 МэВ. В задачах этот пересчёт заново не делают: множитель берут готовым, как берут ускорение свободного падения.

Обратите внимание на разделение ролей двух величин. Полная энергия связи $E_{\text{св}}$ растёт вместе с размером ядра и у урана достигает почти 1800 МэВ, поэтому сравнивать по ней ядра бессмысленно. Удельная энергия связи, наоборот, нормирована на один нуклон и показывает, насколько прочно держится каждая частица, - по ней ядра и сравнивают.

Если дана масса атома, а не масса ядра

В справочниках чаще приведена масса нейтрального атома: она включает ещё и $Z$ электронов. Подставлять её прямо в формулу с $m_p$ нельзя, иначе электроны попадут в дефект массы лишней добавкой. Есть два одинаково корректных выхода.

Первый: вычесть электроны и получить массу ядра, $M_{\text{я}} = M_{\text{ат}} - Z\,m_e$, где $m_e = 0{,}00055$ а.е.м. Для алюминия-27 табличная масса атома равна 26,98154 а.е.м., и после вычитания $13 \cdot 0{,}00055 = 0{,}00714$ а.е.м. получается как раз 26,97440 а.е.м. из условия.

Второй, более удобный: работать целиком в атомных массах и заменить массу протона массой атома водорода $m_{\text{H}} = 1{,}00783$ а.е.м.:

$\Delta m = Z\,m_{\text{H}} + N\,m_n - M_{\text{ат}}.$

Электроны при этом сокращаются автоматически - по $Z$ штук слева и справа. Проверим на том же алюминии: $13 \cdot 1{,}00783 + 14 \cdot 1{,}00866 - 26{,}98154 = 0{,}24149$ а.е.м., и удельная энергия связи снова равна 8,33 МэВ на нуклон. Разница в последнем знаке - это энергия связи электронов в атоме, она в тысячи раз меньше ядерной и в такие задачи не входит. В калькуляторе сверху этот выбор вынесен отдельным переключателем: укажите, что именно дано в вашем условии, и формула подставится нужная.

Как удельная энергия связи меняется с массовым числом

Если посчитать $\varepsilon$ для всех известных нуклидов и отложить её против массового числа, получится кривая с пологим максимумом. У самых лёгких ядер она мала, дальше быстро растёт, около железа выходит на плато примерно 8,8 МэВ на нуклон и затем медленно спадает к 7,6 МэВ у урана.

Объяснение хода кривой даёт капельная модель ядра. Рост на лёгком участке - это эффект поверхности: у маленького ядра почти каждый нуклон лежит на границе и недосчитывается соседей, а с увеличением размера доля поверхностных нуклонов падает. Спад на тяжёлом участке - это кулоновское отталкивание протонов, которое растёт быстрее объёма. Количественно оба вклада вместе с поправками на асимметрию и спаривание описывает формула Вайцзеккера.

Из этой же кривой следует вся ядерная энергетика. Любое движение к максимуму - слияние лёгких ядер или деление тяжёлых - переводит нуклоны в более прочно связанное состояние, а разница энергий освобождается. Поэтому энергию реакции считают как разность удельных энергий связи, умноженную на число нуклонов; техника такого расчёта разобрана в материале про энергетический выход ядерной реакции. И по той же причине железо стоит в конце цепочки термоядерного синтеза в звёздах: дальше выигрывать нечего.

Частые ошибки

• Делят на $Z$ вместо $A$. Удельная энергия связи приходится на нуклон, то есть на протон или нейтрон без разбора. Делить надо на массовое число.
• Подставляют массу атома вместо массы ядра. Масса атома больше массы ядра на $Z\,m_e$, поэтому дефект массы выходит заниженным: для алюминия-27 это $0{,}00714$ а.е.м., то есть около 3 % ответа.
• Округляют массы до трёх знаков. Дефект массы - это разность близких чисел, и при округлении $1{,}00728$ до $1{,}007$ ответ уезжает на проценты. Все промежуточные величины держите с пятью знаками после запятой.
• Путают $m_n$ и $m_p$. Нейтрон тяжелее протона, и если поменять их местами, дефект массы изменится на $(m_n - m_p)(N - Z)$ - для ядер с избытком нейтронов это ощутимо.
• Теряют знак. Из суммы масс нуклонов вычитают массу ядра, а не наоборот. Отрицательный дефект массы всегда означает арифметическую ошибку.
• Смешивают два способа. Либо масса ядра и масса протона, либо масса атома и масса атома водорода. Комбинация «масса атома и масса протона» даёт неверный результат.

FAQ

Чему равна удельная энергия связи в среднем? Для большинства ядер тяжелее гелия она лежит в узком коридоре 7,5–8,8 МэВ на нуклон. Максимум приходится на район железа и никеля (у никеля-62 около 8,79 МэВ), и именно поэтому железо считают самым прочно связанным элементом.

Почему у гелия-4 удельная энергия связи выше, чем у лития-7? У гелия-4 по два протона и два нейтрона, все нуклонные пары замкнуты - это дважды магическое ядро. Литий-7 с нечётным числом протонов и нейтронов заметно рыхлее: 5,61 против 7,07 МэВ на нуклон. Рост вдоль кривой не монотонный, лёгкие чётно-чётные ядра выбиваются вверх.

Можно ли считать в джоулях? Можно: переведите дефект массы в килограммы (умножив на $1{,}66 \cdot 10^{-27}$) и умножьте на $c^2$. Для алюминия-27 получится $3{,}60 \cdot 10^{-11}$ Дж на ядро. В ядерной физике так не делают из-за неудобных порядков, но в задачах по общей физике такой ответ иногда требуют явно.

Как из удельной энергии связи получить полную? Умножением на массовое число: $E_{\text{св}} = \varepsilon A$. Например, для железа-56 это $8{,}79 \cdot 56 \approx 492$ МэВ. Обратный переход нужен, когда в таблице дана $\varepsilon$, а в задаче спрашивают энергию расщепления ядра целиком.

Коротко

1. Находим состав ядра: протонов $Z$, нейтронов $N = A - Z$. Для алюминия-27 это 13 и 14.
2. Считаем дефект массы $\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - M_{\text{я}}$ с точностью до пятого знака: $0{,}24148$ а.е.м.
3. Переводим в энергию: $E_{\text{св}} = \Delta m \cdot 931{,}5 = 224{,}9$ МэВ.
4. Делим на массовое число: $\varepsilon = 224{,}9 / 27 = 8{,}33$ МэВ на нуклон.
5. Если дана масса атома, берём $m_{\text{H}} = 1{,}00783$ вместо $m_p$ или вычитаем $Z\,m_e$ из массы атома - ответ тот же.