Как найти давление света: формула и пример расчёта

Дано: зеркальная пластинка площадью $S = 25$ см², на неё нормально падает свет интенсивностью $I = 1400$ Вт/м², коэффициент отражения $\rho = 0{,}9$. Найти: давление света $p$ и силу давления $F$.

Задача решается одной формулой $p = I(1+\rho)/c$: давление света равно плотности потока энергии, делённой на скорость света и умноженной на множитель отражения. Ответ: $p \approx 8{,}87$ мкПа, $F \approx 2{,}2 \cdot 10^{-8}$ Н. Калькулятор сверху пересчитает давление и силу под твои числа, ниже - тот же расчёт по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти: давление света $p$ и силу давления $F$.

Шаг 1. Переводим площадь в СИ. Квадратные сантиметры переводятся в квадратные метры делением на $10^{4}$, а не на $10^{2}$ - на этом теряют два порядка чаще всего:

$$S = 25\ \text{см}^2 = 25 \cdot 10^{-4}\ \text{м}^2 = 2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{м}^2.$$

Интенсивность уже дана в ваттах на квадратный метр, переводить нечего.

Шаг 2. Записываем рабочую формулу. Давление света при нормальном падении:

$$p = \frac{I}{c}\,(1 + \rho),$$

где $I$ - интенсивность (плотность потока энергии), $c$ - скорость света, $\rho$ - коэффициент отражения поверхности.

Шаг 3. Считаем объёмную плотность энергии. Удобно сначала вычислить отношение $I/c$ - это объёмная плотность энергии излучения $w$ у поверхности, и она же равна давлению на абсолютно чёрное тело:

$$w = \frac{I}{c} = \frac{1400}{3 \cdot 10^{8}} \approx 4{,}67 \cdot 10^{-6}\ \text{Дж/м}^3.$$

Шаг 4. Подставляем множитель отражения.

$$p = 4{,}67 \cdot 10^{-6} \cdot (1 + 0{,}9) = 4{,}67 \cdot 10^{-6} \cdot 1{,}9 \approx 8{,}87 \cdot 10^{-6}\ \text{Па} = 8{,}87\ \text{мкПа}.$$

Шаг 5. Переходим от давления к силе. Сила давления - это давление, умноженное на площадь, на которую свет падает:

$$F = p S = 8{,}87 \cdot 10^{-6} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3} \approx 2{,}22 \cdot 10^{-8}\ \text{Н}.$$

Шаг 6. Проверка по граничным случаям. Полученное число обязано лежать между двумя пределами. Для полностью поглощающей поверхности $\rho = 0$ и $p = 4{,}67$ мкПа, для идеального зеркала $\rho = 1$ и $p = 9{,}33$ мкПа - ровно вдвое больше. Наши 8,87 мкПа стоят между ними и почти упираются в зеркальный предел, что и должно быть при $\rho = 0{,}9$. Если ответ вылез за эту вилку, ошибка в формуле или в переводе единиц.

Ответ. $p \approx 8{,}87$ мкПа $= 8{,}87 \cdot 10^{-6}$ Па; $F \approx 2{,}2 \cdot 10^{-8}$ Н, то есть около 22 нН.

Формула давления света и откуда она берётся

Формула выводится из закона сохранения импульса, и для этого не нужна квантовая механика - достаточно того, что поток излучения несёт импульс. За время $t$ на площадку $S$ приходит энергия $W = I S t$, а вместе с ней импульс $W/c$. Если поверхность всё поглощает, весь этот импульс передаётся ей, и по второму закону Ньютона сила равна изменению импульса за время:

$$F = \frac{\Delta \vec p}{t} = \frac{I S t / c}{t} = \frac{I S}{c}, \qquad p = \frac{F}{S} = \frac{I}{c}.$$

Если поверхность зеркальная, свет не остаётся на ней, а уходит обратно с тем же по модулю импульсом, направленным в другую сторону. Изменение импульса удваивается, значит удваивается и давление. Реальная поверхность отражает долю $\rho$ и поглощает долю $1-\rho$, поэтому переданный импульс равен $(1-\rho) + 2\rho = 1 + \rho$ от падающего. Отсюда и берётся множитель в скобках.

Важно, что множитель $1+\rho$ меняется всего вдвое: от единицы у сажи до двойки у идеального зеркала. Какой бы ни была поверхность, давление света зажато в этой вилке, и это лучший способ быстро проверить свой ответ. Сама интенсивность при этом может отличаться на порядки - от солнечных 1400 Вт/м² до мегаватт в фокусе лазера, - и именно она задаёт порядок результата.

Тот факт, что электромагнитная волна переносит импульс, а не только энергию, связан с вектором Пойнтинга: его модуль и есть интенсивность $I$, а плотность импульса поля равна $I/c^2$. На языке частиц то же самое даёт импульс фотона $p_{\text{ф}} = E/c$, и оба подхода приводят к одной формуле.

Если свет падает под углом или дана не интенсивность

В типовой контрольной условие редко совпадает с учебником дословно, и чаще всего нужно всего одно преобразование входных данных.

Свет падает под углом $\theta$ к нормали. Тогда работают сразу две поправки. Во-первых, на площадку приходит меньше энергии: поток через неё равен $I\cos\theta$. Во-вторых, давит на поверхность только нормальная составляющая импульса, и она даёт ещё один $\cos\theta$. Итого:

$$p = \frac{I}{c}\,(1+\rho)\cos^2\theta.$$

При $\theta = 60^\circ$ косинус равен $0{,}5$, значит давление падает вчетверо, а не вдвое - квадрат здесь принципиален.

Дана энергия $W$ за время $t$ или мощность $P$. Интенсивность получается делением на площадь и время: $I = W/(St) = P/S$. В задачах про лазер площадь берут по диаметру пятна, в задачах про звёзды - из светимости и расстояния.

Дана энергетическая освещённость или объёмная плотность энергии. Энергетическая освещённость в Вт/м² - это та же интенсивность под другим названием. Если дана объёмная плотность энергии $w$ в Дж/м³, то $I = wc$ и формула упрощается до $p = w(1+\rho)$.

Дан поток фотонов. Пусть за секунду на квадратный метр падает $N$ фотонов с энергией $E_{\text{ф}}$ каждый. Тогда $I = N E_{\text{ф}}$, дальше всё как обычно. Для зелёного света с $\lambda = 550$ нм энергия фотона около $3{,}6 \cdot 10^{-19}$ Дж, и солнечным 1400 Вт/м² отвечает примерно $3{,}9 \cdot 10^{21}$ фотонов в секунду на квадратный метр.

Почему давление света так трудно измерить

Ответ задачи - 22 наноньютона - объясняет, почему световое давление было предсказано Максвеллом в 1873 году, а измерено только в 1899-м, когда Пётр Лебедев подвесил на кварцевой нити крутильные весы с парой крылышек, зеркальным и зачернённым, и откачал воздух, чтобы убрать радиометрический и конвективный эффекты, которые на четыре порядка сильнее самого светового давления.

Для инженерных прикидок полезно помнить цифру: у земной орбиты солнечное излучение давит на идеальное зеркало примерно 9 мкПа. Парус площадью в квадратный километр получает силу около 9 ньютонов - ничтожно по земным меркам, но эта сила действует непрерывно и бесплатно, поэтому солнечный парус и остаётся рабочей схемой межпланетного двигателя. В фокусе импульсного лазера интенсивность достигает $10^{16}$ Вт/м², и там давление света уже измеряется атмосферами.

Частые ошибки

• Площадь переводят делением на 100. 25 см² - это $25 \cdot 10^{-4}$ м², а не $0{,}25$ м². Ошибка в два порядка сразу выбрасывает ответ за вилку допустимых значений.
• Забывают множитель $(1+\rho)$ или пишут $(1-\rho)$. Отражение усиливает давление, а не ослабляет: зеркало получает вдвое больше, чем сажа. Знак минус даёт ноль для идеального зеркала - физически бессмысленный ответ.
• Путают давление и силу. Давление измеряется в паскалях и от площади не зависит, сила - в ньютонах и растёт пропорционально $S$. Если в ответе паскали умножены на площадь, это уже сила, а не давление.
• Делят на $c^2$ вместо $c$. Квадрат скорости света появляется в плотности импульса поля $I/c^2$, но не в давлении. Лишний множитель $3 \cdot 10^{8}$ сразу виден по абсурдному порядку ответа.
• При наклонном падении берут один косинус вместо квадрата. Один косинус учитывает уменьшение потока, второй - проекцию импульса на нормаль. Оба нужны.
• Подставляют интенсивность в кВт/м² или мВт/см². Формула работает только в СИ: 1,4 кВт/м² - это 1400 Вт/м², а 1 мВт/см² - это 10 Вт/м².

FAQ

Чему равно давление солнечного света у Земли? При интенсивности около 1400 Вт/м² на полностью поглощающую поверхность давление равно $4{,}7$ мкПа, на идеальное зеркало - $9{,}3$ мкПа. Это примерно в десять миллиардов раз меньше атмосферного давления, поэтому в быту эффект незаметен.

Почему давление на зеркало вдвое больше, чем на чёрную поверхность? Поглощённый фотон отдаёт поверхности весь свой импульс. Отражённый уходит с импульсом, направленным в противоположную сторону, поэтому изменение импульса равно удвоенному исходному, и поверхность получает вдвое больший толчок. Это тот же эффект, что у мяча, который отскакивает от стены, а не прилипает к ней.

Зависит ли давление света от длины волны? Напрямую нет: в формулу входит только интенсивность. Длина волны важна лишь потому, что от неё зависит коэффициент отражения реальной поверхности, а также если условие задано через число фотонов - тогда $I = N E_{\text{ф}}$ и энергия каждого фотона равна $hc/\lambda$.

Можно ли решать задачу через фотоны, а не через волну? Да, и ответ получится тот же. Фотон с энергией $E$ несёт импульс $E/c$; сложив импульсы всех фотонов, приходящих за секунду на квадратный метр, получишь ровно $I/c$. Волновой и корпускулярный вывод здесь совпадают до последней цифры.

Коротко

1. Перевести в СИ: площадь из см² в м² делением на $10^{4}$, интенсивность - в Вт/м².
2. Посчитать $w = I/c$ - это давление на абсолютно чёрную поверхность и одновременно объёмная плотность энергии.
3. Умножить на $(1+\rho)$: $p = I(1+\rho)/c$. При наклонном падении добавить $\cos^2\theta$.
4. Найти силу: $F = pS$.
5. Ответ примера: при $I = 1400$ Вт/м², $S = 25$ см² и $\rho = 0{,}9$ давление $p \approx 8{,}87$ мкПа, сила $F \approx 2{,}2 \cdot 10^{-8}$ Н. Контроль: давление обязано лежать между $I/c$ и $2I/c$.