Как определить светимость звезды: формула и расчёт

Дано: радиус звезды $R = 4{,}2\,R_\odot$, эффективная температура $T = 9600$ К, видимая звёздная величина $m = 2{,}91$, расстояние $d = 50$ пк. Найти: светимость $L$ в единицах светимости Солнца.

Первый способ идёт от поверхности: закон Стефана Больцмана $L = 4\pi R^2 \sigma T^4$. Второй идёт от наблюдений: видимая величина плюс расстояние дают абсолютную величину, а она пересчитывается в светимость. Оба дают один и тот же ответ: $L \approx 135\,L_\odot$, то есть $5{,}2 \cdot 10^{28}$ Вт, при абсолютной болометрической величине $M \approx -0{,}59$. Калькулятор сверху пересчитает оба способа под твои числа, ниже разбор по шагам.

Решение по шагам

Шаг 1. Отношение температур. Удобнее считать не в ваттах, а сразу в солнечных единицах: тогда все постоянные сокращаются. Эффективная температура Солнца $T_\odot = 5772$ К, поэтому

$$\frac{T}{T_\odot} = \frac{9600}{5772} = 1{,}663 , \qquad \left(\frac{T}{T_\odot}\right)^{4} = 1{,}663^{4} = 7{,}65 .$$

Четвёртая степень - главная причина того, что горячие звёзды так ярки: температура выше солнечной всего в 1,66 раза, а поток с квадратного метра поверхности больше уже в 7,65 раза.

Шаг 2. Светимость по закону Стефана Больцмана. Площадь поверхности растёт как квадрат радиуса, поэтому

$$\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^{2} \left(\frac{T}{T_\odot}\right)^{4} = 4{,}2^{2} \cdot 7{,}65 = 17{,}64 \cdot 7{,}65 = 135 .$$

В абсолютных единицах, если светимость Солнца $L_\odot = 3{,}828 \cdot 10^{26}$ Вт:

$$L = 135 \cdot 3{,}828 \cdot 10^{26} = 5{,}17 \cdot 10^{28}\ \text{Вт} .$$

Шаг 3. Абсолютная болометрическая величина. Величины и светимости связаны логарифмом с коэффициентом 2,5, а нулевая точка задана Солнцем: $M_\odot = 4{,}74^{m}$. Отсюда

$$M = M_\odot - 2{,}5 \lg \frac{L}{L_\odot} = 4{,}74 - 2{,}5 \lg 135 = 4{,}74 - 5{,}33 = -0{,}59 .$$

Шаг 4. Проверка через наблюдаемые величины. Теперь идём с другого конца: из видимой величины и расстояния получаем абсолютную по формуле модуля расстояния

$$M = m - 5 \lg d + 5 = 2{,}91 - 5 \lg 50 + 5 = 2{,}91 - 8{,}49 + 5 = -0{,}58 .$$

Обратный переход к светимости:

$$\frac{L}{L_\odot} = 10^{\,0{,}4\,(M_\odot - M)} = 10^{\,0{,}4\,(4{,}74 + 0{,}58)} = 10^{2{,}13} = 135 .$$

Ответ. $L \approx 135\,L_\odot \approx 5{,}2 \cdot 10^{28}$ Вт, абсолютная болометрическая величина $M \approx -0{,}6$. Оба способа сошлись, значит данные задачи согласованы между собой.

Формула светимости и откуда она берётся

Светимость - это полная мощность излучения звезды по всем направлениям и на всех длинах волн, измеряется в ваттах. Её не наблюдают напрямую: с Земли видно только освещённость, то есть поток, дошедший до приёмника. Поэтому светимость всегда вычисляют, и вычисляют одним из двух путей.

Первый путь опирается на модель абсолютно чёрного тела. Каждый квадратный метр поверхности с температурой $T$ излучает мощность $\sigma T^4$, где $\sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) - постоянная Стефана Больцмана. Умножаем на площадь сферы радиуса $R$:

$$L = 4\pi R^{2} \sigma T^{4} .$$

Проверим на наших числах в системе СИ: $R = 4{,}2 \cdot 6{,}957 \cdot 10^{8} = 2{,}92 \cdot 10^{9}$ м, площадь $4\pi R^{2} = 1{,}07 \cdot 10^{20}$ м², поток с квадратного метра $\sigma T^{4} = 4{,}82 \cdot 10^{8}$ Вт/м². Произведение даёт $5{,}17 \cdot 10^{28}$ Вт - то же число, что в шаге 2.

Здесь важна оговорка про $T$. Звезда не чёрное тело в строгом смысле: излучение идёт из слоёв разной глубины, и никакой единой температуры у фотосферы нет. Величина $T$ в формуле - это эффективная температура, то есть температура такого чёрного тела, которое при том же радиусе даёт ту же светимость. Она определяется именно через эту формулу, поэтому подставлять в неё температуру ядра или температуру возбуждения линий нельзя.

Переход от звёздных величин к светимости

Второй путь начинается с того, что реально измеряется в телескопе. Видимая звёздная величина $m$ - логарифмическая мера освещённости от звезды у Земли, абсолютная величина $M$ - та видимая величина, которую звезда имела бы с расстояния 10 пк. Разность $m - M$ называют модулем расстояния:

$$m - M = 5 \lg d - 5 ,$$

где $d$ в парсеках. Формула прямо следует из закона обратных квадратов: перенос звезды на вдвое большее расстояние ослабляет поток вчетверо, а в величинах это ровно $2{,}5 \lg 4 = 1{,}51^{m}$.

Абсолютная величина уже не зависит от расстояния и потому однозначно связана со светимостью:

$$M = M_\odot - 2{,}5 \lg \frac{L}{L_\odot} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{L}{L_\odot} = 10^{\,0{,}4\,(M_\odot - M)} .$$

Коэффициент 2,5 и минус перед логарифмом - наследство шкалы Гиппарха: чем ярче объект, тем меньше его величина, а разница в пять величин означает ровно стократную разницу потоков. Отсюда удобное правило: разница в одну величину - это множитель $10^{0{,}4} \approx 2{,}512$ по светимости.

В строгой задаче нужно следить за тем, в какой полосе измерена величина. Формулы выше записаны для болометрических величин, учитывающих всё излучение. Если дана визуальная величина $V$, к ней прибавляют болометрическую поправку $BC$: $M_{\text{bol}} = M_V + BC$. Для звёзд с температурой около 6000 К поправка почти нулевая, для горячих и для холодных красных гигантов она достигает одной-двух величин, потому что заметная часть энергии уходит в ультрафиолет или в инфракрасную область. В учебных задачах обычно оговаривают, что величина болометрическая, и поправку не вводят, как сделано и здесь.

Обратные задачи: радиус и температура из светимости

Та же формула читается в любую сторону, и это самая частая разновидность задач на светимость. Если известны $L$ и $T$, радиус находится как

$$\frac{R}{R_\odot} = \sqrt{\frac{L/L_\odot}{(T/T_\odot)^{4}}} = \frac{\sqrt{L/L_\odot}}{(T/T_\odot)^{2}} .$$

Пример: звезда со светимостью $2000\,L_\odot$ и температурой 4200 К даёт $\sqrt{2000} = 44{,}7$ и $(4200/5772)^2 = 0{,}529$, откуда $R \approx 84\,R_\odot$. Холодная и при этом яркая звезда обязана быть огромной - так по светимости и температуре отличают гигантов от карликов, и на этом же держится разделение на последовательности в диаграмме Герцшпрунга Рассела.

Другая вариация - сравнение двух звёзд без обращения к абсолютным единицам. При одинаковой температуре отношение светимостей равно квадрату отношения радиусов: у звёзд с $R_1 = 1\,R_\odot$ и $R_2 = 3\,R_\odot$ светимости различаются в 9 раз, а абсолютные величины - на $2{,}5 \lg 9 = 2{,}39^{m}$. Если же одинаковы радиусы, работает четвёртая степень температуры.

Расстояние в модуле расстояния тоже бывает неизвестным: тогда его получают из годичного параллакса, $d\,[\text{пк}] = 1/\pi''$, и только потом считают светимость. Для этого нужен момент наблюдения и координаты светила, которые считаются отдельно, - например, в разборе про звёздное время.

Частые ошибки

• Подставляют радиус и температуру в разных системах. Если считаешь в солнечных единицах, то и радиус, и температура должны быть отнесены к солнечным; если в СИ, то радиус в метрах, а $\sigma$ обязательна. Смесь даёт ответ, ошибочный на десятки порядков.
• Забывают возвести температуру в четвёртую степень, а радиус во вторую. Перепутанные степени - самая частая арифметическая ошибка в этой задаче: получается $L \propto R^4 T^2$ и заведомо неверный ответ.
• Путают знак в формуле величин. Светимость растёт - величина убывает. Если после расчёта у более яркой звезды величина получилась больше, потерян минус перед $2{,}5 \lg L$.
• Берут в модуле расстояния не парсеки. Формула $M = m - 5 \lg d + 5$ записана для $d$ в парсеках. Для расстояния в световых годах нужно сначала разделить на 3,26, иначе абсолютная величина уедет на полторы величины.
• Складывают визуальную величину со светимостью без болометрической поправки. Для горячих и для очень холодных звёзд поправка не пренебрежима, и ответ в $L_\odot$ занижается.
• Считают светимость наблюдаемой величиной. Освещённость у Земли зависит от расстояния, светимость не зависит ни от чего, кроме самой звезды. Сравнивать по яркости на небе две звезды на разных расстояниях бессмысленно.

FAQ

Чем светимость отличается от звёздной величины? Светимость - физическая мощность излучения в ваттах или в единицах Солнца. Звёздная величина - логарифмическая шкала, в которой разница в 5 величин равна разнице в 100 раз по потоку. Абсолютная величина однозначно пересчитывается в светимость, видимая - только вместе с расстоянием.

Какие значения для Солнца брать в расчёте? Стандартный набор МАС: $L_\odot = 3{,}828 \cdot 10^{26}$ Вт, $T_\odot = 5772$ К, $R_\odot = 6{,}957 \cdot 10^{8}$ м, абсолютная болометрическая величина $M_\odot = 4{,}74$. Если в методичке даны чуть другие округления, пользуйся ими: расхождение в ответе будет в пределах процента.

Можно ли найти светимость, если известна только температура? Нет. Температура задаёт поток с единицы поверхности, но не площадь. Звёзды одной температуры различаются по светимости в тысячи раз именно из-за радиуса: красный гигант и красный карлик при 3500 К отличаются на десять величин.

Почему в ответе получается ровно 135, а не точное число? Исходные данные задачи заданы с точностью до двух-трёх значащих цифр, поэтому ответ округляется до трёх: $135\,L_\odot$. Промежуточные значения 1,663 и 7,65 округлять до двух цифр нельзя, иначе накопленная ошибка достигнет нескольких процентов.

Коротко

1. Светимость в солнечных единицах считается по закону Стефана Больцмана: $L/L_\odot = (R/R_\odot)^2 (T/T_\odot)^4$; при $R = 4{,}2\,R_\odot$ и $T = 9600$ К это $17{,}64 \cdot 7{,}65 = 135$.
2. Перевод в ватты - умножением на $L_\odot = 3{,}828 \cdot 10^{26}$ Вт: получается $5{,}2 \cdot 10^{28}$ Вт.
3. Абсолютная болометрическая величина: $M = 4{,}74 - 2{,}5 \lg (L/L_\odot) = -0{,}59$.
4. Второй способ идёт от наблюдений: $M = m - 5 \lg d + 5$, затем $L/L_\odot = 10^{0{,}4 (M_\odot - M)}$; при $m = 2{,}91$ и $d = 50$ пк выходят те же $135\,L_\odot$.
5. Обратная задача решается той же формулой: $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot} \,/\, (T/T_\odot)^2$.