Как определить абсолютную звёздную величину: расчёт

Дано: видимая звёздная величина $m = 7{,}24$, расстояние $d = 320$ пк, межзвёздное поглощение в этом направлении $A = 0{,}45^{m}$. Найти: абсолютную звёздную величину $M$ и модуль расстояния.

Задача решается одной формулой модуля расстояния $M = m + 5 - 5\lg d - A$, где расстояние обязательно в парсеках. Ответ такой: $M = -0{,}74$, истинный модуль расстояния $5\lg d - 5 = 7{,}53$, наблюдаемый модуль $m - M = 7{,}98$. Калькулятор сверху пересчитывает то же самое под твои числа и показывает, как абсолютная величина зависит от расстояния; ниже тот же расчёт по шагам.

Решение по шагам

Шаг 1. Записать определение. Абсолютная звёздная величина $M$ - это та видимая величина, которую звезда имела бы, если бы находилась от нас ровно на 10 парсеках и свет по дороге ничем не ослаблялся. Связь с наблюдаемой величиной даёт формула

$$M = m + 5 - 5\lg d - A ,$$

где $d$ в парсеках, а $A$ - поглощение света пылью в звёздных величинах.

Шаг 2. Посчитать логарифм расстояния. Это единственное место, где нужен калькулятор:

$$\lg d = \lg 320 = \lg 3{,}2 + 2 = 0{,}5051 + 2 = 2{,}5051 , \qquad 5\lg d = 12{,}5257 .$$

Шаг 3. Найти истинный модуль расстояния. Величина $\mu_0 = 5\lg d - 5$ показывает, на сколько звёздных величин объект ослаблен чистой геометрией, без пыли:

$$\mu_0 = 12{,}5257 - 5 = 7{,}5257 \approx 7{,}53 .$$

Шаг 4. Добавить поглощение. Пыль ослабляет свет дополнительно, поэтому наблюдаемая разность величин больше геометрической ровно на $A$:

$$m - M = \mu_0 + A = 7{,}5257 + 0{,}45 = 7{,}9757 \approx 7{,}98 .$$

Шаг 5. Выразить абсолютную величину.

$$M = m - (\mu_0 + A) = 7{,}24 - 7{,}9757 = -0{,}7357 \approx -0{,}74 .$$

Ответ: $M = -0{,}74$ при модуле расстояния $m - M = 7{,}98$ (истинный модуль $7{,}53$).

Полезно сразу перевести результат в светимость: $L/L_\odot = 10^{0{,}4\,(M_\odot - M)} = 10^{0{,}4\,(4{,}74 + 0{,}74)} = 155$. Звезда примерно в 155 раз ярче Солнца, хотя на небе она заметно слабее предела видимости невооружённым глазом. Как считать светимость разными способами, разобрано отдельно в задаче про светимость звезды.

Формула и откуда она берётся

Всё держится на двух вещах: законе обратных квадратов и шкале Погсона. Освещённость, которую создаёт звезда у наблюдателя, падает как квадрат расстояния: $E = L / (4\pi d^2)$. Шкала звёздных величин логарифмическая, разности величин соответствует отношение освещённостей

$$m_1 - m_2 = -2{,}5 \lg \frac{E_1}{E_2} .$$

Теперь мысленно перенесём звезду с расстояния $d$ на стандартные 10 пк. Освещённость изменится в $(d/10)^2$ раз, и разность величин получится сама собой:

$$m - M = -2{,}5 \lg \frac{E_d}{E_{10}} = 2{,}5 \lg \left(\frac{d}{10}\right)^{2} = 5 \lg \frac{d}{10} = 5\lg d - 5 .$$

Эту разность и называют модулем расстояния. Из неё абсолютная величина выражается одной перестановкой слагаемых: $M = m - 5\lg d + 5$, что то же самое, что $M = m + 5 - 5\lg d$.

Дальше - арифметика логарифма, которую стоит держать в голове как ориентир. Каждое удесятерение расстояния добавляет к модулю ровно 5 величин: звезда на 100 пк слабее самой себя на 10 пк на $5^{m}$, а на 1000 пк - на $10^{m}$. Отсюда быстрая проверка любого ответа: при $d = 10$ пк абсолютная величина обязана совпасть с видимой, при $d < 10$ пк она больше видимой, при $d > 10$ пк меньше.

Про десятку в определении часто спрашивают, почему именно она. Никакой физики за этим нет: 10 пк - соглашение, удобное тем, что типичные звёзды окрестностей Солнца получают при таком выборе величины порядка единиц, а не тысяч, и что десятичный логарифм от десяти равен единице, поэтому формула не тащит лишних множителей.

Поправка на межзвёздное поглощение

Между нами и звездой почти всегда есть пыль, и она работает в одну сторону: ослабляет свет, делая видимую величину больше (звезду слабее). В плоскости Галактики поглощение в визуальной полосе составляет порядка одной-двух величин на килопарсек, в направлении на полюса Галактики - почти ноль, а сквозь тёмные облака доходит до десятков величин.

Поэтому в формуле модуля расстояния различают два модуля. Наблюдаемый, или видимый, модуль $m - M$ содержит и геометрию, и пыль. Истинный модуль $\mu_0 = 5\lg d - 5$ содержит только геометрию. Связаны они очевидным образом: $m - M = \mu_0 + A$.

Знак - главная ловушка этой поправки. Когда ищешь абсолютную величину, поглощение вычитается: свет пришёл ослабленным по двум причинам, и ту часть ослабления, которую дала пыль, нужно вернуть звезде обратно. В нашем примере игнорирование поглощения дало бы $M = 7{,}24 + 5 - 12{,}5257 = -0{,}29$ вместо $-0{,}74$, то есть ошибку ровно в $0{,}45^{m}$. В светимости это уже множитель $10^{0{,}4 \cdot 0{,}45} = 1{,}51$: звезда оказалась бы заниженной по мощности в полтора раза.

Ещё одна тонкость - полоса измерения. Поглощение зависит от длины волны (синий свет рассеивается сильнее красного), поэтому в каждом фильтре своё $A$: $A_V \approx 3{,}1\,E(B-V)$ для стандартного закона покраснения. Смешивать $A$ из одной полосы с величинами из другой нельзя, как нельзя и складывать визуальную абсолютную величину $M_V$ с болометрической без поправки $BC$.

Обратная задача: расстояние по абсолютной величине

Гораздо чаще в астрономии решают обратную задачу: абсолютную величину берут из свойств объекта, а находят расстояние. Формула разворачивается в одну строку:

$$\lg d = 0{,}2\,(m - M - A) + 1 , \qquad d = 10^{\,0{,}2\,(m - M - A) + 1} .$$

Проверим на наших числах: $0{,}2 \cdot (7{,}24 + 0{,}74 - 0{,}45) + 1 = 0{,}2 \cdot 7{,}5257 + 1 = 2{,}5051$, значит $d = 10^{2{,}5051} = 320$ пк. Сошлось с условием - это стандартная самопроверка после решения прямой задачи.

Откуда берут $M$, если звезду никто не измерял с десяти парсеков? Из класса объекта. У цефеид абсолютная величина следует из периода пульсаций по зависимости период светимость, у сверхновых типа Ia она почти одинакова у всех вспышек - на этом и держится метод стандартных свеч. Для обычных звёзд $M$ оценивают по спектральному классу и классу светимости, сверяясь с диаграммой Герцшпрунга Рассела; такой способ называют методом спектральных параллаксов.

Геометрический способ работает только вблизи: тригонометрический параллакс уверенно измеряется на расстояниях до нескольких килопарсек, и он же даёт $d$ для прямой задачи (разбор - расстояние по параллаксу). Для нашей звезды параллакс составил бы $1/320 = 0{,}0031''$, то есть 3,1 миллисекунды дуги - на пределе наземной астрометрии, но легко для орбитальных обсерваторий.

Ориентиры: какие бывают абсолютные величины

Числа в таблице посчитаны той же формулой по каталожным $m$ и $d$, поглощение опущено.

Таблица хорошо показывает, зачем вообще нужна абсолютная величина. На небе Сириус ярче Полярной примерно в 24 раза (разность видимых величин $3{,}44^{m}$), а по-настоящему мощнее Полярная: её $M$ меньше на пять величин, то есть светимость выше в сто раз. Видимая величина смешивает свойства звезды и её удалённость, абсолютная оставляет только свойства. Диапазон $M$ у звёзд - примерно от $-8$ у ярчайших сверхгигантов до $+17$ у тусклых красных карликов, то есть двадцать пять величин, или десять порядков по светимости.

Частые ошибки

• Расстояние не в парсеках. Формула $M = m + 5 - 5\lg d$ записана только для парсеков. Световые годы надо делить на 3,26, килопарсеки умножать на 1000; забытый перевод из световых лет сдвигает ответ на $5\lg 3{,}26 = 2{,}56^{m}$.
• Перепутанные знаки пятёрок. Верно $M = m + 5 - 5\lg d$, то есть $M = m - 5\lg d + 5$. Запись $m + 5\lg d - 5$ даёт ответ, симметрично отражённый относительно видимой величины.
• Поглощение прибавили вместо вычитания. При поиске $M$ величина $A$ вычитается, при поиске видимой величины по известной $M$ - прибавляется. Ошибка удваивает поправку: вместо $-0{,}74$ выйдет $0{,}16$.
• Считают, что абсолютная величина измеряется. Её всегда вычисляют: либо из $m$ и расстояния, либо из физики объекта. Прямо наблюдается только $m$.
• Смешивают полосы. $M_V$, $M_B$ и болометрическая $M_{\text{bol}}$ различаются на болометрическую поправку, у горячих и холодных звёзд она достигает двух величин. Для Солнца $M_V = 4{,}83$, а $M_{\text{bol}} = 4{,}74$, и в формулу светимости идёт именно вторая.
• Берут натуральный логарифм. В формуле десятичный $\lg$; подстановка $\ln$ завышает модуль расстояния в 2,3 раза.

FAQ

Почему абсолютная величина бывает отрицательной? Потому что шкала величин перевёрнутая и с нулём в произвольном месте: чем ярче объект, тем меньше число, а ноль привязан исторически к Веге. Отрицательная $M$ означает лишь, что с десяти парсеков звезда была бы ярче Веги; у Бетельгейзе она составила бы около $-5{,}6$ и светила бы заметно ярче Венеры.

Как найти абсолютную величину, если дан параллакс, а не расстояние? Сначала перевести параллакс в расстояние: $d = 1/p$, где $p$ в угловых секундах, а $d$ в парсеках. Затем подставить в ту же формулу. Совмещённый вид $M = m + 5 + 5\lg p$ экономит шаг, но в нём легко потерять знак, поэтому в контрольной надёжнее считать в два действия.

Чем абсолютная величина отличается от светимости? Это одно и то же в разных шкалах. Светимость - мощность в ваттах или в солнечных единицах, абсолютная величина - логарифм той же мощности с коэффициентом $-2{,}5$ и нулём, привязанным к стандартной звезде. Переход: $M = M_\odot - 2{,}5\lg (L/L_\odot)$.

Нужно ли учитывать поглощение, если в условии про него ничего не сказано? Нет: если $A$ не дано, задача решается при $A = 0$, и это стандартное умолчание учебников. Но в ответе стоит оговорить, что полученная $M$ - верхняя оценка (истинная звезда ярче), потому что любая пыль по дороге работает только на ослабление.

Коротко

1. Абсолютная звёздная величина - видимая величина звезды с расстояния 10 пк; считается по формуле $M = m + 5 - 5\lg d - A$ с расстоянием в парсеках.
2. Для $m = 7{,}24$ и $d = 320$ пк: $5\lg 320 = 12{,}53$, истинный модуль расстояния $\mu_0 = 7{,}53$.
3. Поглощение $A = 0{,}45$ добавляется к модулю: наблюдаемый модуль $m - M = 7{,}98$, откуда $M = -0{,}74$.
4. Пересчёт в светимость: $L/L_\odot = 10^{0{,}4\,(4{,}74 - M)} = 155$; без учёта поглощения вышло бы 102, то есть в полтора раза меньше.
5. Обратная задача решается той же формулой: $d = 10^{\,0{,}2\,(m - M - A) + 1}$, проверка на наших числах даёт ровно 320 пк.