Закон Гука при растяжении и сжатии: формула и расчёт

Закон Гука при растяжении и сжатии - это базовое соотношение сопротивления материалов: пока деформация мала и упруга, нормальное напряжение в стержне прямо пропорционально его относительной деформации. Из этого простого факта вытекают все формулы для удлинения, жёсткости и расчёта на прочность. Ниже разберём, как записывается закон Гука через напряжение и деформацию, как из него получить удлинение стержня через модуль Юнга, где проходит граница применимости и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь силы, сечения и удлинения, покрути калькулятор ниже: он считает напряжение, деформацию и удлинение разом и показывает рабочую точку на диаграмме, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое закон Гука при растяжении и сжатии

Если к стержню приложить осевую силу $F$, в его поперечном сечении возникает нормальное напряжение, равномерно распределённое по площади $A$:

$\sigma = \frac{F}{A}.$

Под действием этого напряжения стержень меняет длину: при растяжении удлиняется, при сжатии укорачивается. Меру этого изменения называют относительной (продольной) деформацией:

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},$

где $L_0$ - исходная длина, а $\Delta L$ - её изменение. Закон Гука утверждает, что в упругой области напряжение и деформация связаны линейно:

$\sigma = E \, \varepsilon,$

а коэффициент пропорциональности $E$ - модуль Юнга (модуль продольной упругости). Это физическая характеристика материала: у стали около 200 ГПа, у алюминия около 70 ГПа, у бетона порядка 30 ГПа. Чем больше $E$, тем «жёстче» материал и тем меньше он деформируется при том же напряжении.

Рассчитать для своей задачи

При сжатии всё работает зеркально: сила направлена внутрь, напряжение считают со знаком минус, деформация отрицательна, а формулы остаются теми же. Поэтому говорят именно о законе Гука «при растяжении и сжатии» - это один и тот же линейный закон для обоих случаев осевого нагружения.

Формула удлинения стержня

Подставим $\sigma = F/A$ и $\varepsilon = \Delta L / L_0$ в закон Гука $\sigma = E\varepsilon$ и выразим изменение длины. Получается главная рабочая формула для растяжения и сжатия:

$\Delta L = \frac{F \, L_0}{E \, A}.$

Эта формула показывает сразу четыре зависимости: удлинение растёт с силой и длиной, но падает с увеличением модуля Юнга и площади сечения. Удобно ввести жёсткость стержня - силу, нужную для единичного удлинения:

$k = \frac{E \, A}{L_0}, \qquad F = k \, \Delta L.$

В таком виде стержень ведёт себя как обычная пружина из школьной физики, где $F = kx$. Именно поэтому закон Гука для пружины и закон Гука для стержня - это одна и та же идея, только жёсткость пружины задаётся геометрией витков, а жёсткость стержня - формулой $k = EA/L_0$.

Рассчитать для своей задачи

На диаграмме растяжения закон Гука - это начальный прямолинейный участок. Его наклон равен модулю Юнга: чем круче прямая, тем жёстче материал. Линейность сохраняется до предела пропорциональности, близкого к пределу текучести; выше него прямая загибается в площадку, деформация перестаёт быть пропорциональной напряжению, и формула $\Delta L = FL_0/(EA)$ уже неверна.

Где заканчивается упругость

Закон Гука действует не при любой нагрузке, а только пока напряжение не превысило предел упругости (на практике его оценивают по пределу текучести $\sigma_т$). Пока $\sigma < \sigma_т$, деформация упругая: после снятия нагрузки стержень полностью возвращает исходную длину. Как только напряжение достигает предела текучести, начинается пластическое течение - материал деформируется необратимо, и часть удлинения остаётся навсегда.

Поэтому в расчётах на прочность сравнивают рабочее напряжение с пределом текучести и вводят коэффициент запаса:

$n = \frac{\sigma_т}{\sigma} = \frac{\sigma_т \, A}{F}.$

Если $n > 1$, конструкция работает в упругой области и закон Гука применим. В калькуляторе выше рабочая точка краснеет ровно тогда, когда напряжение перешагивает предел текучести выбранного материала - это и есть граница, за которой линейная формула теряет смысл.

Растяжение и сжатие: в чём разница

С точки зрения закона Гука растяжение и сжатие описываются одинаково, но есть практические различия. При растяжении опасны концентраторы напряжений (отверстия, надрезы) и хрупкое разрушение. При сжатии длинных тонких стержней главную опасность представляет не текучесть, а потеря устойчивости - продольный изгиб, когда стержень внезапно выгибается вбок при нагрузке заметно меньшей, чем предел текучести. Для коротких и массивных элементов (колонны, опоры) сжатие считают по тем же формулам, что и растяжение, только со знаком минус у силы и напряжения.

Ещё одно отличие - поведение материалов. Бетон и чугун хорошо работают на сжатие, но плохо на растяжение, поэтому в железобетоне растянутую зону армируют сталью. Это прямое следствие того, что у таких материалов предел прочности на растяжение в разы ниже, чем на сжатие, хотя модуль Юнга и сам закон Гука в упругой области одинаковы.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: стальной стержень длиной $L_0 = 1000$ мм и площадью сечения $A = 100$ мм² растягивают силой $F = 10$ кН. Модуль Юнга стали $E = 200$ ГПа. Нужно найти напряжение, относительную деформацию, удлинение и жёсткость.

Сначала переведём всё в согласованные единицы. Удобно считать в Н и мм: тогда напряжение получится сразу в МПа (Н/мм²), а модуль Юнга $E = 200$ ГПа $= 200000$ МПа.

$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{10000}{100} = 100\ \text{МПа}.$

Относительная деформация - из закона Гука:

$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{100}{200000} = 0{,}0005.$

Удлинение стержня:

$\Delta L = \varepsilon \, L_0 = 0{,}0005 \cdot 1000 = 0{,}5\ \text{мм}.$

Жёсткость стержня:

$k = \frac{E \, A}{L_0} = \frac{200000 \cdot 100}{1000} = 20000\ \text{Н/мм}.$

Проверка применимости: напряжение 100 МПа меньше предела текучести стали (около 250 МПа), значит, деформация упругая и закон Гука здесь работает. Коэффициент запаса $n = 250/100 = 2{,}5$. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку: подставь свои числа, и он покажет те же четыре величины и положение рабочей точки на диаграмме.

Частые ошибки

• Путаница ГПа и МПа. Модуль Юнга обычно дают в ГПа, а напряжение удобно считать в МПа. Перед подстановкой переведите: $1$ ГПа $= 1000$ МПа, иначе деформация выйдет в тысячу раз неверной.
• Несогласованные единицы силы и площади. Если сила в ньютонах, а площадь в мм², напряжение получается в МПа. Смешивать Н с м² или кН с мм² нельзя - следите за размерностями.
• Применение закона Гука за пределом упругости. Формула $\Delta L = FL_0/(EA)$ верна только пока $\sigma < \sigma_т$. За пределом текучести деформация уже не пропорциональна напряжению.
• Забытая исходная длина. Деформация $\varepsilon = \Delta L / L_0$ безразмерна, а удлинение $\Delta L$ зависит от $L_0$: два стержня с одинаковым напряжением, но разной длиной удлиняются по-разному.
• Знак при сжатии. При сжатии сила, напряжение и деформация отрицательны. Если в задаче на сжатие получился положительный $\Delta L$, проверьте знаки.

FAQ

Как формулируется закон Гука при растяжении и сжатии? В упругой области нормальное напряжение прямо пропорционально относительной деформации: $\sigma = E\varepsilon$, где $E$ - модуль Юнга. Через силу и геометрию это даёт удлинение $\Delta L = FL_0/(EA)$.

Чему равно удлинение стального стержня длиной 1 м и сечением 100 мм² под силой 10 кН? Напряжение $\sigma = 10000/100 = 100$ МПа, деформация $\varepsilon = 100/200000 = 0{,}0005$, удлинение $\Delta L = 0{,}0005 \cdot 1000 = 0{,}5$ мм. Напряжение ниже предела текучести, так что закон Гука применим.

До какого момента действует закон Гука? До предела пропорциональности, который близок к пределу текучести. Пока напряжение меньше $\sigma_т$, деформация упругая и обратимая. Выше начинается пластика, и линейная связь напряжения с деформацией нарушается.

Коротко

Закон Гука при растяжении и сжатии связывает напряжение и деформацию линейно: $\sigma = E\varepsilon$. Отсюда удлинение стержня $\Delta L = FL_0/(EA)$ и его жёсткость $k = EA/L_0$ - стержень ведёт себя как пружина. Закон работает только в упругой области, до предела текучести; за ним деформация становится пластической, и формулы перестают быть верными. Для расчёта достаточно знать силу, сечение, длину и модуль Юнга материала, а коэффициент запаса $n = \sigma_т/\sigma$ показывает, насколько конструкция далека от предела.