Как найти коэффициент продольного изгиба: расчёт стойки

Дано: стальная стойка из двутавра №20 по ГОСТ 8239-89 ($A = 26{,}8$ см², $i_{\min} = 2{,}07$ см), длина $l = 3{,}0$ м, оба конца закреплены шарнирно ($\mu = 1$), сжимающая сила $N = 120$ кН, допускаемое напряжение $[\sigma] = 160$ МПа. Найти: коэффициент продольного изгиба $\varphi$ и выполнить проверку на устойчивость.

Порядок один и тот же для любого сжатого стержня: считаем гибкость, по гибкости и материалу выписываем из таблицы коэффициент $\varphi$, а потом сравниваем рабочее напряжение с уменьшенным допускаемым. Ответ: гибкость $\lambda = 144{,}9$, коэффициент продольного изгиба $\varphi = 0{,}340$, напряжение $\sigma = 44{,}8$ МПа против допускаемого на устойчивость $54{,}4$ МПа, стойка проходит с запасом 17,7 %. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: точка на зелёной кривой и есть найденный $\varphi$, а пунктир показывает, где на оси гибкости стоит наша стойка.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу.

Шаг 1. Берём наименьший радиус инерции. Стержень выпучивается в ту сторону, где ему легче, то есть относительно оси с меньшим моментом инерции. У двутавра №20 моменты инерции сильно различаются: $I_x = 1840$ см⁴ и $I_y = 115$ см⁴, поэтому в расчёт идёт ось $y$:

$$i_{\min} = i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \sqrt{\frac{115}{26{,}8}} = 2{,}07\ \text{см}.$$

Для прокатных профилей это число не считают, а берут прямо из сортамента, столбец $i_y$. Считать приходится только для составных и нестандартных сечений.

Шаг 2. Расчётная длина и гибкость. Закрепление концов учитывается коэффициентом приведения длины $\mu$: у стойки с двумя шарнирами $\mu = 1$, значит расчётная длина равна геометрической. Гибкость - это отношение расчётной длины к наименьшему радиусу инерции, число безразмерное:

$$\lambda = \frac{\mu l}{i_{\min}} = \frac{1 \cdot 300}{2{,}07} = 144{,}9.$$

Длину обязательно переводим в сантиметры, раз радиус инерции в сантиметрах: самая частая потеря баллов в этой задаче - гибкость, завышенная или заниженная в десять раз.

Шаг 3. Коэффициент продольного изгиба по таблице. Значение $\lambda = 144{,}9$ попадает между строками 140 и 150, где для стали Ст3 стоят 0,36 и 0,32. Интерполируем линейно:

$$\varphi = 0{,}36 - \frac{144{,}9 - 140}{10}\left(0{,}36 - 0{,}32\right) = 0{,}36 - 0{,}49 \cdot 0{,}04 = 0{,}340.$$

Шаг 4. Проверка условия устойчивости. Коэффициент $\varphi$ работает как множитель к допускаемому напряжению: чем гибче стержень, тем меньшую долю прочности материала разрешено использовать. Считаем фактическое напряжение и допускаемое на устойчивость:

$$\sigma = \frac{N}{A} = \frac{120 \cdot 10^3}{26{,}8 \cdot 10^2} = 44{,}8\ \text{МПа}, \qquad \varphi[\sigma] = 0{,}340 \cdot 160 = 54{,}4\ \text{МПа}.$$

$44{,}8 < 54{,}4$ - условие выполняется. Полезно посчитать и допускаемую силу, она нагляднее процентов:

$$[N] = \varphi[\sigma]A = 0{,}340 \cdot 160 \cdot 26{,}8 \cdot 10^2 = 145{,}8\ \text{кН}.$$

Ответ: $\lambda = 144{,}9$, $\varphi = 0{,}340$, $\sigma = 44{,}8$ МПа $\le \varphi[\sigma] = 54{,}4$ МПа. Стойка устойчива, сечение загружено на 82,3 %, допускаемая сила 145,8 кН. Такой расчёт обычно идёт вторым пунктом после проверки на прочность по продольной силе, которую снимают с эпюры продольных сил.

Формула и откуда она берётся

Коэффициент продольного изгиба $\varphi$ - это отношение допускаемого напряжения на устойчивость к допускаемому напряжению на прочность:

$$\varphi = \frac{[\sigma]_{\text{уст}}}{[\sigma]}, \qquad 0 < \varphi \le 1.$$

Смысл простой. Короткий стержень разрушается, когда напряжение доходит до опасного для материала, и здесь работает обычный закон Гука при сжатии. Длинный до этого не доживает: он теряет прямолинейную форму равновесия и выпучивается вбок при напряжении в разы меньшем. Критическую силу такого выпучивания даёт формула Эйлера, а критическое напряжение из неё зависит только от материала и гибкости:

$$\sigma_{\text{кр}} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}.$$

Формула Эйлера верна, пока материал работает упруго, то есть при гибкости выше предельной (для стали Ст3 это $\lambda_{\text{пред}} \approx 100$). Ниже работает эмпирическая формула Ясинского, ещё ниже расчёт переходит в обычную проверку на прочность. Чтобы не выяснять каждый раз, в какой из трёх зон находится стержень, нормы свели все три случая в одну таблицу $\varphi$: в неё уже заложены и нужный коэффициент запаса, и переход от Эйлера к Ясинскому. Поэтому в учебной задаче формулу Эйлера отдельно не применяют, если в условии не просят найти именно критическую силу.

Таблица коэффициента фи по гибкости и материалу

Таблица табулирована с шагом гибкости 10, промежуточные значения берутся линейной интерполяцией. Фрагмент для трёх самых частых материалов:

Строка чугуна обрывается на $\lambda = 100$ не случайно: чугун хрупок и плохо работает на растянутой стороне выпученного стержня, поэтому гибкие чугунные стойки просто не применяют. Если в расчёте получилась гибкость вне таблицы, это не повод экстраполировать - это сигнал сменить сечение, закрепление или материал.

Сравнение строк сразу показывает главное: при одной и той же гибкости у разных материалов $\varphi$ разный, и переносить стальные значения на дерево нельзя. Второй вывод менее очевиден и хорошо виден в калькуляторе: переключи двутавр №20 на трубу 100х4 мм. Площадь падает вдвое, до 12,06 см², но радиус инерции растёт до 3,40 см, гибкость снижается до 88,2, коэффициент поднимается до 0,701 - и труба выдерживает 135,3 кН, почти столько же, сколько вдвое более тяжёлый двутавр. При работе на устойчивость важна не площадь, а то, как она разнесена от центра тяжести.

Подбор сечения методом последовательных приближений

Обратная задача сложнее прямой: $\varphi$ зависит от сечения, а сечение подбирается по $\varphi$. Замкнутый круг разрывают итерациями, начиная с $\varphi_1 = 0{,}5$. На каждом шаге считают требуемую площадь $A_{\text{тр}} = N / (\varphi[\sigma])$, берут по сортаменту ближайший профиль, находят его настоящий $\varphi$ и повторяют, усредняя прошлое и новое значения. Для нашей силы 120 кН и длины 3 м получается три шага:

На третьем шаге требуемая площадь сравнялась с площадью уже отвергнутого №18, поэтому берётся следующий номер сортамента - №20, тот самый, что стоит в условии. Процесс сходится быстро: обычно хватает двух-трёх приближений, а признак остановки - принятый и фактический $\varphi$ различаются не больше чем на 5 %. Механика подбора здесь та же, что при подборе сечения балки по моменту сопротивления, только там сортамент перебирается за один проход, а тут по кругу.

Частые ошибки

• Взяли радиус инерции относительно сильной оси. У двутавра №20 $i_x = 8{,}28$ см против $i_y = 2{,}07$ см: по оси $x$ гибкость выходит 36,2 вместо 144,9, а $\varphi$ - 0,928 вместо 0,340. Стойка получается «прочной» в расчёте и выпучивается в жизни.
• Забыли коэффициент приведения длины. Для консоли $\mu = 2$, и гибкость удваивается. Для стойки с двумя заделками $\mu = 0{,}5$, и тогда та же стойка несёт 340,9 кН вместо 145,8 кН. Закрепление меняет ответ в разы.
• Смешали сантиметры и метры. Радиус инерции в сортаменте дан в сантиметрах, длина в условии - в метрах. Гибкость 1,45 вместо 144,9 сразу даёт $\varphi \approx 1$ и ложный запас.
• Сравнили напряжение с полным $[\sigma]$. Проверка на прочность и проверка на устойчивость - разные условия. Для нашей стойки ошибка даёт запас в 3,6 раза вместо реальных 1,2.
• Экстраполировали таблицу за последнюю строку. Значения $\varphi$ ниже 0,19 для стали и ниже 0,16 для чугуна не берут: такие стержни нормами не допускаются.
• Подставили площадь в квадратных сантиметрах в формулу с мегапаскалями. Перед делением площадь переводят в квадратные миллиметры, иначе напряжение выходит в сто раз меньше.

FAQ

Чем гибкость отличается от коэффициента продольного изгиба? Гибкость $\lambda$ - геометрическая характеристика стержня, её считают по формуле $\mu l / i_{\min}$. Коэффициент $\varphi$ - табличная величина, которую по этой гибкости находят, и зависит она ещё и от материала. Сначала всегда $\lambda$, потом $\varphi$.

Можно ли считать $\varphi$ формулой вместо таблицы? Для оценочных расчётов пользуются аппроксимациями вида $\varphi = 1 - 0{,}8(\lambda/100)^2$ при $\lambda < 100$, но в контрольной работе ждут табличное значение с интерполяцией. Расхождение доходит до 10 %, а таблица - нормативный документ.

Почему в расчёте железобетонной колонны $\varphi$ берут иначе? Там коэффициент определяют по отношению расчётной длины к высоте сечения $l_0/h$, а не по гибкости, и таблица другая. Это разные методики: у стали работает гибкость через радиус инерции, у железобетона - упрощённое отношение размеров.

Что делать, если сила приложена не по центру? Тогда это уже не центральное сжатие, а внецентренное сжатие: к продольной силе добавляется изгибающий момент, и проверка идёт по другой формуле, через коэффициент $\varphi_e$ или по краевым напряжениям.

Коротко

1. Выписываем из сортамента площадь $A$ и наименьший радиус инерции $i_{\min}$: для двутавра №20 это 26,8 см² и 2,07 см.
2. Считаем гибкость $\lambda = \mu l / i_{\min}$ в одинаковых единицах: $1 \cdot 300 / 2{,}07 = 144{,}9$.
3. По таблице для своего материала находим $\varphi$ с линейной интерполяцией: для стали Ст3 при $\lambda = 144{,}9$ это 0,340.
4. Проверяем условие $\sigma = N/A \le \varphi[\sigma]$: 44,8 МПа против 54,4 МПа, запас 17,7 %, допускаемая сила 145,8 кН.
5. Если сечение неизвестно, подбираем его приближениями от $\varphi_1 = 0{,}5$, усредняя принятое и фактическое значения, пока они не сойдутся.