Степень кинематической неопределимости: как определить

Дано: плоская рама, горизонтальный ригель опирается на три стойки, все три узла сопряжения ригеля со стойками жёсткие. Левая стойка защемлена в основании, средняя и правая стоят на шарнирно неподвижных опорах. Найти: степень кинематической неопределимости $n_{\text{к}}$, то есть число неизвестных метода перемещений.

Метод перемещений берёт за неизвестные не усилия, а перемещения узлов, поэтому степень неопределимости складывается из двух слагаемых: числа неизвестных углов поворота жёстких узлов $n_{\varphi}$ и числа независимых линейных смещений $n_{\Delta}$. Здесь $n_{\varphi} = 3$, $n_{\Delta} = 1$, значит $n_{\text{к}} = 4$: четыре неизвестных и ровно четыре канонических уравнения. Калькулятор сверху пересчитает степень для любой рамы и любой неразрезной балки, а ниже разобран каждый шаг подсчёта.

Решение по шагам

Шаг 1. Считаем неизвестные углы поворота. Неизвестным становится поворот каждого узла, где стержни соединены жёстко и узел способен повернуться. Что идёт в счёт, а что нет:

В нашей раме жёстких узлов три: ригель жёстко соединён с левой, средней и правой стойкой. Защемление левой стойки в основании неизвестного угла не добавляет, потому что поворот там запрещён самой опорой. Значит $n_{\varphi} = 3$.

Шаг 2. Строим шарнирную схему. Чтобы посчитать линейные смещения, во все жёсткие узлы и во все защемления врезают шарниры. Стержни при этом остаются на своих местах, меняется только характер соединений: рама превращается в шарнирно стержневую систему.

Подвижность такой системы и есть число независимых линейных смещений исходной рамы. Работает это потому, что в методе перемещений стержни считают нерастяжимыми и несжимаемыми: длина каждого не меняется, и всю картину перемещений задаёт геометрия схемы.

Шаг 3. Считаем степень свободы шарнирной схемы. Каждый подвижный узел на плоскости имеет две степени свободы, каждый стержень отнимает одну:

$$n_{\Delta} = 2\,\text{У} - \text{С}.$$

У нас $\text{У} = 3$: это три точки сопряжения ригеля со стойками. Низ стоек узлами не считается, там неподвижные опорные точки. Стержней $\text{С} = 5$: два участка ригеля между соседними стойками плюс три стойки, каждая из которых после врезки шарниров работает как связь между узлом и опорой. Отсюда

$$n_{\Delta} = 2 \cdot 3 - 5 = 1.$$

Шаг 4. Проверяем смещение по смыслу. Единица читается физически: ригель вместе с верхами стоек сдвигается по горизонтали как одно целое, и этого единственного параметра хватает, чтобы задать положение всей схемы. Второго, независимого от него смещения нет, этаж один.

Та же проверка с другой стороны: сколько стержней надо добавить в шарнирную схему, чтобы она перестала быть подвижной. Хватает одного раскоса в плоскости ригеля, значит независимое смещение действительно одно.

Шаг 5. Складываем оба слагаемых.

$$n_{\text{к}} = n_{\varphi} + n_{\Delta} = 3 + 1 = 4.$$

Ответ. Рама четырежды кинематически неопределима: $n_{\text{к}} = 4$. Основная система метода перемещений получается введением трёх плавающих заделок в жёсткие узлы и одной горизонтальной опорной связи на уровне ригеля, канонических уравнений тоже будет четыре.

Формула и откуда она берётся

Суть метода перемещений в том, чтобы сначала пережать все возможные движения узлов, а потом вернуть их обратно. В каждый жёсткий узел ставят плавающую заделку, запрещающую поворот, но не мешающую смещаться, а по каждому направлению возможного линейного смещения ставят опорный стержень. Рама распадается на набор одинаковых однопролётных балок с известными решениями, и это основная система.

Дальше рассуждают в обратную сторону: введённых связей в настоящей раме нет, значит реакции в них обязаны равняться нулю. Отсюда и число неизвестных: сколько связей ввели, столько перемещений $Z_i$ ищем и столько уравнений записываем. Формула $n_{\text{к}} = n_{\varphi} + n_{\Delta}$ просто пересчитывает эти связи по двум их разновидностям.

Второе слагаемое целиком опирается на гипотезу о нерастяжимости стержней. Продольные деформации в изгибаемых рамах на порядки меньше изгибных, поэтому ими пренебрегают, расстояния между узлами вдоль стержней фиксируются, и вся кинематика описывается несколькими параметрами вместо двух координат на каждый узел.

Не путай эту величину со степенью статической неопределимости, которую считают для метода сил: там неизвестными выступают усилия в лишних связях, а число их равно избытку связей над уравнениями равновесия. Считаются обе величины по разным правилам и совпадают лишь случайно, а выбирают метод по тому, какое из двух чисел меньше.

Шарнирная схема: как её строить и считать

Порядок действий короткий: врезать шарниры во все жёсткие узлы, превратить каждое защемление в шарнирно неподвижную опору, остальные опоры оставить как есть и после этого пересчитать узлы и стержни.

Узлом схемы считают только точку, которая может перемещаться: сопряжение стержней между собой или низ стойки, стоящей на катке. Неподвижная опорная точка, то есть шарнирно неподвижная опора или бывшее защемление, узлом не считается, она принадлежит земле. Стержнем считают каждый прямолинейный участок между двумя узлами, а также каждую опорную связь: каток это один стержень, шарнирно неподвижная опора это два.

Если получилось $2\,\text{У} - \text{С} \le 0$, независимых линейных смещений нет и $n_{\Delta} = 0$. Отрицательное значение означает только то, что в схеме есть лишние стержни, на число неизвестных метода перемещений это никак не влияет.

Одного числа, как и в статике, мало. Схема с нулевой подвижностью бывает мгновенно изменяемой, если связи расставлены неудачно: например, три опорных стержня сходятся осями в одной точке. Поэтому после подсчёта всегда смотрят на схему глазами и проверяют, не собираются ли связи в пучок.

Неразрезная балка и многоэтажная рама

У неразрезной балки горизонтальных смещений нет: опоры удерживают её по всей длине, а стержни нерастяжимы. Значит $n_{\Delta} = 0$, и всё сводится к подсчёту углов поворота промежуточных опор. Для балки на пяти опорах промежуточных опор три, поэтому $n_{\text{к}} = 3$; переключатель в калькуляторе считает именно этот случай. Врезанный над промежуточной опорой шарнир убирает один неизвестный угол, потому что пролёты перестают поворачиваться вместе.

У многоэтажной рамы каждый этаж добавляет своё независимое горизонтальное смещение, а каждый жёсткий узел своё неизвестное. Вот как меняется ответ на типовых схемах:

Строка с П-образной рамой проверяется той же формулой: узлов в шарнирной схеме два, стержней три, то есть ригель и две стойки, откуда $n_{\Delta} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$.

Что делать с найденным числом

Дальше записывают систему канонических уравнений, по одному на каждую введённую связь:

$$r_{i1} Z_1 + r_{i2} Z_2 + \dots + r_{in} Z_n + R_{iP} = 0, \quad i = 1, \dots, n_{\text{к}}.$$

Коэффициенты $r_{ik}$ это реакции во введённых связях от единичных перемещений, их берут из таблиц реакций однопролётных балок, а свободные члены $R_{iP}$ это реакции от внешней нагрузки в основной системе. Решив систему, получают истинные перемещения $Z_i$ и по ним строят окончательную эпюру моментов.

Результат обязательно проверяют. Статическая проверка: вырезают каждый жёсткий узел и убеждаются, что сумма изгибающих моментов в нём равна нулю, а реакции опор уравновешивают внешнюю нагрузку. Кинематическая проверка идёт через перемножение эпюр по правилу Верещагина: перемещение по направлению отброшенной связи должно обратиться в ноль.

Частые ошибки

• Защемление считают жёстким узлом. Заделка запрещает поворот, её угол известен и равен нулю, неизвестного она не даёт. Самая частая причина завышенного $n_{\varphi}$.
• Забывают про линейные смещения. Подсчёт останавливают на жёстких узлах и получают на единицу или на две меньше. Для любой рамы, не раскреплённой в уровне ригеля, шарнирную схему строить обязательно.
• Шарнирный узел принимают за неизвестный угол. Через шарнир момент не передаётся, концы стержней поворачиваются независимо, общего угла поворота у такого узла нет.
• Узлами шарнирной схемы считают опорные точки. Шарнирно неподвижная опора и бывшее защемление неподвижны и в подсчёт $\text{У}$ не идут, иначе $n_{\Delta}$ окажется завышенным сразу на два.
• Опорные связи не считают стержнями. В формуле $2\,\text{У} - \text{С}$ каток это один стержень, шарнир на земле это два; пропуск этих связей превращает неподвижную схему в мнимый механизм.
• Путают с методом сил. Степень статической неопределимости и степень кинематической неопределимости считают по разным правилам, и у одной и той же рамы они обычно разные.

FAQ

Как выбрать между методом сил и методом перемещений? Сравнить два числа для одной и той же схемы и взять метод с меньшим числом неизвестных: объём вычислений растёт примерно как куб порядка системы. У многоэтажных рам с жёсткими узлами кинематическая неопределимость почти всегда ниже статической, поэтому там побеждает метод перемещений, а у балок и простых контуров чаще выгоднее метод сил.

Может ли степень кинематической неопределимости быть нулевой? Да. Если все узлы шарнирные и схема неподвижна, неизвестных нет и метод перемещений просто не нужен: такая система обычно статически определима и считается уравнениями равновесия. Пример такой схемы это шарнирная ферма или однопролётная балка на двух опорах.

Влияет ли нагрузка на степень кинематической неопределимости? Нет. Число неизвестных определяется только схемой: жёсткими узлами, шарнирами и опорами. Нагрузка меняет свободные члены канонических уравнений и сами перемещения, но не их количество.

Нужно ли учитывать продольные деформации стержней? В классическом методе перемещений нет, и именно поэтому шарнирная схема даёт такое маленькое $n_{\Delta}$. Если продольные деформации учитывать, неизвестными станут все перемещения всех узлов, а это уже расчёт по методу конечных элементов, а не ручной курсовой.

Коротко

1. Посчитайте жёсткие узлы: каждый даёт один неизвестный угол поворота, защемления и шарниры не в счёт.
2. Постройте шарнирную схему: врежьте шарниры во все жёсткие узлы и превратите защемления в шарнирно неподвижные опоры.
3. Найдите подвижность схемы по формуле $n_{\Delta} = 2\,\text{У} - \text{С}$, где стержнями считаются и опорные связи; при отрицательном результате принимайте $n_{\Delta} = 0$.
4. Сложите слагаемые: $n_{\text{к}} = n_{\varphi} + n_{\Delta}$, это и есть число канонических уравнений.
5. Для рамы из примера $n_{\varphi} = 3$, $n_{\Delta} = 2 \cdot 3 - 5 = 1$, значит $n_{\text{к}} = 4$.