Как построить эпюру моментов рамы: пошаговое решение

Дано: рама $ACDB$ со стойками высотой $h = 4$ м и ригелем пролётом $L = 6$ м. Опора $A$ внизу левой стойки шарнирно-неподвижная, опора $B$ внизу правой стойки подвижная (каток), узлы $C$ и $D$ жёсткие. По всему ригелю действует равномерно распределённая нагрузка $q = 10$ кН/м, на левую стойку на высоте $3$ м от опоры $A$ приложена горизонтальная сила $F = 20$ кН, направленная влево. Найти: эпюру изгибающих моментов.

Реакций три, уравнений равновесия тоже три, поэтому рама статически определима и считается обычным методом сечений. Ответ: $V_A = 40$ кН вверх, $V_B = 20$ кН вверх, $H_A = 20$ кН вправо; наибольший момент $M_C = 60$ кН·м в узле $C$, в пролёте ригеля момент доходит до $20$ кН·м при $x = 4$ м, правая стойка не изгибается вовсе. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах, и эпюра там отложена так, как её сдают: со стороны растянутых волокон, прямо на контуре рамы.

Решение по шагам

Шаг 1. Реакции опор. Пока реакции не найдены, ни на одном участке нечего подставлять в метод сечений. Распределённую нагрузку заменяем равнодействующей $R = qL = 10 \cdot 6 = 60$ кН, приложенной в середине ригеля, то есть на расстоянии $3$ м от любой из стоек. Моменты считаем положительными против часовой стрелки:

$$\begin{aligned} \sum F_x &= 0: & H_A - F &= 0, & H_A &= 20\ \text{кН (вправо)}, \\ \sum M_A &= 0: & V_B \cdot 6 - 60 \cdot 3 + 20 \cdot 3 &= 0, & V_B &= \frac{180 - 60}{6} = 20\ \text{кН}, \\ \sum F_y &= 0: & V_A + V_B - 60 &= 0, & V_A &= 60 - 20 = 40\ \text{кН}. \end{aligned}$$

Плечо горизонтальной силы - это вертикальное расстояние от опоры до линии её действия, здесь $3$ м, а не координата вдоль ригеля. Направлена сила влево и приложена выше опоры $A$, поэтому относительно $A$ она крутит раму навстречу нагрузке $q$, и в уравнении её момент стоит со знаком плюс. Общая схема этого шага для любых опор разобрана в задаче как определить реакции опор.

Шаг 2. Границы участков. Границу ставят там, где что-то меняется скачком: жёсткий узел, точка приложения сосредоточенной силы, начало и конец распределённой нагрузки, опора. Здесь таких точек три, и контур делится на четыре участка: стойка ниже силы (от опоры $A$ до отметки $3$ м), стойка выше силы (до узла $C$), ригель $CD$ и правая стойка $DB$. Обходить контур удобно от шарнира $A$ вверх, дальше по ригелю вправо и вниз к опоре $B$.

Шаг 3. Левая стойка. Режем стойку на высоте $s$ и оставляем нижнюю часть. До уровня силы на неё действует только реакция $H_A$ с плечом $s$, выше - ещё и сама сила $F$ с плечом $s - 3$:

$$M(s) = H_A s = 20 s \quad (0 \le s \le 3), \qquad M(s) = 20 s - 20 (s - 3) = 60 \quad (3 \le s \le 4).$$

Ординаты: $M(0) = 0$ в шарнире, $M(3) = 60$ кН·м на уровне силы, дальше полка $60$ кН·м до самого узла $C$. Сторону растянутых волокон определяем так: реакция $H_A$ толкает низ отсечённой части вправо, значит стойка выгибается вправо, а растягивается противоположная, наружная (левая) грань. Выше силы момент не меняется, поэтому и грань остаётся той же.

Шаг 4. Ригель. Теперь режем ригель на расстоянии $x$ от узла $C$ и снова оставляем левую часть - в неё целиком входит стойка с обеими горизонтальными силами. Момент, накопленный стойкой, никуда не девается: он переходит через жёсткий узел и входит в выражение постоянным слагаемым. Для ригеля примем привычное для балки правило знаков: плюс, когда растянуты нижние волокна.

$$M(x) = V_A x - \frac{q x^2}{2} - F \cdot 3 = 40x - 5x^2 - 60.$$

У узла $C$ момент отрицательный: там растянуты верхние волокна ригеля, и это продолжение той же наружной грани, что растянута у стойки. В сечении $x = 2$ м эпюра переходит через ноль и меняет знак - дальше растянут низ. Вершина параболы стоит там, где поперечная сила обращается в ноль: $Q(x) = V_A - qx = 40 - 10x = 0$ при $x = 4$ м, и там $M = 40 \cdot 4 - 5 \cdot 16 - 60 = 20$ кН·м.

Шаг 5. Правая стойка. Каток передаёт только вертикальную реакцию, горизонтальной составляющей у него нет. Сечём правую стойку на любой высоте, оставляем нижнюю часть - в ней одна вертикальная сила $V_B$, линия действия которой совпадает с осью стойки. Плеча нет, значит

$$M \equiv 0 \quad \text{на всём участке } DB.$$

Стойка $DB$ работает на чистое сжатие с продольной силой $N = -20$ кН. Отсюда же следует, что в узле $D$ эпюра обязана прийти в ноль, и формула ригеля это подтверждает: $M(6) = 240 - 180 - 60 = 0$.

Шаг 6. Проверки. Контрольное уравнение моментов относительно опоры $B$ в расчёт реакций не входило, поэтому годится для проверки:

$$\sum M_B = -40 \cdot 6 + 60 \cdot 3 + 20 \cdot 3 = -240 + 180 + 60 = 0.$$

Ответ: $V_A = 40$ кН, $V_B = 20$ кН, $H_A = 20$ кН; опасное сечение - узел $C$ с моментом $60$ кН·м, в пролёте ригеля $20$ кН·м при $x = 4$ м, правая стойка не изгибается.

Формула и откуда она берётся

Изгибающий момент в сечении равен сумме моментов всех внешних сил, оставшихся по одну сторону от разреза, относительно центра тяжести этого сечения. Формулировка одна и та же для балки, стойки и ригеля: меняется только состав отсечённой части.

Форму каждого куска эпюры задают дифференциальные зависимости $\dfrac{dM}{dx} = Q$ и $\dfrac{dQ}{dx} = -q$. На участке без поперечной нагрузки момент линеен, под равномерно распределённой нагрузкой - квадратная парабола, а экстремум стоит ровно там, где эпюра $Q$ пересекает ноль. Поэтому у стойки получились прямая и полка, а у ригеля - парабола с вершиной при $x = 4$ м. Те же правила работают и для обычной балки, подробный разбор с двумя эпюрами - в задаче как построить эпюру моментов.

Главное отличие рамы: стержни ориентированы по-разному, и договориться «плюс вверх» не получается - у вертикальной стойки верха нет. Поэтому в строительной механике эпюру $M$ строят со стороны растянутых волокон, без знака: ордината откладывается перпендикулярно оси стержня на ту грань, которая удлиняется. Такая эпюра читается однозначно и сразу подсказывает, куда в железобетоне класть рабочую арматуру.

Проверить статическую определимость до расчёта стоит всегда: три опорные реакции против трёх уравнений равновесия плоской системы. Если каток заменить второй шарнирно-неподвижной опорой, реакций станет четыре, уравнений по-прежнему три, и уравнениями статики задача уже не закроется. Как считают этот запас связей, разобрано в задаче как определить степень статической неопределимости.

Три проверки, которые ловят почти любую ошибку

Равновесие жёсткого узла. Вырежем узел $C$ и посмотрим на моменты в двух примыкающих сечениях: со стороны стойки $60$ кН·м, со стороны ригеля тоже $60$ кН·м. Других моментов в узел никто не подводит, и они обязаны уравновесить друг друга; если числа не сошлись, ошибка сидит в одном из двух участков. Для узла $D$ проверка такая же: $0 = 0$.

Непрерывность растянутой грани. В узле, где сходятся два стержня, растянутые волокна переходят с одного на другой без разрыва: наружная грань стойки продолжается верхней гранью ригеля. Если на чертеже эпюра у узла перескакивает с наружной грани на внутреннюю, знак где-то потерян.

Нули и экстремумы. Момент в шарнирной опоре без внешнего момента равен нулю. Экстремум на ригеле обязан стоять в сечении, где $Q = 0$: середина пролёта подходит только при симметричной нагрузке, здесь максимум сместился к $x = 4$ м, а в середине момент всего $15$ кН·м.

Что изменится, если поменять схему

Разверните силу $F$ вправо (в калькуляторе это отдельный переключатель) - и картина перестроится целиком: $V_A = 20$ кН, $V_B = 40$ кН, реакция $H_A$ уйдёт влево, у стойки растянутся внутренние волокна, а ригель перестанет менять знак: растянутым по всей длине окажется низ, а наибольший момент вырастет до $80$ кН·м при $x = 2$ м. Модуль момента в узле не изменится, он равен $F$ на высоту приложения силы.

Поднимите силу в сам узел $C$ - плечо станет равным $4$ м, и момент в узле вырастет до $M_C = 20 \cdot 4 = 80$ кН·м; участков на стойке останется всего один, эпюра там станет простым треугольником. Уберите распределённую нагрузку - и ригель получит линейную эпюру от $M_C$ до нуля в узле $D$. Дальше по найденному $M_{\text{max}}$ подбирают сечение, и это уже отдельная задача: как подобрать сечение балки. Продольные силы по стержням считают параллельно, по тем же отсечённым частям - приём показан в разборе построения эпюры продольных сил.

Частые ошибки

• Начинают ригель с нуля, забыв про момент, пришедший со стойки: в его выражении обязано стоять постоянное слагаемое $-60$ кН·м, иначе эпюра не сойдётся в узле $D$.
• Откладывают ординаты «вверх-вниз», как у балки: для стойки откладывать нужно вбок, и единственный однозначный ориентир тут - растянутая грань.
• Теряют момент горизонтальной силы в уравнении $\sum M_A$ или берут для неё горизонтальное плечо. Плечо горизонтальной силы измеряется по вертикали.
• Считают, что раз сила приложена к левой стойке, то изгибаются обе. При катке горизонтальной реакции нет, и правая стойка сжата, но не изогнута.
• Ищут максимум в середине пролёта. При несимметричной схеме сечение с $Q = 0$ смещается, и середина даёт $15$ кН·м вместо $20$.
• Проверяют только суммы сил и не проверяют узлы: ошибка в знаке на одном участке суммы не нарушит, а равновесие узла развалит сразу.

FAQ

Чем эпюра моментов рамы отличается от эпюры балки? Расчёт тот же, отличается подача. У балки ось одна, и ординаты откладывают от неё вверх или вниз со знаком; у рамы ось ломаная, поэтому каждую ординату откладывают перпендикулярно своему стержню и со стороны растянутых волокон. Плюс добавляется проверка равновесия жёстких узлов, которой у балки нет.

В какую сторону откладывать ординаты на стойке? На ту грань, которая растягивается. Рабочий приём: оставьте одну часть рамы, посмотрите, куда силы этой части поворачивают отсечённый конец, и растянутой окажется противоположная грань. Здесь реакция $H_A$ толкает низ стойки вправо, значит растянута левая, наружная грань.

Нужны ли жёсткости стержней? Нет: рама статически определима, все усилия находятся из уравнений равновесия, и ни модуль упругости, ни момент инерции сечения в расчёт не входят. Жёсткости понадобятся, только если считать перемещения.

Как быстро проверить чужую эпюру? Три взгляда: момент в шарнирной опоре равен нулю; в каждом жёстком узле моменты примыкающих стержней равны по модулю; под равномерной нагрузкой участок выгнут параболой, а не прямой.

Коротко

1. Находим три реакции: $\sum F_x = 0$, $\sum M_A = 0$, $\sum F_y = 0$. Здесь $H_A = 20$ кН, $V_A = 40$ кН, $V_B = 20$ кН.
2. Делим контур на участки по узлам, точкам приложения сил и границам нагрузок; обходим его от опоры $A$ до опоры $B$.
3. На каждом участке пишем момент как сумму моментов сил отсечённой части: стойка даёт $20s$ и полку $60$ кН·м, ригель - параболу $40x - 5x^2 - 60$, правая стойка - ноль.
4. Откладываем ординаты со стороны растянутых волокон и отмечаем характерные точки: $x = 2$ м - смена знака, $x = 4$ м - экстремум $20$ кН·м.
5. Проверяем: узел $C$ даёт $60 = 60$, узел $D$ даёт $0 = 0$, $\sum M_B = 0$. Опасное сечение - узел $C$ с моментом $60$ кН·м.