Как рассчитать болтовое соединение: число болтов и шаг

Дано: растянутый раскос фермы из двух уголков крепится болтами к фасонке толщиной $t = 10$ мм, продольная сила $N = 350$ кН, болты М20 класса прочности 5.8 нормальной точности, расчётное сопротивление срезу $R_{bs} = 200$ МПа, смятию $R_{bp} = 450$ МПа, число срезов одного болта $n_s = 2$, коэффициенты условий работы $\gamma_b = \gamma_c = 1{,}0$. Найти: число болтов и их размещение.

Болтовое соединение на сдвиг считают по двум предельным состояниям: срез стержня и смятие стенки отверстия. Считают не число болтов сразу, а несущую способность одного болта по каждому состоянию, и делят на меньшую из них. Ответ: один болт держит 125,7 кН на срез и только 90 кН на смятие, поэтому нужно 4 болта М20 в один ряд с шагом 60 мм; фактическое усилие на болт 87,5 кН, загрузка 97,2 %. Калькулятор сверху открыт на этих числах: подвинь толщину фасонки, и видно, как смятие перестаёт быть решающим.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу:

Найти: число болтов $n$, шаг и расстояния до края.

Шаг 1. Несущая способность одного болта на срез. Раскос из двух уголков охватывает фасонку с обеих сторон, поэтому каждый болт перерезается по двум плоскостям: $n_s = 2$. Площадь стержня по гладкой части:

$$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 20^2}{4} = 314\ \text{мм}^2$$ $$N_{bs} = R_{bs}\,\gamma_b\,A\,n_s = 200 \cdot 1{,}0 \cdot 314 \cdot 2 = 125\,700\ \text{Н} = 125{,}7\ \text{кН}$$

Шаг 2. Несущая способность на смятие. Стержень давит на стенку отверстия, и площадку контакта заменяют проекцией $d \sum t$. В сумму толщин идёт не весь пакет, а наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении: фасонка 10 мм с одной стороны против двух полок уголков по 8 мм с другой. Меньше оказывается фасонка, $\sum t = 10$ мм:

$$N_{bp} = R_{bp}\,\gamma_b\,d \sum t = 450 \cdot 1{,}0 \cdot 20 \cdot 10 = 90\,000\ \text{Н} = 90\ \text{кН}$$

Шаг 3. Число болтов. В знаменатель идёт меньшая из двух способностей, здесь это смятие:

$$n \ge \frac{N}{N_{b,\min}\,\gamma_c} = \frac{350}{90 \cdot 1{,}0} = 3{,}89$$

Дробное число болтов округляют только вверх, значит, $n = 4$. Для сравнения, по срезу хватило бы $350 / 125{,}7 = 2{,}79$, то есть трёх болтов: именно смятие тонкой фасонки, а не прочность стержня, определяет узел.

Шаг 4. Проверка принятого числа. На каждый болт приходится

$$N_1 = \frac{N}{n} = \frac{350}{4} = 87{,}5\ \text{кН} < 90\ \text{кН}$$

Запас по смятию всего 2,8 %, по срезу болт загружен на 69,6 %. Соединение проходит и работает почти в оптимуме.

Шаг 5. Размещение болтов. Болты нормальной точности ставят в отверстия на 3 мм больше диаметра стержня: $d_0 = 23$ мм. Все расстояния нормируют в долях $d_0$ и толщины пакета:

Четыре болта в один ряд вдоль усилия занимают $3 \cdot 60 + 2 \cdot 50 = 280$ мм длины прикрепления.

Ответ. Принимаем 4 болта М20 класса 5.8 в один ряд с шагом 60 мм и отступом от торца 50 мм. Несущая способность болта: 125,7 кН на срез, 90 кН на смятие; фактическое усилие 87,5 кН на болт.

Формула и откуда она берётся

Обе формулы вырастают из одного допущения: продольная сила делится между болтами поровну. Строго это неверно, крайние болты длинного ряда нагружены сильнее средних, но пластичная сталь выравнивает усилия за счёт местных деформаций. Поэтому длину прикрепления и ограничивают сверху: при слишком длинном ряду выравнивание не успевает произойти.

Срез описывает то же условие, что и в заклёпочном соединении, только записано оно иначе. В сопромате считают напряжение и сравнивают с допускаемым, в строительных нормах сразу считают силу, которую держит один болт. Отсюда и другая логика ответа: не «сколько заклёпок по каждому напряжению», а «сколько болтов по слабейшему из предельных состояний».

Смятие определяется не диаметром болта, а тем, сколько металла он продавливает. Толщина в формуле берётся наименьшая суммарная в одном направлении: если элементы с одной стороны тоньше, чем с другой, порвётся тонкая сторона. Именно здесь чаще всего теряют половину несущей способности, посчитав $\sum t$ по всему пакету.

Коэффициенты $\gamma_b$ и $\gamma_c$ учитывают то, чего формула не видит. Первый снижает несущую способность болта в многоболтовых соединениях и в соединениях с большими зазорами, второй отвечает за условия работы конструкции в целом. В учебной задаче их обычно берут равными единице, но в курсовом проекте проверять их обязательно: $\gamma_b = 0{,}9$ уменьшает несущую способность ровно на десятую часть и легко добавляет ещё один болт.

Продольная сила в раскосе не берётся с потолка: её получают из расчёта фермы, определяя усилия в стержнях вырезанием узлов или методом сечений.

Чем болт отличается от заклёпки: работа на растяжение

Заклёпка передаёт силу только поперёк стержня. Болт можно затянуть гайкой, и он начинает работать на растяжение, а само соединение получает предварительную затяжку. Отсюда третья проверка, которой у заклёпок нет:

$$N_{bt} = R_{bt}\,A_{bn} = 200 \cdot 245 = 49\,000\ \text{Н} = 49\ \text{кН}$$

Здесь $A_{bn} = 245$ мм² - площадь сечения нетто болта М20, то есть по резьбе, а не по гладкому стержню: рвётся болт всегда там, где сечение меньше. Если тот же узел выполнить фланцевым и нагрузить отрывающей силой 160 кН, на каждый из четырёх болтов придётся 40 кН против допустимых 49 кН - проверка проходит.

Когда болт одновременно срезается и растягивается, проверяют совместное действие:

$$\sqrt{\left(\frac{N_s}{N_{bs}}\right)^2 + \left(\frac{N_t}{N_{bt}}\right)^2} \le 1$$

Для наших чисел при срезе 87,5 кН и отрыве 40 кН получается $\sqrt{0{,}484 + 0{,}666} = 1{,}07 > 1$: по отдельности обе проверки проходят, а вместе нет. Это типичная ловушка узлов с моментом, где срез и отрыв всегда идут парой.

Высокопрочные болты: расчёт по трению

Если затянуть болт сильно, листы прижмутся друг к другу и сила пойдёт через трение, а стержень до стенок отверстия вообще не дотянется. Такое соединение называют сдвигоустойчивым или фрикционным. Усилие натяжения болта М20 из стали 40Х селект:

$$P = R_{bh}\,A_{bn} = 0{,}7 \cdot 1100 \cdot 245 = 188\,650\ \text{Н} = 188{,}7\ \text{кН}$$

Одна поверхность трения при обработке газопламенным способом ($\mu = 0{,}42$) и коэффициенте надёжности $\gamma_h = 1{,}12$ держит

$$Q_{bh} = \frac{P\,\mu}{\gamma_h} = \frac{188{,}7 \cdot 0{,}42}{1{,}12} = 70{,}7\ \text{кН}$$

При двух поверхностях трения болт передаёт 141,5 кН, и на первый взгляд хватает трёх болтов: $350 / 141{,}5 = 2{,}47$. Но коэффициент условий работы фрикционного соединения при числе болтов меньше пяти снижают до $\gamma_c = 0{,}8$, и расчёт приходится повторить: $350 / (141{,}5 \cdot 0{,}8) = 3{,}09$, то есть снова 4 болта. Выигрыш появляется только в больших стыках, где $\gamma_c = 1{,}0$.

Сравнить болтовой стык со сварным помогает расчёт углового шва: сварка не ослабляет сечение отверстиями, зато требует контроля качества.

Когда болт нагружен и растяжением, и сдвигом одновременно, отдельных проверок мало - считают эквивалентное напряжение по теории прочности.

Частые ошибки

• Берут большую несущую способность вместо меньшей. Болт обязан пройти оба предельных состояния, поэтому в знаменатель идёт минимум из $N_{bs}$ и $N_{bp}$, а не максимум и не среднее.
• Считают $\sum t$ по всему пакету. Нужна наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении: 10 мм фасонки против 16 мм двух полок уголков, а не 26 мм.
• Теряют число срезов. Крепление через фасонку двумя уголками даёт две плоскости среза; забытый множитель $n_s$ ровно вдвое занижает несущую способность на срез.
• Площадь на растяжение берут по стержню. В $N_{bt}$ идёт сечение нетто по резьбе (для М20 это 245 мм², а не 314 мм²), иначе прочность завышается на четверть.
• Округляют число болтов вниз. 3,89 болта это 4 штуки: при трёх усилие на болт вырастет до 116,7 кН против 90 кН допустимых.
• Ставят болты вплотную. Шаг меньше $2{,}5 d_0$ и отступ от края меньше $2 d_0$ приводят к вырыву металла между отверстиями, и никакой расчёт на срез это не покажет.

FAQ

Чем отличается расчёт болта от расчёта заклёпки? Схема та же - срез и смятие, но у болта появляется третья проверка на растяжение и возможность предварительной затяжки. Кроме того, болт ставят в отверстие с зазором, поэтому все элементы сначала сдвигаются на величину зазора и только потом включаются в работу; заклёпка заполняет отверстие целиком.

Почему отверстие больше болта на 3 мм? Это класс точности B, болты нормальной точности: зазор нужен, чтобы собрать конструкцию на монтаже. Для болтов повышенной точности зазор 0,3 мм, и расчётное сопротивление смятию у них выше, зато отверстия приходится сверлить по кондуктору.

Как учесть ослабление сечения отверстиями? Отдельной проверкой самого элемента по площади нетто: из площади сечения вычитают отверстия одного поперечного ряда. Порядок такого расчёта разобран в задаче про заклёпочное соединение, для болтового он не меняется.

Откуда берут $R_{bp}$? Из таблицы норм по временному сопротивлению стали и классу точности болта. Для распространённых малоуглеродистых сталей и болтов нормальной точности значение лежит около 430-500 МПа, поэтому смятие почти всегда оказывается опаснее среза при тонких фасонках.

Коротко

1. Посчитай несущую способность одного болта на срез: $N_{bs} = R_{bs} \gamma_b A n_s = 125{,}7$ кН при двух плоскостях среза.
2. Посчитай её же на смятие: $N_{bp} = R_{bp} \gamma_b d \sum t = 90$ кН, где $\sum t$ - наименьшая суммарная толщина в одном направлении.
3. Раздели силу на меньшую из двух и округли вверх: $n = 350 / 90 = 3{,}89 \to 4$ болта М20.
4. Проверь усилие на болт: $N_1 = 87{,}5$ кН против 90 кН, загрузка 97,2 %.
5. Размести болты с шагом не меньше $2{,}5 d_0 = 57{,}5$ мм и отступом от края не меньше $2 d_0 = 46$ мм: принято 60 и 50 мм, длина прикрепления 280 мм.