Как подобрать арматуру колонны: расчёт на сжатие

Дано: железобетонная колонна квадратного сечения $b = h = 400$ мм, расчётная продольная сила $N = 2500$ кН, бетон класса B25, продольная арматура класса A500, расчётная длина $l_0 = 4{,}0$ м, эксцентриситет случайный. Найти: требуемую площадь продольной арматуры и число стержней.

Подбор сводится к одному неравенству: нагрузка не должна превышать сумму того, что несут бетон и арматура, умноженную на коэффициент продольного изгиба. Всё, что стоит слева от арматуры, известно, поэтому площадь стали выражается из неравенства напрямую. Ответ: требуется $A_{s,\text{тр}} = 17{,}24$ см², принимаем 4 стержня диаметром 25 мм класса A500 ($A_s = 19{,}63$ см²), процент армирования 1,23 %, несущая способность сечения 2586 кН против 2500 кН по условию. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: серый сегмент столбика - вклад бетона, цветной - вклад арматуры, и видно, что 4 стержня по 22 мм до пунктира нагрузки не дотягиваются.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу.

Шаг 1. Проверяем, годится ли упрощённая формула. Колонну считают центрально сжатой со случайным эксцентриситетом, если нагрузка приложена без заданного смещения, гибкость невелика, а само смещение не превышает $h/30$. Проверяем оба условия:

$$\frac{l_0}{h} = \frac{4000}{400} = 10 \le 20, \qquad e_a = \max\left(\frac{h}{30};\ \frac{l_0}{600};\ 10\ \text{мм}\right) = \max(13{,}3;\ 6{,}7;\ 10) = 13{,}3\ \text{мм}.$$

Оба условия выполнены, значит годится укороченная формула. Будь в условии момент или гибкость выше 20, колонну пришлось бы считать как внецентренно сжатую, с учётом прогиба.

Шаг 2. Коэффициент продольного изгиба. Коэффициент $\varphi$ учитывает, что длинная колонна теряет часть несущей способности из-за продольного изгиба. Его берут по таблице норм в зависимости от отношения $l_0/h$, при промежуточных значениях интерполируют.

У нас $l_0/h = 10$ ровно, поэтому без интерполяции: $\varphi = 0{,}90$.

Шаг 3. Расчётные сопротивления материалов. Для бетона B25 расчётное сопротивление сжатию равно 14,5 МПа, но при длительно действующей нагрузке его умножают на коэффициент условий работы $\gamma_{b1} = 0{,}9$:

$$R_b = 14{,}5 \cdot 0{,}9 = 13{,}05\ \text{МПа}, \qquad R_{sc} = 400\ \text{МПа}.$$

Сопротивление арматуры A500 сжатию принято 400 МПа. Здесь нужна оговорка: табличные значения $R_b$, $R_{sc}$ и самого $\varphi$ различаются между редакциями норм и учебными методичками, а коэффициент $\gamma_{b1}$ в части курсов вводят отдельной строкой. Перед сдачей сверь три числа с той редакцией, по которой ведёт курс преподаватель, - методика от этого не меняется, меняются только цифры в подстановке. Класс бетона, если он в условии не задан прямо, определяют по испытанию образцов; как это делается, разобрано в задаче про марку бетона.

Шаг 4. Требуемая площадь арматуры. Условие прочности центрально сжатого элемента со случайным эксцентриситетом:

$$N \le \varphi \left( R_b A + R_{sc} A_{s,\text{tot}} \right).$$

Площадь бетонного сечения $A = 400 \cdot 400 = 160\,000$ мм². Выражаем площадь арматуры:

$$A_{s,\text{тр}} \ge \frac{N/\varphi - R_b A}{R_{sc}} = \frac{2\,777\,778 - 13{,}05 \cdot 160\,000}{400} = \frac{689\,778}{400} = 1724\ \text{мм}^2 = 17{,}24\ \text{см}^2.$$

Следи за единицами: мегапаскаль - это ньютон на квадратный миллиметр, поэтому нагрузку переводим в ньютоны, а площади держим в квадратных миллиметрах. Бетон несёт $R_b A = 2088$ кН из требуемых $N/\varphi = 2778$ кН, остаток в 690 кН ложится на сталь.

Шаг 5. Подбираем стержни. Арматуру размещают симметрично: в квадратном сечении обычно берут 4 угловых стержня одного диаметра. Идём по сортаменту, пока площадь не перекроет 17,24 см².

Четыре стержня по 22 мм дают 15,21 см² и не проходят: несущая способность 2427 кН против нагрузки 2500 кН, то есть недобор 3 %. Принимаем 4 стержня диаметром 25 мм, суммарная площадь 19,63 см².

Шаг 6. Процент армирования. Отношение площади стали к площади бетона показывает, не вышло ли сечение вырожденным:

$$\mu = \frac{A_s}{A} \cdot 100\ \% = \frac{1963}{160\,000} \cdot 100\ \% = 1{,}23\ \%.$$

Минимум зависит от гибкости относительно радиуса инерции $i = h/\sqrt{12} = 115{,}5$ мм: при $l_0/i = 4000/115{,}5 = 34{,}6$ нормы требуют не менее 0,15 %, то есть 2,4 см². Верхнего предела в нормах нет, но на практике армирование выше 3 % считают признаком того, что сечение мало: стержни перестают помещаться, а бетон не успевает передать на них усилие. Наши 1,23 % лежат в рабочем коридоре 1–2 %, типичном для колонн среднего этажа.

Шаг 7. Обратная проверка. Подставляем принятую площадь обратно в условие прочности:

$$\varphi (R_b A + R_{sc} A_s) = 0{,}9 \cdot (2\,088\,000 + 400 \cdot 1963) = 2\,586\,000\ \text{Н} = 2586\ \text{кН} \ge 2500\ \text{кН}.$$

Сечение использовано на 96,7 %, запас 3,4 % - нормально: сортамент дискретный, попасть в нагрузку точь-в-точь нельзя. Ответ: 4 стержня диаметром 25 мм класса A500, $A_s = 19{,}63$ см², $\mu = 1{,}23$ %, несущая способность 2586 кН.

Формула и откуда она берётся

Бетон и арматура в колонне сцеплены и укорачиваются одинаково. Пока нагрузка мала, усилие делится между ними пропорционально жёсткостям $EA$, то есть через модуль Юнга. К предельному состоянию картина упрощается: бетон выходит на свою призменную прочность, сжатая арматура - на своё расчётное сопротивление, и несущая способность становится простой суммой $R_b A + R_{sc} A_{s,\text{tot}}$.

Множитель $\varphi$ приклеен к этой сумме снаружи и делает две вещи сразу: учитывает потерю устойчивости гибкого стержня и снижение прочности при длительном действии нагрузки. Поэтому он всегда меньше единицы и падает с ростом $l_0/h$: короткий стержень разрушается от сжатия, длинный - от продольного изгиба, и вторая схема наступает раньше.

Сама расчётная длина $l_0$ - не высота этажа, а длина, приведённая к шарнирной схеме. Для колонны с двумя шарнирами $l_0 = H$, при жёстком защемлении внизу и шарнире вверху $l_0 = 0{,}7H$, для консольной стойки $l_0 = 2H$. Взять высоту вместо расчётной длины - самая дорогая ошибка в этом расчёте: у консоли она занижает гибкость вдвое. Как связаны схема закрепления и число связей, показано в задаче о степени статической неопределимости.

Конструктивные требования: диаметры, хомуты, защитный слой

Расчёт даёт площадь, но не чертёж - остальное задают конструктивные правила. Диаметр продольных стержней в колоннах обычно не меньше 16 мм, расстояние между ними в свету - не менее 50 мм при вертикальном бетонировании и не более 400 мм. У нас при защитном слое 40 мм центры угловых стержней отстоят от грани на $40 + 25/2 = 52{,}5$ мм, расстояние между осями равно $400 - 2 \cdot 52{,}5 = 295$ мм, а в свету - 270 мм. Оба числа укладываются в коридор от 50 до 400 мм, поэтому промежуточные стержни по граням не нужны.

Хомуты в сжатом элементе работают не на поперечную силу, а против выпучивания продольных стержней наружу. Их диаметр принимают не менее четверти диаметра продольной арматуры и не менее 6 мм, шаг - не более 15 диаметров продольного стержня и не более 500 мм. Для наших стержней 25 мм: $15 \cdot 25 = 375$ мм, поэтому назначаем хомуты диаметром 8 мм класса A240 с шагом 300 мм, а в зоне стыка стержней внахлёстку шаг уменьшают вдвое.

Если данные другие

Класс бетона меняет результат сильнее всего. Тот же расчёт на бетоне B30 даёт $R_b = 15{,}3$ МПа, бетон берёт на себя уже 2448 кН, на арматуру остаётся 330 кН и требуется всего 8,24 см² - хватит четырёх стержней по 18 мм с процентом армирования 0,64 %. Сталь дороже бетона, поэтому в проектах чаще поднимают класс бетона, чем наращивают арматуру.

Уменьшение сечения работает в обратную сторону и быстро упирается в потолок. Для колонны 300 x 300 мм при той же нагрузке $l_0/h = 13{,}3$, коэффициент падает до $\varphi = 0{,}853$, бетон несёт только 1175 кН, а требуемая площадь арматуры вырастает до 43,9 см² - это 4,9 % армирования. Формально стержни подобрать можно, но такое сечение не принимают: нужно увеличивать размеры колонны. Переключи сечение в калькуляторе сверху, и он сам подсветит выход за предел.

Если к колонне приложен момент или нагрузка смещена намеренно, задача становится другой: сечение работает на внецентренное сжатие, арматуру считают раздельно у растянутой и сжатой граней, а границу безопасной зоны приложения силы задаёт ядро сечения. Принцип «подобрал по расчёту, проверил по конструктивным требованиям» при этом сохраняется - ровно так же устроен и подбор сечения балки при изгибе.

Частые ошибки

• Высота этажа вместо расчётной длины. $l_0$ зависит от закрепления концов и может отличаться от высоты в два раза в любую сторону. Ошибка меняет $\varphi$, а с ним и всю площадь арматуры.
• Коэффициент $\varphi$ забыт или поставлен не туда. Он умножает всю скобку, а не только слагаемое с бетоном; при выражении площади арматуры нагрузку делят на $\varphi$ целиком.
• Путаница в единицах. Килоньютоны и метры перемешаны с мегапаскалями и миллиметрами. Надёжный порядок: нагрузка в ньютонах, площади в квадратных миллиметрах, сопротивления в ньютонах на квадратный миллиметр.
• Округление площади вниз. Из сортамента берут ближайший больший диаметр, а не ближайший по значению: 15,21 см² вместо требуемых 17,24 см² - это недогруженная на бумаге и перегруженная в жизни колонна.
• Не проверен процент армирования. Результат ниже минимума означает, что арматуру нужно ставить конструктивно, а выше 3 % - что мало само сечение. Оба случая расчётом по прочности не ловятся.
• Применена не та формула. При $l_0/h > 20$ или заданном моменте упрощённое условие неприменимо, и подстановка в него даёт завышенную несущую способность.

FAQ

Почему арматуру считают по $R_{sc}$, а не по $R_s$? В колонне стержни сжаты вместе с бетоном, поэтому берут расчётное сопротивление сжатию. Для многих классов оно ниже, чем на растяжение: сжатая арматура ограничена деформацией бетона, который разрушается раньше, чем сталь доходит до своего предела.

Что делать, если по расчёту площадь получилась отрицательной? Это значит, что бетон несёт нагрузку сам, и арматура по прочности не требуется. Её всё равно ставят, но по конструктивному минимуму - от 0,1 до 0,25 % площади сечения в зависимости от гибкости, плюс хомуты.

Сколько стержней ставить, четыре или восемь? В квадратной колонне до 400 мм обычно хватает четырёх угловых. При большем сечении расстояние между стержнями по грани превысит 400 мм, и тогда добавляют промежуточные, доводя число до шести или восьми.

Учитывать ли собственный вес колонны? Да, он входит в продольную силу и для нижних этажей заметен. Но в отличие от балки его добавляют не поправкой после подбора, а сразу: вес зависит только от размеров сечения и высоты, то есть известен до расчёта арматуры.

Коротко

1. Проверь применимость: $l_0/h \le 20$ и эксцентриситет случайный. Иначе это задача на внецентренное сжатие.
2. Найди $\varphi$ по таблице через $l_0/h$: при отношении 10 коэффициент равен 0,90.
3. Выпиши $R_b$ с коэффициентом $\gamma_{b1} = 0{,}9$ и $R_{sc}$, посчитай площадь бетона: 13,05 МПа, 400 МПа и 160 000 мм².
4. Вырази площадь арматуры: $A_{s,\text{тр}} = (N/\varphi - R_b A)/R_{sc} = 17{,}24$ см², подбери ближайший больший вариант - 4 стержня по 25 мм, 19,63 см².
5. Проверь процент армирования (1,23 % при минимуме 0,15 % и потолке 3 %) и подставь принятую площадь обратно: 2586 кН против 2500 кН. Ответ: 4 стержня диаметром 25 мм класса A500.