Главные моменты инерции: формула и оси сечения

В расчётах на изгиб и устойчивость инженеру необходимо знать, в каком направлении сечение «сильнее» противостоит нагрузке, а в каком - «слабее». Это определяют главные центральные оси и соответствующие им главные моменты инерции $I_1$ и $I_2$. Когда оси выровнены по этим направлениям, центробежный момент $I_{xy}$ обращается в ноль, а осевые моменты достигают экстремальных значений. Рассчитайте собственное сечение в калькуляторе ниже, а затем разберём каждую формулу подробно.

Что такое главные центральные оси

Для произвольного плоского сечения можно выбрать бесконечно много систем центральных осей $x$, $y$, проходящих через центр тяжести. При повороте этих осей на угол $\alpha$ осевые моменты $I_x$, $I_y$ и центробежный момент $I_{xy}$ изменяются по закону:

$$I_{x'} = \frac{I_x + I_y}{2} + \frac{I_x - I_y}{2}\cos 2\alpha - I_{xy}\sin 2\alpha,$$ $$I_{x'y'} = \frac{I_x - I_y}{2}\sin 2\alpha + I_{xy}\cos 2\alpha.$$

Главные центральные оси - то единственное положение, при котором $I_{x'y'} = 0$. Приравняв второе выражение к нулю, получаем угол поворота главных осей:

$$\tan 2\alpha_0 = \frac{-2\,I_{xy}}{I_x - I_y}.$$

Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось и является одной из главных центральных осей, а центробежный момент относительно неё тождественно равен нулю.

Рассчитать для своей задачи

Формулы главных моментов инерции

Подставив угол $\alpha_0$ обратно в выражение для $I_{x'}$, находим оба главных момента. Или, что удобнее, через радиус $R$ круга Мора:

$$I_{1,2} = \frac{I_x + I_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2}.$$

Здесь:

• $I_1$ - максимальный главный момент (знак «плюс»);
• $I_2$ - минимальный главный момент (знак «минус»);
• величина под корнем - квадрат радиуса круга Мора: $R = \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2}$.

Из формулы сразу видно важное свойство: $I_1 + I_2 = I_x + I_y$. Сумма осевых моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных центральных осей - инвариант, она не зависит от поворота системы координат.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл: круг Мора

Уравнения поворота при замене параметра $\alpha$ - это уравнения окружности в плоскости $(I, I_{xy})$. Это и есть круг Мора для моментов инерции:

• центр окружности $C = \dfrac{I_x + I_y}{2}$ лежит на оси $I$;
• радиус $R = \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2}$;
• точка $\mathrm{X}(I_x,\; I_{xy})$ и симметричная ей $\mathrm{Y}(I_y,\; -I_{xy})$ лежат на окружности и соединены диаметром;
• пересечения окружности с осью $I$ (где $I_{xy} = 0$) дают $I_1 = C + R$ и $I_2 = C - R$.

Угол $2\alpha_0$ на круге - это угол между диаметром $\mathrm{XY}$ и осью $I$. В натуральном пространстве оси поворачиваются на $\alpha_0$ - вдвое меньше. Именно графический метод позволяет «читать» все результаты визуально, без повторного вычисления.

Полярный момент инерции и его связь с главными

Полярный момент инерции относительно центра тяжести сечения равен сумме осевых:

$$I_p = I_x + I_y = I_1 + I_2.$$

Это следствие инварианта суммы. Полярный момент полностью определяет сопротивление кручению круглых сечений, а для других форм - лишь вспомогательная характеристика, выражаемая через главные моменты.

Центробежный момент инерции

Центробежный момент $I_{xy}$ - это интегральная характеристика несимметричности сечения:

$$I_{xy} = \iint_A x\,y\,dA.$$

Для симметричных профилей (круг, квадрат, I-двутавр, рассматриваемый как равномерный) центробежный момент всегда равен нулю: главные оси совпадают с осями симметрии. Но у уголков, Z-образных и несимметричных составных сечений $I_{xy} \neq 0$, и тогда формулы выше необходимы.

Применение в расчётах на изгиб

Плоский изгиб возможен только тогда, когда нагрузка действует в плоскости одной из главных центральных осей. В противном случае возникает косой изгиб - деформация в двух плоскостях одновременно:

$$\sigma = \frac{M_{x'}}{I_1}\,y' - \frac{M_{y'}}{I_2}\,x',$$

где $x'$, $y'$ - координаты точки относительно главных осей, $M_{x'}$, $M_{y'}$ - составляющие момента в этих осях. При несимметричном изгибе нейтральная линия не совпадает с вектором момента - она смещается в сторону оси с меньшим главным моментом $I_2$.

Вычисление для составного сечения

Для сечения, составленного из простых фигур, используют теорему Штейнера (параллельный перенос осей):

$$I_x = \sum_i \left(I_{x_i}^c + A_i\,a_i^2\right), \quad I_{xy} = \sum_i \left(I_{x_i y_i}^c + A_i\,a_i\,b_i\right),$$

где $a_i$, $b_i$ - координаты центра тяжести $i$-й части относительно общих центральных осей. После нахождения $I_x$, $I_y$, $I_{xy}$ для всего сечения применяют формулы выше.

Частые ошибки

• Перепутать формулу угла. $\tan 2\alpha_0 = -2I_{xy}/(I_x - I_y)$, а не $+2I_{xy}$. Знак минус обязателен - именно он обеспечивает $I_{x'y'} = 0$.
• Не перенести оси в центр тяжести. Формулы для главных моментов работают только для центральных осей. Применять их к осям, не проходящим через центр тяжести, - грубая ошибка.
• Считать $I_1 = I_x$, $I_2 = I_y$. Это верно лишь если $I_{xy} = 0$. В общем случае $I_1 \geq \max(I_x, I_y)$ и $I_2 \leq \min(I_x, I_y)$.
• Забыть инвариант. Быстрая проверка: $I_1 + I_2$ должно равняться $I_x + I_y$. Если нет - где-то ошибка в вычислениях.
• Неверный знак $I_{xy}$ при использовании таблиц. Таблицы уголков и Z-профилей дают $|I_{xy}|$; знак зависит от ориентации профиля в глобальной системе осей.

FAQ

Что такое главные оси инерции простыми словами? Это те два взаимно перпендикулярных направления, проходящих через центр тяжести, в которых сечение наиболее «жёсткое» ($I_1$) и наименее «жёсткое» ($I_2$) при изгибе. При изгибе в плоскости главной оси нейтральная линия совпадает с ней - это и есть плоский (не косой) изгиб.

Как найти угол главных осей на практике? Вычислите $I_x$, $I_y$, $I_{xy}$ для центральных осей, постройте круг Мора (центр $C$, радиус $R$), найдите угол $2\alpha_0$ между диаметром $\mathrm{XY}$ и горизонтальной осью. Угол поворота главных осей в сечении - вдвое меньше: $\alpha_0$. Направление поворота совпадает с направлением отсчёта угла на круге от точки $\mathrm{X}$.

Чем главные моменты инерции отличаются от центральных? «Центральные оси» - любые оси, проходящие через центр тяжести. «Главные» - частный случай: центральные оси, для которых $I_{xy} = 0$. Для симметричных сечений оси симметрии всегда являются главными центральными осями, поэтому для круга, квадрата и I-двутавра дополнительного поворота не нужно.

Коротко

Главные центральные моменты инерции $I_1$ и $I_2$ - это экстремальные значения осевых моментов, достигаемые при повороте осей на угол $\alpha_0$, при котором центробежный момент $I_{xy}$ обращается в ноль. Формула $I_{1,2} = (I_x+I_y)/2 \pm R$, где $R = \sqrt{((I_x-I_y)/2)^2 + I_{xy}^2}$, и геометрический метод круга Мора дают одинаковый результат. Сумма $I_1 + I_2 = I_x + I_y$ - инвариант, удобный для проверки. В расчётах на изгиб плоский изгиб возможен только в плоскости главной оси; при косом изгибе оба главных момента участвуют в формуле нормального напряжения.