Вынужденные колебания и резонанс: формула амплитуды

Вынужденные колебания возникают, когда на колебательную систему действует внешняя периодическая сила: качели, которые подталкивают в такт, корпус прибора под вибрацией двигателя, контур под переменным напряжением. Если частота этой силы приближается к собственной частоте системы, амплитуда резко растёт - это и есть резонанс, из-за которого рушились мосты и ломались валы. Ниже разберём, как из уравнения движения получается формула установившейся амплитуды, чему равны резонансная частота и добротность, как меняется сдвиг фазы между силой и колебанием и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь частоты, затухания и амплитуды, покрутите калькулятор ниже: он строит амплитудно-частотную и фазочастотную кривые и отмечает на них текущую рабочую точку, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Уравнение вынужденных колебаний

Рассмотрим осциллятор массой $m$ на пружине жёсткости $k$ с силой сопротивления, пропорциональной скорости. Если к нему приложена внешняя гармоническая сила $F(t) = F_0\cos(\omega t)$, второй закон Ньютона даёт уравнение движения:

$m\ddot{x} + r\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t).$

Разделив на массу и введя стандартные обозначения - собственную частоту $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ и коэффициент затухания $\beta = r/(2m)$, - приводим уравнение к каноническому виду:

$\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t).$

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его общее решение - сумма затухающего собственного колебания и установившегося вынужденного. Собственная часть со временем гаснет как $e^{-\beta t}$, и через несколько периодов остаётся только вынужденное колебание, которое идёт строго на частоте внешней силы $\omega$, а не на собственной частоте системы.

Рассчитать для своей задачи

После затухания переходного процесса система выходит на режим установившихся колебаний - именно его и описывают рабочие формулы. Этот участок на анимации видно по постоянному размаху: пока частота силы далеко от собственной, маятник еле качается, но вблизи резонанса амплитуда вырастает в разы при той же силе.

Формула амплитуды установившихся колебаний

Установившееся решение ищут в виде $x(t) = A\cos(\omega t - \varphi)$, где $A$ - амплитуда, а $\varphi$ - отставание колебания по фазе от силы. Подставив это в уравнение и приравняв коэффициенты, получаем главную формулу - амплитудно-частотную характеристику:

$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}.$

Разберём её предельные случаи. При очень медленной силе ($\omega \to 0$) знаменатель равен $\omega_0^2$, и амплитуда выходит на статическое смещение $A_{ст} = F_0/(m\omega_0^2) = F_0/k$ - система просто следует за силой, как за медленным нажатием. При очень быстрой силе ($\omega \to \infty$) знаменатель растёт как $\omega^2$, и амплитуда стремится к нулю: система не успевает отзываться. А между этими пределами, когда $\omega$ близко к $\omega_0$, первое слагаемое под корнем обращается в ноль, знаменатель становится маленьким - и амплитуда взлетает.

Рассчитать для своей задачи

Семейство этих кривых для разного затухания и показывает суть резонанса: чем меньше $\beta$, тем выше и острее пик у собственной частоты. На графике в калькуляторе видно ту же картину - подвигайте ползунок $\beta$ и проследите, как пик оседает и расплывается.

Резонансная частота и добротность

Резонанс - это максимум амплитуды по частоте вынуждающей силы. Чтобы найти его точное положение, минимизируем знаменатель формулы $A(\omega)$. Производная подкоренного выражения по $\omega^2$ обращается в ноль при

$\omega_{рез} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}.$

Важная тонкость: резонансная частота амплитуды немного меньше собственной частоты $\omega_0$, и тем заметнее, чем больше затухание. При $\beta \ge \omega_0/\sqrt{2}$ подкоренное выражение становится отрицательным - резонансного пика просто нет, амплитуда монотонно спадает с ростом частоты. Для слабого затухания ($\beta \ll \omega_0$) сдвигом можно пренебречь и считать $\omega_{рез} \approx \omega_0$.

Остроту и высоту резонанса характеризует добротность:

$Q = \frac{\omega_0}{2\beta}.$

При слабом затухании амплитуда на резонансе примерно в $Q$ раз больше статического смещения: $A_{рез} \approx Q\cdot A_{ст}$. То есть добротность - это коэффициент усиления отклика на резонансе. У ненагруженного камертона $Q$ доходит до тысяч, у кварцевого резонатора - до миллионов; именно поэтому резонансные системы так чувствительны к частоте. Подставьте в калькуляторе $\omega_0 = 10$, $\beta = 1$: добротность $Q = 5$, и амплитуда на резонансе как раз впятеро превосходит статическую.

Сдвиг фазы между силой и колебанием

Вынужденное колебание всегда отстаёт по фазе от силы, и величина отставания зависит от частоты:

$\varphi(\omega) = \operatorname{arctg}\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}.$

При медленной силе ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг близок к нулю - система движется почти в такт силе. Ровно на собственной частоте ($\omega = \omega_0$) знаменатель обращается в ноль, и сдвиг фазы равен точно $\varphi = \pi/2 = 90°$ при любом затухании - это удобный признак резонанса. При быстрой силе ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг стремится к $\pi = 180°$: система колеблется в противофазе с силой. Почему максимум перекачки энергии идёт именно при $\varphi = 90°$? Потому что тогда скорость колебания совпадает по фазе с силой, и мощность $F\dot{x}$, которую сила вкачивает в систему, в среднем максимальна. Эта же логика отвечает, как раскачать качели: толкать нужно в момент наибольшей скорости, а не в крайней точке.

Затухающие колебания, к которым система возвращается после снятия силы, разобраны отдельно - см. затухающие колебания и логарифмический декремент. Там тот же $\omega_0$ и $\beta$ управляют уже свободным движением системы.

Где встречается резонанс

В механике резонанс - это и польза, и угроза. Полезен он там, где нужен сильный отклик на слабое воздействие: настройка радиоприёмника на частоту станции, работа музыкальных инструментов, измерительные кварцевые резонаторы. Опасен - когда внешняя вибрация случайно совпадает с собственной частотой конструкции: знаменитые разрушения мостов от шага колонны или ветровых пульсаций, вибрация валов на критических оборотах, дребезг деталей корпуса. Инженеры либо уводят собственную частоту подальше от рабочих частот, либо намеренно увеличивают затухание $\beta$, чтобы сбить высоту резонансного пика - именно это и делают демпферы и амортизаторы. В электрическом колебательном контуре действует та же математика: роль $\omega_0$ играет $1/\sqrt{LC}$, роль затухания - активное сопротивление, а резонанс напряжений позволяет получить на конденсаторе амплитуду в $Q$ раз больше входной.

Частые ошибки

• Путать собственную частоту с частотой колебаний. После затухания переходного процесса система колеблется на частоте вынуждающей силы $\omega$, а не на собственной $\omega_0$. Собственная частота определяет лишь, где будет резонанс.
• Считать резонанс точно на собственной частоте. Максимум амплитуды лежит при $\omega_{рез} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$, что меньше $\omega_0$. Приближение $\omega_{рез} \approx \omega_0$ верно только при малом затухании.
• Терять отличие амплитуды от смещения. В формуле $A(\omega)$ стоит именно амплитуда установившихся колебаний, а не мгновенное смещение $x(t)$. Мгновенное значение ещё умножается на $\cos(\omega t - \varphi)$.
• Забывать про статическое смещение. Усиление на резонансе считается относительно $A_{ст} = F_0/k$, а не относительно нуля. Само по себе значение амплитуды без сравнения мало о чём говорит.
• Игнорировать переходный процесс. Формула амплитуды описывает только установившийся режим. Сразу после включения силы амплитуда нарастает постепенно, и для большой добротности это занимает много периодов.

FAQ

При какой частоте наступает резонанс вынужденных колебаний? Амплитуда максимальна при $\omega_{рез} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$, то есть чуть ниже собственной частоты $\omega_0$. Чем меньше затухание $\beta$, тем ближе резонанс к $\omega_0$; при слабом затухании их можно считать совпадающими.

Чему равен сдвиг фазы на резонансе? Ровно на собственной частоте $\omega = \omega_0$ колебание отстаёт от силы на $\varphi = 90°$ при любом затухании. Это удобный экспериментальный признак резонанса: сдвиг фазы $\pi/2$ означает, что сила максимально эффективно подкачивает энергию.

Что показывает добротность Q при вынужденных колебаниях? Добротность $Q = \omega_0/(2\beta)$ задаёт остроту и высоту резонансного пика. При слабом затухании амплитуда на резонансе примерно в $Q$ раз больше статического смещения, а относительная ширина пика равна $1/Q$. Большая добротность означает узкий и высокий резонанс.

Коротко

Вынужденные колебания идут на частоте внешней силы, а их установившаяся амплитуда задаётся формулой $A(\omega) = (F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}$. Резонанс - максимум этой амплитуды - наступает при $\omega_{рез} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$, чуть ниже собственной частоты, а его остроту задаёт добротность $Q = \omega_0/(2\beta)$: на резонансе амплитуда примерно в $Q$ раз больше статического смещения. Сдвиг фазы растёт от нуля до $180°$, проходя через $90°$ ровно на собственной частоте.