Как разложить силу на составляющие: решение по шагам

Дано: сила $F = 120$ Н, её линия действия составляет угол $\alpha = 35^\circ$ с осью $Ox$. Найти: проекции $F_x$ и $F_y$, а также составляющие $F_1$ и $F_2$ по двум направлениям, отклонённым от силы на $\beta_1 = 20^\circ$ и $\beta_2 = 40^\circ$ в разные стороны.

Разложить силу - значит заменить её двумя силами, равнодействующая которых равна исходной. Если направления перпендикулярны, всё решается косинусом и синусом угла; если направления произвольные, строится параллелограмм и работает теорема синусов. Ответ: $F_x = 98{,}30$ Н, $F_y = 68{,}83$ Н, $F_1 = 89{,}07$ Н, $F_2 = 47{,}39$ Н. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах, а чипы переключают его между тремя схемами разложения.

Решение по шагам

Дано. $F = 120$ Н, $\alpha = 35^\circ$, $\beta_1 = 20^\circ$, $\beta_2 = 40^\circ$. Найти. $F_x$, $F_y$, $F_1$, $F_2$.

Шаг 1. Считаем проекции на оси координат. Оси взаимно перпендикулярны, поэтому параллелограмм вырождается в прямоугольник, а составляющие совпадают с проекциями. Каждая проекция равна модулю силы, умноженному на косинус угла между силой и осью:

$$\begin{aligned} F_x &= F\cos\alpha = 120 \cdot \cos 35^\circ = 120 \cdot 0{,}8192 = 98{,}30\ \text{Н},\\ F_y &= F\cos(90^\circ-\alpha) = F\sin\alpha = 120 \cdot 0{,}5736 = 68{,}83\ \text{Н}. \end{aligned}$$

Синус появился не сам по себе: угол между силой и осью $Oy$ равен $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$, а $\cos 55^\circ = \sin 35^\circ$. Правило одно на обе оси, просто для второй оси его принято записывать короче.

Шаг 2. Проверяем ортогональное разложение. У перпендикулярных составляющих есть готовый контроль: их геометрическая сумма должна вернуть исходный модуль.

$$\sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{98{,}30^2 + 68{,}83^2} = \sqrt{9662{,}9 + 4737{,}6} = \sqrt{14400{,}5} = 120{,}0\ \text{Н}.$$

Заодно проверяется направление: $\operatorname{tg}\alpha = F_y/F_x = 68{,}83/98{,}30 = 0{,}7002$, что даёт $\alpha = 35^\circ$.

Шаг 3. Строим треугольник сил для двух заданных направлений. Здесь оси уже не перпендикулярны, и формула с косинусом угла не работает. Переносим составляющую $F_2$ параллельно самой себе в конец $F_1$ - получается замкнутый треугольник, в котором сила $F$ служит замыкающей стороной. Его углы считаются сразу: при начале вектора лежит $\beta_1 = 20^\circ$, при конце $\beta_2 = 40^\circ$, а третий угол равен

$$180^\circ - \beta_1 - \beta_2 = 180^\circ - 20^\circ - 40^\circ = 120^\circ.$$

Шаг 4. Применяем теорему синусов. Каждая сторона треугольника относится к синусу противолежащего угла одинаково. Стороне $F_1$ противолежит угол $\beta_2$, стороне $F_2$ - угол $\beta_1$, стороне $F$ - угол $180^\circ - \beta_1 - \beta_2$, синус которого равен $\sin(\beta_1+\beta_2)$:

$$\frac{F_1}{\sin\beta_2} = \frac{F_2}{\sin\beta_1} = \frac{F}{\sin(\beta_1+\beta_2)}.$$

Отсюда обе составляющие:

$$\begin{aligned} F_1 &= F\,\frac{\sin\beta_2}{\sin(\beta_1+\beta_2)} = 120 \cdot \frac{\sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} = 120 \cdot \frac{0{,}6428}{0{,}8660} = 89{,}07\ \text{Н},\\ F_2 &= F\,\frac{\sin\beta_1}{\sin(\beta_1+\beta_2)} = 120 \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\sin 60^\circ} = 120 \cdot \frac{0{,}3420}{0{,}8660} = 47{,}39\ \text{Н}. \end{aligned}$$

Обрати внимание на перекрёстное соответствие: большая составляющая идёт по тому направлению, которое ближе к силе. Направление номер один отклонено всего на $20^\circ$, и на него пришлось $89{,}07$ Н из $120$ Н.

Шаг 5. Проверяем результат через проекции. Первое направление составляет с осью $Ox$ угол $35^\circ + 20^\circ = 55^\circ$, второе - угол $35^\circ - 40^\circ = -5^\circ$. Спроецируем обе составляющие на оси и сложим:

$$\begin{aligned} F_{1x} + F_{2x} &= 89{,}07\cos 55^\circ + 47{,}39\cos 5^\circ = 51{,}09 + 47{,}21 = 98{,}30\ \text{Н},\\ F_{1y} + F_{2y} &= 89{,}07\sin 55^\circ - 47{,}39\sin 5^\circ = 72{,}96 - 4{,}13 = 68{,}83\ \text{Н}. \end{aligned}$$

Суммы совпали с проекциями из шага 1 до сотых - разложение выполнено верно.

Ответ. $F_x = 98{,}30$ Н, $F_y = 68{,}83$ Н; по заданным направлениям $F_1 = 89{,}07$ Н и $F_2 = 47{,}39$ Н.

Формула и откуда она берётся

В основе лежит аксиома статики о параллелограмме сил: две силы, приложенные в одной точке, эквивалентны одной силе - диагонали параллелограмма, построенного на них. Разложение - это та же аксиома, прочитанная справа налево: по данной диагонали и двум направлениям сторон восстанавливается сам параллелограмм. Решение существует и единственно, пока направления не параллельны друг другу.

Для перпендикулярных направлений параллелограмм становится прямоугольником, его стороны и есть проекции. Проекция силы на ось определяется как $F_u = F\cos\theta$, где $\theta$ - угол между силой и положительным направлением оси. Формула даёт знак автоматически: при $\theta > 90^\circ$ косинус отрицателен, и проекция получается со знаком минус. Это скаляр, а не вектор, и именно проекции подставляются в уравнения равновесия, когда ищутся реакции опор.

Для произвольных направлений вместо прямоугольного треугольника получается косоугольный, и вместо определений синуса и косинуса приходится брать теорему синусов. Полезная проверка здесь - теорема косинусов, записанная для замыкающей стороны:

$$F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos(\beta_1+\beta_2) = 7933{,}0 + 2246{,}0 + 4221{,}0 = 14400{,}0,$$

откуда $F = 120{,}0$ Н. Знак «плюс» перед удвоенным произведением стоит потому, что в параллелограмме между сторонами лежит угол $\beta_1 + \beta_2$, а не смежный с ним.

Сумма модулей составляющих $89{,}07 + 47{,}39 = 136{,}46$ Н заметно больше исходных $120$ Н, и это нормально: складываются не числа, а векторы. Чем сильнее разведены направления, тем больше проигрыш; при угле между ними, близком к $180^\circ$, составляющие уходят в бесконечность.

Разложение веса на наклонной плоскости

Самый частый в курсе случай - груз на наклонной плоскости. Здесь оси поворачивают: одну направляют вдоль плоскости, вторую по нормали к ней. Вес $G = 120$ Н вертикален, а нормаль к плоскости отклонена от вертикали ровно на угол наклона $\alpha = 35^\circ$, поэтому

$$G_{\parallel} = G\sin\alpha = 68{,}83\ \text{Н}, \qquad G_{\perp} = G\cos\alpha = 98{,}30\ \text{Н}.$$

Числа те же самые, что в шаге 1, но поменялись местами: скатывающая составляющая стала меньшей, а прижимающая - большей. Причина в повороте осей: относительно наклонной плоскости вес отклонён от нормали на $35^\circ$, а относительно горизонтальных осей исходная сила была отклонена от $Ox$ на те же $35^\circ$. Нормальная составляющая $98{,}30$ Н дальше идёт в расчёт силы трения, а условие покоя груза разбирается через угол трения.

Если направления заданы не углами

Углы в условии дают не всегда. Три типовые формы записи сводятся к одной и той же схеме:

Для пространственной силы, заданной направляющими косинусами $0{,}6$; $0{,}48$ и $0{,}64$, проекции получаются сразу: $72$ Н, $57{,}6$ Н и $76{,}8$ Н. Контроль тот же - сумма квадратов косинусов обязана равняться единице: $0{,}36 + 0{,}2304 + 0{,}4096 = 1$. Техника нормировки направляющего вектора подробно разобрана в задаче про проекцию вектора на ось, а если разложенную силу надо затем свести к моменту, пригодится разбор про плечо силы.

Частые ошибки

• Ставят синус вместо косинуса наугад. Косинус берётся от угла между силой и самой осью. Если в условии дан угол с другой осью или с плоскостью, его сначала пересчитывают, а не подменяют функцию по памяти.
• Теряют знак проекции. Проекция - скаляр со знаком. Составляющая, направленная против оси, входит в уравнение равновесия с минусом, и потерянный знак сразу ломает всю систему.
• Применяют $F\cos\theta$ к непрямоугольному разложению. Для двух произвольных направлений косинус угла даёт не составляющую, а ортогональную проекцию - другую величину. Нужна теорема синусов.
• Путают угол треугольника сил с углом параллелограмма. Третий угол треугольника равен $180^\circ - \beta_1 - \beta_2 = 120^\circ$, но в знаменателе стоит $\sin(\beta_1+\beta_2) = \sin 60^\circ$. Синусы этих углов равны, а вот косинусы противоположны по знаку.
• Считают, что сумма составляющих равна модулю силы. Скаляры не складываются: $89{,}07 + 47{,}39 = 136{,}46 \ne 120$. Проверять надо векторно, через сумму проекций или теорему косинусов.
• Меняют местами синус и косинус на наклонной. Вдоль плоскости идёт $G\sin\alpha$, по нормали $G\cos\alpha$. Быстрая проверка: при $\alpha \to 0$ плоскость горизонтальна, скатывающая составляющая обязана обнулиться.

FAQ

Чем проекция силы отличается от составляющей? Составляющая - вектор, одно из слагаемых в разложении. Проекция - скаляр со знаком, длина этого вектора с учётом направления оси. Совпадают они только по модулю и только когда направления разложения взаимно перпендикулярны.

Можно ли разложить силу на три составляющие на плоскости? Однозначно - нет. На плоскости решение единственно ровно для двух непараллельных направлений; при трёх направлениях задача становится статически неопределимой и имеет бесконечно много решений. В пространстве та же логика даёт три направления.

Что делать, если заданные направления почти параллельны силе и друг другу? Формально формула работает, но $\sin(\beta_1+\beta_2)$ в знаменателе стремится к нулю, и составляющие растут неограниченно. Физически это значит, что конструкция с такими стержнями нагружается огромными усилиями, а численно - что ответ чувствителен к округлению углов.

Почему проекция на ось $Oy$ записывается через синус? Потому что угол между силой и осью $Oy$ дополняет угол с осью $Ox$ до прямого, а $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Это одно правило $F\cos\theta$, записанное для второй оси в привычной форме.

Коротко

1. На перпендикулярные оси сила раскладывается косинусом угла с каждой осью: $F_x = 120\cos 35^\circ = 98{,}30$ Н, $F_y = 120\sin 35^\circ = 68{,}83$ Н.
2. Контроль ортогонального разложения - модуль: $\sqrt{98{,}30^2 + 68{,}83^2} = 120{,}0$ Н.
3. Для двух произвольных направлений строится треугольник сил и берётся теорема синусов: $F_1 = F\sin\beta_2/\sin(\beta_1+\beta_2) = 89{,}07$ Н, $F_2 = F\sin\beta_1/\sin(\beta_1+\beta_2) = 47{,}39$ Н.
4. Проверка косого разложения - сумма проекций составляющих на оси: $51{,}09 + 47{,}21 = 98{,}30$ Н и $72{,}96 - 4{,}13 = 68{,}83$ Н.
5. На наклонной плоскости оси поворачивают вместе с поверхностью: вдоль плоскости $G\sin\alpha = 68{,}83$ Н, по нормали $G\cos\alpha = 98{,}30$ Н при $G = 120$ Н и $\alpha = 35^\circ$.