Математика и алгоритмы
Страница 3 из 24.
Теорема Алаоглу-Банаха: слабая-* компактность шара
Теорема Алаоглу-Банаха простыми словами: единичный шар сопряжённого пространства слабо-* компактен. Формулировка, доказательство через теорему Тихонова, смысл слабой-* топологии и примеры применения.
Теорема Гильберта о нулях: алгебра и геометрия
Теорема Гильберта о нулях (Nullstellensatz): слабая и сильная формы, связь идеалов и множеств нулей, радикал идеала, соответствие алгебры и аффинной геометрии над замкнутым полем.
Теорема Гильберта-Шмидта: разложение ядра по базису
Теорема Гильберта-Шмидта простыми словами: какой оператор она раскладывает, почему собственные функции образуют базис, как связана с интегральными уравнениями и где её применяют.
Теорема Кантора о мощности множества: P(A) больше A
Теорема Кантора о мощности множества: почему мощность множества всех подмножеств строго больше мощности самого множества, диагональный аргумент, доказательство, следствия и иерархия бесконечностей.
Теорема о свёртке Лапласа: образ произведения и оригинал
Теорема о свёртке Лапласа простыми словами: образ свёртки двух функций равен произведению их образов. Доказательство, формула интеграла свёртки, поиск оригинала и решение интегральных уравнений.
Теорема Рисса-Фишера: полнота L2 и ряды Фурье
Теорема Рисса-Фишера простыми словами: что утверждает, как связывает коэффициенты Фурье с функцией из L2, почему пространство полно и где это используется на экзамене.
Теорема Слуцкого: сходимость суммы и произведения
Теорема Слуцкого простыми словами: как сходимость по распределению сочетается со сходимостью по вероятности к константе, формулировка, доказательство и применение в статистике.
Тест Филлипса-Перрона: проверка единичного корня
Тест Филлипса-Перрона простыми словами: что такое единичный корень, как непараметрическая поправка убирает автокорреляцию, чем тест отличается от теста Дики-Фуллера и где ошибаются студенты.
Интегральное уравнение Абеля: ядро, обращение, решение
Интегральное уравнение Абеля со слабо особым ядром: классическая задача о таутохроне, формула обращения, обобщённое уравнение с показателем альфа и метод дробного интегрирования.
Уравнение синус-Гордона: солитоны, кинки и бризеры
Разбираем уравнение синус-Гордона и его солитоны: вывод кинка и антикинка, топологический заряд, энергия и лоренц-сжатие, бризер и интерактивный калькулятор профиля поля.
Уравнения Чепмена-Колмогорова: как связаны переходы
Уравнения Чепмена-Колмогорова простыми словами: как из переходов за n и m шагов получить переход за n+m, дискретная и непрерывная формы, связь с матрицей и стационарным распределением.
Уравнения, сводящиеся к квадратным: метод замены
Замена t сводит биквадратные, дробно-рациональные и возвратные уравнения к квадратным. Алгоритм подбора замены, обратный переход x и условие t больше или равно нулю с разбором ошибок.
Условная вероятность: определение и пример с разбором
Что такое условная вероятность простыми словами: строгое определение через формулу, понятный пример с разбором по шагам, связь с независимостью событий и формулой Байеса.
Вариационный автоэнкодер (VAE): как сеть учится генерировать
Вариационный автоэнкодер (VAE) понятно: вероятностный энкодер, репараметризация, ELBO и KL-расхождение, отличие от обычного автоэнкодера и где VAE применяют для генерации.
Вероятность через сочетания: формула и разбор
Как считать вероятность через сочетания: классическая формула, число сочетаний в числителе и знаменателе, разбор задач про урну, лотерею и карты с пошаговым решением.
Возвратные уравнения: решение через замену t = x + 1/x
Как решать возвратные (симметричные) уравнения: деление на x в квадрате, замена t равно x плюс 1 на x, разбор обобщённых и нечётных случаев с примерами и типичными ошибками.
Аддитивная категория: определение и аксиомы
Аддитивная категория: абелевы группы морфизмов, нулевой объект, бипроизведения и матричная запись. Разбираем аксиомы, отличие от абелевой категории и примеры с проверкой.
Алгоритм обратного распространения ошибки: как учится сеть
Backpropagation простыми словами: как обратное распространение ошибки считает градиенты по цепному правилу, обновляет веса нейросети и при чём тут исчезающий градиент. С формулами и разбором.
Алгоритм Петерсона: взаимное исключение двух потоков
Алгоритм Петерсона: как два потока делят критическую секцию через флаги и переменную turn, доказательство взаимного исключения, отсутствие тупика и проблема переупорядочения памяти.
Алгоритм XGBoost: как работает градиентный бустинг
Алгоритм XGBoost простыми словами: градиентный бустинг над деревьями решений, формула аддитивной модели, learning rate, регуляризация, ранняя остановка и разбор типовых задач.
Альтернатива Фредгольма: когда уравнение разрешимо
Альтернатива Фредгольма простыми словами: либо однородное уравнение имеет только нулевое решение и неоднородное разрешимо всегда, либо есть условие ортогональности правой части.
Архитектура трансформер: из чего собран Transformer
Архитектура трансформер по блокам: энкодер и декодер, multi-head self-attention, позиционное кодирование, FFN, residual и LayerNorm. Разбираем, как данные проходят сквозь сеть и где ошибаются.
Архитектура VGG: как устроена сеть из блоков 3x3
Разбор архитектуры VGG: почему свёртки 3x3, как считать число параметров, чем отличаются VGG-16 и VGG-19 и где сеть применяют как backbone для transfer learning.
Автоэнкодер (autoencoder): как сеть сжимает данные
Автоэнкодер (autoencoder) простыми словами: энкодер, латентное пространство и декодер, функция потерь реконструкции, виды сетей и где их применяют для сжатия и поиска аномалий.