Парадокс Монти Холла: почему выгодно менять дверь

Парадокс Монти Холла - самая известная задача, в которой здравый смысл подводит почти всех. Три двери, за одной автомобиль, за двумя козы. Вы указываете на дверь, ведущий открывает одну из оставшихся с козой и предлагает поменять выбор. Кажется, что теперь две двери равны и шансы 50 на 50. На самом деле сменить дверь вдвое выгоднее: вероятность выигрыша вырастает с $1/3$ до $2/3$.

Ниже - разбор парадокса с тремя дверями по шагам, строгий вывод через формулу Байеса и калькулятор, который соберёт условие вашей задачи и отправит его в чат с подробным решением.

Условие задачи о трёх дверях

Классическая формулировка восходит к американскому телешоу «Let's Make a Deal», которое вёл Монти Холл - отсюда название. Игроку показывают три закрытые двери. За одной из них спрятан главный приз (автомобиль), за двумя другими - пустышки (козы). Правила такие:

1. Игрок выбирает одну из трёх дверей, но не открывает её.
2. Ведущий, который знает, где приз, открывает одну из двух оставшихся дверей - обязательно с козой.
3. Ведущий предлагает игроку остаться при своём выборе или переключиться на последнюю закрытую дверь.

Вопрос: что выгоднее - остаться или поменять? Интуиция кричит, что после открытия одной двери осталось два равных варианта, поэтому всё равно. Это и есть ловушка: ключевую роль играет то, что ведущий действует не случайно, а по правилам и со знанием, где приз.

Рассчитать для своей задачи

Почему вероятность выигрыша не делится поровну

Разберём все исходы перебором. В начале игры приз с равной вероятностью $1/3$ находится за каждой из дверей. Допустим, игрок всегда указывает на дверь №1 - без потери общности, потому что двери симметричны. Рассмотрим стратегию «всегда менять выбор».

Если приз за дверью №1 (вероятность $1/3$), игрок изначально угадал. Ведущий откроет любую из двух коз, а смена приведёт ко второй козе - проигрыш.

Если приз за дверью №2 (вероятность $1/3$), игрок промахнулся. Ведущий вынужден открыть дверь №3 (там коза), и единственная закрытая дверь для смены - №2 с призом. Смена выигрывает.

Если приз за дверью №3 (вероятность $1/3$), всё зеркально: ведущий открывает №2, смена ведёт на №3 - выигрыш.

Итог: стратегия «менять» выигрывает в двух случаях из трёх. Значит, вероятность выигрыша при смене равна

$$P(\text{выигрыш} \mid \text{смена}) = \frac{2}{3},$$

а если остаться - только

$$P(\text{выигрыш} \mid \text{остаться}) = \frac{1}{3}.$$

Главная идея: вы выигрываете при смене ровно тогда, когда изначально ошиблись, а ошибаетесь вы с вероятностью $2/3$. Ведущий своим ходом не уравнивает шансы, а наоборот - концентрирует всю «массу проигрыша первого выбора» на единственной оставшейся двери.

Строгий вывод через формулу Байеса

Тот же ответ даёт формула Байеса - она хорошо показывает, где именно прячется информация о действиях ведущего. Пусть игрок выбрал дверь №1, а ведущий открыл дверь №3. Обозначим $A_i$ - событие «приз за дверью $i$», $H_3$ - событие «ведущий открыл дверь №3». Нас интересует $P(A_2 \mid H_3)$ - вероятность, что приз за дверью №2 (то есть смена выигрывает).

Сначала запишем поведение ведущего - это условные вероятности того, что он откроет именно дверь №3:

$$\begin{aligned} P(H_3 \mid A_1) &= \tfrac{1}{2}, \\ P(H_3 \mid A_2) &= 1, \\ P(H_3 \mid A_3) &= 0. \end{aligned}$$

Здесь и спрятан весь парадокс. Если приз за выбранной дверью №1, ведущему всё равно, какую из двух коз показать, - отсюда $1/2$. Если приз за дверью №2, ведущий обязан открыть №3 (дверь №1 трогать нельзя, №2 с призом - тоже), отсюда $1$. По формуле Байеса при равных априорных $P(A_i) = 1/3$:

$$P(A_2 \mid H_3) = \frac{P(H_3 \mid A_2)\,P(A_2)}{\sum_{i} P(H_3 \mid A_i)\,P(A_i)} = \frac{1 \cdot \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3} + 1\cdot\tfrac{1}{3} + 0} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{2}{3}.$$

Аналогично $P(A_1 \mid H_3) = 1/3$ - это вероятность выигрыша, если остаться. Подробнее о том, как условие пересчитывает шансы, - в разборе условной вероятности.

Рассчитать для своей задачи

Интуиция: что если дверей сто

Самый убедительный способ почувствовать парадокс - увеличить число дверей. Представьте 100 дверей: за одной автомобиль, за 99 - козы. Вы выбираете одну наугад, шанс угадать - всего $1/100$. Затем ведущий, зная расположение приза, открывает 98 дверей с козами и оставляет закрытыми вашу и ещё одну.

Теперь вопрос: где приз скорее всего? С вероятностью $99/100$ вы промахнулись в самом начале, и тогда ведущий, открывая все остальные пустышки, фактически указывает на дверь с призом - это та единственная, которую он не тронул. Менять выбор тут почти наверняка выгодно:

$$P(\text{выигрыш} \mid \text{смена}) = \frac{99}{100} = 0{,}99.$$

С тремя дверями эффект тот же, просто менее драматичный: смена переносит на вас всю вероятность «я сначала ошибся». Калькулятор выше как раз позволяет подставить 3, 5, 10 или 100 дверей и увидеть, как растёт выгода смены.

Чем важно условие про знание ведущего

Парадокс работает только при строгом соблюдении правил. Критично, что ведущий:

• знает, где приз, и никогда не открывает дверь с автомобилем;
• обязан открыть дверь с козой и предложить смену в каждой партии.

Если же ведущий открывает дверь наугад и ему просто повезло не наткнуться на приз, расклад другой: тогда после открытия козы две оставшиеся двери действительно равновероятны, и смена не даёт преимущества. Та же задача с другим протоколом поведения ведущего даёт другой ответ - поэтому важно всегда явно проговаривать правила игры. Похожая аккуратность нужна и при расчёте апостериорной вероятности гипотезы, где результат зависит от того, как именно получены данные.

Как проверить ответ моделированием

Если строгий вывод не убеждает, парадокс легко проверить экспериментом. Сыграйте мысленно или на компьютере много партий по одной стратегии и посчитайте долю выигрышей - это эмпирическая оценка вероятности. Алгоритм одной партии простой: случайно прячем приз за одной из трёх дверей, случайно выбираем дверь игрока, ведущий открывает козу из оставшихся, после чего применяем фиксированную стратегию и фиксируем результат.

При стратегии «всегда менять» доля выигрышей на длинной серии стремится к $2/3 \approx 0{,}667$, при стратегии «всегда оставаться» - к $1/3 \approx 0{,}333$. Чем больше партий, тем ближе частота к теоретической вероятности - это прямое следствие закона больших чисел. Уже на тысяче партий разрыв между стратегиями виден отчётливо, и никакая интуиция про «50 на 50» в данных не подтверждается. Именно так парадокс и проверяли скептики после публикации задачи - пока не получали те же $2/3$.

Частые ошибки

• «Осталось две двери, значит 50 на 50». Это главная ошибка. Открытие двери ведущим - не случайное событие, оно несёт информацию и не делает оставшиеся двери равновероятными.
• Забыть, что ведущий знает, где приз. Без этого условия задача превращается в другую, где смена бесполезна. Всегда проверяйте протокол поведения ведущего.
• Считать, что выбор первой двери ничего не значит. Наоборот: именно вероятность $2/3$ промахнуться первым выбором и переходит на дверь, которую предлагают взамен.
• Путать априорную и апостериорную вероятность. До хода ведущего шанс $1/3$ у каждой двери; после - он пересчитывается с учётом того, какую дверь и почему открыл ведущий.
• Обобщать ответ $2/3$ на любое число дверей. Для $n$ дверей и одной открытой картина уже другая - пользуйтесь общей формулой или калькулятором.

FAQ

Действительно ли менять дверь выгоднее, или это софизм? Это строгий результат теории вероятностей, подтверждённый и перебором исходов, и формулой Байеса, и компьютерным моделированием миллионов партий. Смена выигрывает в среднем в $2/3$ случаев - никакого софизма здесь нет.

Почему интуиция так упорно даёт 50 на 50? Мозг видит две закрытые двери и подсознательно «обнуляет» историю, считая их симметричными. Но они несимметричны: одна выбрана вслепую, а вторая уцелела после осознанного отсева ведущего, который избегал двери с призом.

Меняется ли ответ, если ведущий открывает дверь случайно? Да. Если ведущий не знает, где приз, и открыл козу случайно, две оставшиеся двери становятся равновероятными - смена не помогает. Весь парадокс держится на том, что ведущий действует осознанно и по правилам.

Коротко

Парадокс Монти Холла с тремя дверями разрешается так: оставаться при первом выборе значит выиграть с вероятностью $1/3$, а сменить дверь - с вероятностью $2/3$. Причина в том, что вы выигрываете при смене ровно тогда, когда изначально ошиблись, а это происходит в двух случаях из трёх; информированное действие ведущего переносит всю эту вероятность на единственную оставшуюся дверь. Менять выбор - всегда правильная стратегия.