Вероятность через сочетания: формула и разбор

Когда в задаче нужно «вытащить наугад» несколько предметов сразу - шары из урны, билеты в лотерее, карты из колоды - порядок выбора не важен, и подсчёт исходов опирается на сочетания. Вероятность тогда находится как отношение двух чисел сочетаний: благоприятных исходов к общему числу способов сделать выборку. В статье разберём эту формулу строго и на типовых задачах, а калькулятор ниже посчитает вероятность по любым вашим числам и покажет, из каких сочетаний она складывается.

Классическая вероятность и роль сочетаний

В основе лежит классическое определение вероятности: если все элементарные исходы равновозможны, то вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$P(A) = \frac{m}{n}.$

Когда из совокупности случайно и без возвращения извлекают группу предметов, а порядок внутри группы не учитывается, и общее число исходов $n$, и число благоприятных $m$ удобно считать через сочетания. Сочетание - это неупорядоченная выборка $k$ элементов из $n$ различных, его количество обозначают $C_n^k$ (или $\binom{n}{k}$) и вычисляют по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$

Если же порядок выбора важен, считают размещения, а не сочетания - это другая модель. Но в большинстве «урновых» задач достаётся горсть предметов разом, порядок безразличен, поэтому работают именно сочетания.

Рассчитать для своей задачи

Основная формула: вероятность через отношение сочетаний

Пусть в совокупности $N$ предметов, из них $K$ обладают нужным свойством (например, белые шары, выигрышные билеты, бракованные детали). Случайно извлекают $n$ предметов. Вероятность того, что среди них окажется ровно $k$ «нужных», равна:

$P = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}.$

Разберём её по частям:

• $C_N^n$ в знаменателе - общее число способов выбрать $n$ предметов из $N$. Это все равновозможные исходы.
• $C_K^k$ в числителе - число способов выбрать $k$ «нужных» из имеющихся $K$.
• $C_{N-K}^{n-k}$ - число способов добрать остальные $n-k$ предметов из $N-K$ «обычных».

Числитель - это правило произведения: каждый выбор «нужных» сочетается с каждым выбором «обычных». Эта формула описывает гипергеометрическое распределение - модель выбора без возвращения.

Задача про урну: вероятность вытащить нужные шары

Условие. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность, что среди них ровно 2 белых?

Здесь $N = 10$, $K = 6$ (белых), извлекаем $n = 3$, нужно $k = 2$ белых (значит $1$ чёрный). По формуле:

$P = \frac{C_6^2 \cdot C_4^1}{C_{10}^3} = \frac{15 \cdot 4}{120} = \frac{60}{120} = 0{,}5.$

Считаем сочетания: $C_6^2 = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15$, $C_4^1 = 4$, $C_{10}^3 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$. Вероятность ровно двух белых среди трёх вынутых равна $0{,}5$.

Тот же приём работает, если спросят про «хотя бы один» или «не менее двух» - тогда суммируют вероятности по всем подходящим значениям $k$, потому что это несовместные случаи.

Задача про лотерею: формула в действии

Условие. В лотерее «6 из 45» игрок отмечает 6 номеров. Какова вероятность угадать все 6?

Общее число способов выбрать 6 номеров из 45 - это $C_{45}^6$. Благоприятный исход только один (угаданная комбинация). Поэтому:

$P = \frac{1}{C_{45}^6} = \frac{1}{8\,145\,060} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-7}.$

А какова вероятность угадать ровно 5 номеров из 6? Тогда из 6 «выигрышных» угадано $k=5$, и один номер взят из 39 невыигрышных:

$P_5 = \frac{C_6^5 \cdot C_{39}^1}{C_{45}^6} = \frac{6 \cdot 39}{8\,145\,060} \approx 2{,}9 \cdot 10^{-5}.$

Рассчитать для своей задачи

Видно, насколько резко падает вероятность с ростом числа угаданных - именно поэтому джекпоты так редки. Если вы уже разбирали наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли, обратите внимание: там испытания независимы и считаются с возвращением, а здесь выбор без возвращения, и поэтому работают сочетания, а не степени.

Задача про карты: несколько групп свойств

Условие. Из колоды в 36 карт наугад берут 4. Какова вероятность, что среди них окажется ровно 2 туза?

Тузов в колоде $K = 4$, остальных карт $N - K = 32$. Берём $n = 4$, нужно $k = 2$ туза:

$P = \frac{C_4^2 \cdot C_{32}^2}{C_{36}^4} = \frac{6 \cdot 496}{58\,905} = \frac{2976}{58\,905} \approx 0{,}0505.$

Логика та же: $C_4^2 = 6$ способов выбрать два туза, $C_{32}^2 = 496$ способов добрать две не-туза, а всего раскладов по 4 карты - $C_{36}^4 = 58\,905$. Около 5 % - вероятность ровно двух тузов на руках.

Когда применять сочетания, а когда нет

Сочетания работают строго при двух условиях: выбор без возвращения и порядок не важен. Проверяйте оба перед тем, как писать $C_n^k$.

• Если предмет после извлечения возвращают обратно (выбор с возвращением) - модель меняется, чаще это схема Бернулли со степенями вероятностей.
• Если порядок важен (например, считаем варианты расстановки, а не состав группы) - нужны размещения $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ или перестановки.
• Если совокупность бесконечна или очень велика по сравнению с выборкой, гипергеометрическая модель приближается биномиальной.

Главный сигнал «здесь сочетания»: в условии есть слова «вынимают», «выбирают», «достают наугад» группу предметов, и спрашивают про состав этой группы, а не про последовательность.

Частые ошибки

• Путают сочетания и размещения. Если порядок не важен - сочетания $C_n^k$; если важен - размещения $A_n^k$. В «урновых» задачах почти всегда сочетания.
• Забывают второй множитель в числителе. Нужно не только выбрать $k$ «нужных», но и добрать остальные $n-k$ из «обычных» - множитель $C_{N-K}^{n-k}$ пропускать нельзя.
• Берут выбор с возвращением вместо без возвращения. Если шар возвращают в урну, сочетания неприменимы - там работают степени и схема Бернулли.
• Считают «хотя бы один» через одну дробь. «Хотя бы один» удобнее искать через дополнение: $P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного})$.
• Ошибаются в сочетании с нулём или равными аргументами. Помните: $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$, а $C_n^1 = n$.

FAQ

Чем отличается формула вероятности через сочетания от классической $P = m/n$? Это та же классическая формула, просто и числитель $m$, и знаменатель $n$ в ней подсчитаны через сочетания. Сочетания - инструмент для подсчёта числа равновозможных исходов, когда выборка делается без учёта порядка.

Когда в числителе одно сочетание, а когда произведение двух? Если благоприятный исход - выбрать $k$ предметов из одной однородной группы, числитель - одно сочетание. Если предметы делятся на «нужные» и «остальные» и состав фиксирован ($k$ из одних и $n-k$ из других), в числителе произведение $C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}$.

Как посчитать вероятность «не менее $k$ нужных»? Сложить вероятности для всех значений от $k$ до максимально возможного: $P(\ge k) = \sum_{i=k}^{\min(n,K)} \frac{C_K^i \, C_{N-K}^{n-i}}{C_N^n}$. Эти случаи несовместны, поэтому вероятности складываются.

Коротко

Вероятность через сочетания - это классическая формула $P = m/n$, где оба числа подсчитаны как сочетания: $P = \dfrac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$. Знаменатель $C_N^n$ - все способы сделать выборку, числитель - способы получить нужный состав. Модель работает при выборе без возвращения и без учёта порядка (гипергеометрическое распределение) и закрывает классические задачи про урну, лотерею и карты.