Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли

Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли - это такое число успехов $k_0$, которое в серии из $n$ независимых испытаний выпадает чаще всего. Если построить столбчатую диаграмму вероятностей $P_n(k)$ для всех $k$ от 0 до $n$, то $k_0$ - это номер самого высокого столбика, то есть мода биномиального распределения. Находят его не перебором всех вероятностей, а по короткому неравенству $np - q \le k_0 \le np + p$. Ниже разберём, откуда берётся это неравенство, почему интервал всегда имеет длину ровно 1, когда наивероятнейших чисел оказывается два и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь параметров $n$, $p$ и положения пика, покрутите калькулятор: он строит весь спектр вероятностей и показывает, как мода смещается, когда вы меняете вероятность успеха.

Что такое схема Бернулли и формула вероятности

Схема Бернулли - это последовательность из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых интересующее нас событие («успех») происходит с одной и той же вероятностью $p$, а не происходит («неудача») с вероятностью $q = 1 - p$. Классические примеры: серия выстрелов с фиксированной меткостью, проверка партии деталей с известной долей брака, повторные броски монеты или кубика. Главное условие - испытания независимы и вероятность успеха не меняется от испытания к испытанию.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдёт ровно $k$ успехов, даёт формула Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k\, p^k\, q^{n-k}, \qquad q = 1 - p,$

где $C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ - число сочетаний, то есть количество способов выбрать, в каких именно $k$ из $n$ испытаний случились успехи. Множитель $p^k q^{n-k}$ - вероятность одного конкретного такого исхода, а биномиальный коэффициент учитывает, сколько их всего. Если посчитать $P_n(k)$ для каждого $k$, получится набор вероятностей, который и называют биномиальным распределением.

Как смещается пик при изменении вероятности

Рассчитать для своей задачи

Если зафиксировать число испытаний $n$ и постепенно увеличивать вероятность успеха $p$, весь «колокол» распределения сдвигается вправо: успехов в среднем становится больше, поэтому пик переезжает к большим значениям $k$. При $p$ около нуля самый высокий столбик стоит у $k = 0$ (успехи редки), при $p$ около единицы - у $k = n$ (успехи почти всегда). Между этими краями пик плавно проходит по всей оси, и в каждый момент есть ровно одно (изредка два) число, которое выпадает чаще остальных. Именно это число и называют наивероятнейшим. Заметьте: высота пика тоже меняется - у симметричных распределений ($p = 0{,}5$) он ниже и шире, у краёв распределение собирается в узкий острый пик.

Формула наивероятнейшего числа успехов

Наивероятнейшее число $k_0$ - это то $k$, при котором $P_n(k)$ максимальна. Чтобы его найти, сравним соседние вероятности: число $k_0$ является пиком, если оно не меньше левого и не меньше правого соседа, то есть $P_n(k_0) \ge P_n(k_0 - 1)$ и $P_n(k_0) \ge P_n(k_0 + 1)$. Отношение соседних вероятностей в формуле Бернулли считается легко:

$\frac{P_n(k)}{P_n(k-1)} = \frac{n - k + 1}{k}\cdot\frac{p}{q}.$

Вероятность растёт, пока это отношение больше единицы, и убывает, когда оно становится меньше единицы. Приравняв оба условия ($P_n(k_0) \ge P_n(k_0-1)$ и $P_n(k_0+1) \le P_n(k_0)$) к единице и упростив, получаем главное неравенство для наивероятнейшего числа успехов:

$np - q \le k_0 \le np + p.$

Слева стоит $np - q$, справа - $np + p$. Это и есть рабочая формула: наивероятнейшее число успехов - целое число, попавшее в этот полуинтервал. Обратите внимание, что в центре стоит $np$ - математическое ожидание числа успехов, поэтому пик всегда находится рядом со средним.

Рассчитать для своей задачи

Почему интервал всегда имеет длину 1

Самое удобное свойство этой формулы - длина интервала. Вычтем левую границу из правой:

$(np + p) - (np - q) = p + q = 1.$

Интервал $[np - q,\; np + p]$ всегда имеет длину ровно 1, потому что $p + q = 1$ по определению. А внутри полуинтервала длины 1 целое число почти всегда ровно одно - поэтому наивероятнейшее число успехов обычно определяется однозначно. На практике это значит, что считать ничего сложного не нужно: вычислили $np - q$ и $np + p$, посмотрели, какое целое между ними лежит, - это и есть $k_0$. Если границы попали, например, в промежуток от 4,85 до 5,85, то единственное целое внутри - это 5, и наивероятнейшее число успехов равно 5.

Когда наивероятнейших чисел два

Особый случай наступает, когда правая граница $np + p$ оказывается целым числом. Тогда внутри полуинтервала длины 1 лежат сразу два целых - $np + p$ и $np - q$, и оба дают одинаковую максимальную вероятность. Говорят, что распределение имеет две моды. Классический пример - симметричная монета, которую бросают нечётное число раз. Возьмём $n = 9$, $p = 0{,}5$: тогда $np + p = 4{,}5 + 0{,}5 = 5$ - целое, а $np - q = 4{,}5 - 0{,}5 = 4$. Внутри интервала $[4,\,5]$ оба конца целые, поэтому наивероятнейших чисел два: 4 и 5, и вероятности $P_9(4)$ и $P_9(5)$ равны. Это легко проверить в калькуляторе выше: поставьте $n = 9$ и $p = 0{,}5$, и два золотых столбика встанут рядом на одной высоте.

Как решать типовую задачу: пример со стрелком

Разберём стандартную постановку. Стрелок делает $n = 20$ независимых выстрелов с вероятностью попадания $p = 0{,}8$ при каждом. Найдём наивероятнейшее число попаданий. Сначала $q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$. Считаем границы:

$np - q = 20\cdot 0{,}8 - 0{,}2 = 15{,}8, \qquad np + p = 20\cdot 0{,}8 + 0{,}8 = 16{,}8.$

Интервал $[15{,}8;\ 16{,}8]$ содержит единственное целое - 16. Значит, наивероятнейшее число попаданий $k_0 = 16$. При желании можно посчитать и его вероятность по формуле Бернулли:

$P_{20}(16) = C_{20}^{16}\, 0{,}8^{16}\, 0{,}2^{4} \approx 0{,}218.$

То есть из всех возможных исходов «ровно 16 попаданий» встречается чаще остальных, примерно в 22 % серий по 20 выстрелов. Алгоритм один и тот же для любой задачи: выписать $n$, $p$, $q$, найти $np - q$ и $np + p$, взять целое внутри - и, если нужно, подставить его в формулу Бернулли.

Связь со средним и поведение при больших n

Поскольку в центре интервала $[np - q,\; np + p]$ стоит математическое ожидание $np$, наивероятнейшее число успехов всегда лежит рядом со средним - отклонение от него не превышает 1. Это даёт быструю прикидку без вычислений: если в среднем ожидается $np$ успехов, то чаще всего их и будет примерно столько. Чем больше число испытаний $n$, тем «острее» становится пик распределения относительно его ширины: разброс возможных значений растёт как $\sqrt{npq}$, то есть медленнее, чем само $np$. Поэтому при большом $n$ доля исходов, близких к наивероятнейшему, увеличивается, и распределение всё лучше приближается нормальной кривой (это содержание локальной теоремы Муавра-Лапласа).

Отдельно стоит случай, когда испытаний много, а вероятность успеха мала, но произведение $np = \lambda$ остаётся умеренным. Тогда биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона, и наивероятнейшее число успехов считается по тому же принципу: целое в интервале вокруг $\lambda$. Так что формула $np - q \le k_0 \le np + p$ - это не изолированный приём, а частный случай общей идеи: мода распределения всегда живёт около его среднего.

Частые ошибки

• Путают вероятность и число. Наивероятнейшее число успехов $k_0$ - это целое число (сколько успехов), а не вероятность. Вероятность $P_n(k_0)$ считается отдельно подстановкой $k_0$ в формулу Бернулли.
• Округляют $np$ вместо проверки интервала. Соблазнительно «округлить $np$ до ближайшего целого», но это не всегда верно: правильный ответ - целое внутри $[np - q,\; np + p]$, а оно не обязано совпадать с округлением $np$, особенно при $p$, далёких от 0,5.
• Забывают про двойную моду. Если $np + p$ целое, наивероятнейших чисел два, и в ответе нужно указывать оба. Пропуск второго значения - типичная потеря балла.
• Берут $q$ вместо $p$ в правой границе. Границы именно $np - q$ слева и $np + p$ справа. Перепутанные местами $p$ и $q$ сдвигают интервал и дают неверное целое.
• Применяют формулу не к схеме Бернулли. Если вероятность успеха меняется от испытания к испытанию или испытания зависимы, схема Бернулли не работает и формула наивероятнейшего числа неприменима.

FAQ

Чем наивероятнейшее число успехов отличается от математического ожидания? Математическое ожидание $np$ - это среднее число успехов, и оно может быть дробным (например, 5,4). Наивероятнейшее число $k_0$ - всегда целое, оно равно номеру самого высокого столбика. Эти величины близки (пик всегда рядом со средним), но не обязаны совпадать: $k_0$ - целое внутри интервала $[np - q,\; np + p]$, в центре которого стоит как раз $np$.

Может ли наивероятнейшее число быть равным 0 или n? Да. При маленькой вероятности успеха $p$ интервал $[np - q,\; np + p]$ прижимается к нулю, и $k_0 = 0$ - чаще всего успехов не происходит вовсе. Симметрично, при $p$, близких к единице, наивероятнейшим становится $k_0 = n$. В калькуляторе это видно, если увести ползунок $p$ к краю.

Как найти наивероятнейшее число, если дана не вероятность, а доля? Доля и вероятность здесь одно и то же. Например, «доля брака 10 %» означает $p = 0{,}1$. Дальше всё по той же схеме: считаем $q = 0{,}9$, находим $np - q$ и $np + p$ для заданного объёма партии $n$ и берём целое внутри интервала.

Коротко

Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли - это мода биномиального распределения, то есть номер самого высокого столбика на диаграмме вероятностей $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$. Находят его по неравенству $np - q \le k_0 \le np + p$: интервал всегда имеет длину ровно 1, и целое внутри него и есть ответ. Если правая граница $np + p$ оказывается целой, наивероятнейших чисел два - соседние $k_0$ и $k_0 - 1$ с равными вероятностями. Чтобы не ошибиться, считают $np - q$ и $np + p$, берут целое между ними, а вероятность пика при необходимости получают подстановкой $k_0$ обратно в формулу Бернулли.