Распределение Пуассона: свойства, формула и моменты

Распределение Пуассона описывает число редких независимых событий, происходящих за фиксированный интервал времени или в заданной области пространства: звонки в колл-центр за час, опечатки на страницу, распады ядер за секунду, дефекты на метр ткани. Это дискретный закон с единственным параметром $\lambda$, и именно компактность делает его рабочим инструментом и в учебных задачах, и в реальной статистике. Ниже разберём определение, ключевые свойства распределения Пуассона, его моменты, аддитивность и связи с биномиальным и экспоненциальным законами, а также типичные ошибки при работе с ним.

Определение и формула вероятности

Случайная величина $X$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda > 0$, если она принимает целые неотрицательные значения $k = 0, 1, 2, \dots$ с вероятностями

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots$$

Записывают это как $X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$. Параметр $\lambda$ - это среднее число событий за рассматриваемый интервал. Сумма всех вероятностей равна единице, что проверяется разложением экспоненты в ряд:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}\, e^{\lambda} = 1.$$

Чтобы быстро посчитать вероятности, моменты или вероятность интервала значений для конкретного $\lambda$, задайте параметр в форме ниже - разбор с формулами придёт в чат.

Математическое ожидание и дисперсия

Главное и самое узнаваемое свойство распределения Пуассона - равенство математического ожидания и дисперсии. Оба они равны параметру $\lambda$:

$$E[X] = \lambda, \qquad \mathrm{Var}(X) = \lambda.$$

Ожидание получается прямым суммированием ряда: сдвиг индекса $k \to k-1$ снова даёт разложение экспоненты. Тот факт, что среднее совпадает с дисперсией, имеет практическое следствие: для пуассоновских данных коэффициент вариации равен $1/\sqrt{\lambda}$, а стандартное отклонение - $\sqrt{\lambda}$. На этом строится проверка «равнодисперсности»: если в выборке выборочная дисперсия заметно превышает среднее, говорят о сверхдисперсии, и пуассоновская модель не подходит.

Производящая функция моментов равна $M(t) = \exp\!\big(\lambda(e^{t}-1)\big)$, а характеристическая функция - $\varphi(t) = \exp\!\big(\lambda(e^{it}-1)\big)$. Из них одним дифференцированием извлекаются все моменты; в частности, третий центральный момент тоже равен $\lambda$, поэтому коэффициент асимметрии равен $1/\sqrt{\lambda}$ и убывает с ростом $\lambda$.

Аддитивность и устойчивость

Распределение Пуассона устойчиво относительно суммирования. Если $X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)$ и $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)$ независимы, то их сумма снова пуассоновская:

$$X_1 + X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1 + \lambda_2).$$

Это свойство аддитивности удобно доказывать через производящую функцию: произведение $\exp(\lambda_1(e^t-1))\cdot \exp(\lambda_2(e^t-1))$ даёт $\exp((\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1))$. Содержательно это очевидно: если два независимых потока редких событий идут с интенсивностями $\lambda_1$ и $\lambda_2$, то совокупный поток имеет интенсивность $\lambda_1 + \lambda_2$.

Обратное свойство - прореживание: если каждое событие пуассоновского потока с вероятностью $p$ относим к подклассу, то подкласс тоже пуассоновский с параметром $\lambda p$, и притом независимый от дополнения. Эти два свойства лежат в основе теории пуассоновских потоков и систем массового обслуживания.

Связь с биномиальным распределением

Распределение Пуассона возникает как предел биномиального закона $\mathrm{Bin}(n, p)$ при $n \to \infty$, $p \to 0$ так, что произведение $np \to \lambda$ остаётся конечным. Это закон редких событий (теорема Пуассона):

$$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow[\substack{n\to\infty\\ np\to\lambda}]{}\; \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}.$$

Практический смысл: когда испытаний очень много, а вероятность «успеха» в каждом мала, биномиальные вероятности удобно приближать пуассоновскими, подставив $\lambda = np$. Правило большого пальца - приближение хорошо при $n \ge 50$ и $p \le 0{,}1$. Эта связь объясняет, почему пуассоновская модель работает для редких событий: число дефектов, аварий или мутаций - это и есть «много попыток, малая вероятность каждой». Похожий предельный переход в другую сторону связывает Пуассона с нормальным законом: при больших $\lambda$ распределение $\mathrm{Pois}(\lambda)$ приближается нормальным $\mathcal{N}(\lambda, \lambda)$.

Связь с экспоненциальным распределением и потоком

Если события образуют простейший (пуассоновский) поток с интенсивностью $\lambda$, то число событий за время $t$ распределено по Пуассону с параметром $\lambda t$, а промежутки времени между соседними событиями распределены экспоненциально с тем же параметром $\lambda$:

$$N(t) \sim \mathrm{Pois}(\lambda t), \qquad T \sim \mathrm{Exp}(\lambda).$$

Это двойственное описание одного процесса: «сколько событий за интервал» (дискретный счёт, Пуассон) и «сколько ждать до события» (непрерывное время, экспонента). Отсутствие памяти у экспоненциального распределения соответствует независимости приращений пуассоновского потока: будущее не зависит от того, сколько уже прошло без события.

Мода, квантили и форма распределения

Мода распределения Пуассона равна $\lfloor \lambda \rfloor$; если $\lambda$ - целое, то максимум вероятности достигается сразу в двух точках, $\lambda - 1$ и $\lambda$. При малых $\lambda$ распределение сильно скошено вправо и сосредоточено около нуля: при $\lambda = 0{,}5$ наиболее вероятное значение - ноль. С ростом $\lambda$ форма становится всё симметричнее и приближается к колоколу нормальной кривой, что согласуется с предельной теоремой выше. Медиана приближённо равна $\lambda + 1/3 - 0{,}02/\lambda$, то есть близка к среднему, но из-за правой асимметрии слегка ниже него при умеренных $\lambda$.

Частые ошибки

• Путают $\lambda$ с вероятностью. Параметр $\lambda$ - это среднее число событий, а не вероятность; он может быть больше единицы. Вероятность отдельного исхода даёт формула $P(X=k)$.
• Считают, что дисперсия отличается от среднего. Для самого закона Пуассона всегда $\mathrm{Var}(X) = E[X] = \lambda$. Расхождение в данных - сигнал, что модель неверна (сверхдисперсия), а не свойство Пуассона.
• Складывают зависимые величины. Аддитивность $\mathrm{Pois}(\lambda_1)+\mathrm{Pois}(\lambda_2)=\mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)$ верна только для независимых слагаемых.
• Берут $\lambda$ не для того интервала. Если поток имеет интенсивность $\lambda$ в час, а вопрос про 15 минут, нужно пересчитать параметр в $\lambda t$.
• Используют пуассоновское приближение при больших $p$. Замена биномиального на Пуассона корректна лишь при малом $p$ и большом $n$; иначе ошибка велика.

FAQ

Чему равны математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона? Оба равны параметру $\lambda$: $E[X] = \mathrm{Var}(X) = \lambda$. Это определяющее свойство закона; стандартное отклонение равно $\sqrt{\lambda}$.

Когда применяют распределение Пуассона? Когда считают число редких независимых событий за фиксированный интервал при постоянной средней интенсивности: звонки, дефекты, отказы, распады. Условия - стационарность, ординарность и отсутствие последействия потока.

Как связаны распределения Пуассона и биномиальное? Пуассон - предел биномиального при $n \to \infty$, $p \to 0$, $np \to \lambda$. Поэтому биномиальные вероятности при большом $n$ и малом $p$ приближают пуассоновскими с $\lambda = np$.

Коротко

Распределение Пуассона $\mathrm{Pois}(\lambda)$ - дискретный закон редких событий с вероятностями $P(X=k)=\lambda^k e^{-\lambda}/k!$. Его определяющие свойства: математическое ожидание и дисперсия совпадают и равны $\lambda$; сумма независимых пуассоновских величин снова пуассоновская (аддитивность); закон возникает как предел биномиального при многих испытаниях с малой вероятностью и тесно связан с экспоненциальным распределением промежутков в пуассоновском потоке. При больших $\lambda$ форма приближается к нормальной кривой.