Логарифмически нормальное распределение: смысл и формулы

Логарифмически нормальное распределение описывает положительную случайную величину, логарифм которой подчиняется нормальному закону. Этим простым условием объясняется его вездесущность: размеры частиц, доходы домохозяйств, время безотказной работы, концентрации веществ, цены активов - всё это величины, которые не бывают отрицательными и формируются как произведение многих независимых факторов. Там, где сумма случайностей даёт нормальный закон, их произведение даёт логнормальный. Разберём определение, плотность, моменты, способы оценки параметров и характерные ошибки.

Определение: если $\ln X$ нормален

Случайная величина $X > 0$ имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами $\mu$ и $\sigma^2$, если её логарифм распределён нормально:

$$\ln X \sim \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2), \qquad X = e^{Y}, \quad Y \sim \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2).$$

Записывают это как $X \sim \mathrm{LN}(\mu,\sigma^2)$. Важно сразу зафиксировать главную тонкость: $\mu$ и $\sigma$ - это среднее и стандартное отклонение логарифма $X$, а не самой величины $X$. Они измеряются в логарифмической шкале и не равны математическому ожиданию и дисперсии $X$. Это источник большинства ошибок при работе с логнормальным распределением.

Поскольку логарифм определён только для положительных чисел, носитель распределения - интервал $(0, +\infty)$. Распределение всегда асимметрично вправо: длинный правый хвост соответствует редким, но очень большим значениям.

Чтобы быстро посчитать плотность, моменты или вероятность попадания в интервал для конкретных $\mu$ и $\sigma$, соберите параметры в форме ниже - разбор с формулами придёт в чат.

Плотность распределения

Плотность логнормального распределения получается заменой переменной из нормальной плотности. Для $x > 0$:

$$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right),$$

а при $x \le 0$ плотность равна нулю. Множитель $1/x$ - это якобиан перехода от $Y = \ln X$ к $X = e^Y$; именно он отличает логнормальную плотность от просто «нормальной кривой по логарифму».

Функция распределения выражается через стандартную нормальную функцию $\Phi$:

$$F(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right), \quad x > 0.$$

Это удобно для практики: вероятность $P(a < X < b)$ сводится к разности значений $\Phi$ от логарифмов границ, то есть к обычной работе с таблицей стандартного нормального закона.

Математическое ожидание и дисперсия

Поскольку $X = e^Y$ - экспонента от нормальной величины, моменты считаются через производящую функцию моментов нормального закона. Математическое ожидание:

$$E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2}.$$

Дисперсия:

$$\mathrm{Var}(X) = \left(e^{\sigma^2} - 1\right) e^{2\mu + \sigma^2}.$$

Обратите внимание: $E[X]$ строго больше $e^\mu$ из-за слагаемого $\sigma^2/2$. Это прямое следствие неравенства Йенсена для выпуклой экспоненты - среднее экспоненты больше экспоненты среднего. Поэтому наивная попытка «возвести среднее логарифма в экспоненту» систематически занижает истинное математическое ожидание.

Медиана, мода и асимметрия

Три меры центра здесь заметно расходятся, и порядок между ними фиксирован:

$$\text{мода } = e^{\mu - \sigma^2} \;<\; \text{медиана } = e^{\mu} \;<\; \text{среднее } = e^{\mu + \sigma^2/2}.$$

Медиана $e^\mu$ удобна тем, что не зависит от $\sigma$ и легко интерпретируется: половина значений лежит ниже неё. Коэффициент асимметрии всегда положителен и растёт с $\sigma$:

$$\gamma_1 = \left(e^{\sigma^2} + 2\right)\sqrt{e^{\sigma^2} - 1}.$$

При малых $\sigma$ распределение почти симметрично и близко к нормальному; при больших $\sigma$ хвост становится очень тяжёлым, а разрыв между медианой и средним - огромным. Близкая по логике величина - нормальное распределение служит для логнормального «материнским» законом на логарифмической шкале.

Оценка параметров по выборке

Главное практическое следствие определения: чтобы оценить $\mu$ и $\sigma$, нужно работать с логарифмами данных, а не с самими данными. По выборке $x_1, \dots, x_n$ берут $y_i = \ln x_i$ и применяют обычные оценки нормального закона:

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i, \qquad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\ln x_i - \hat{\mu})^2.$$

Это и есть оценки максимального правдоподобия. После их получения среднее и дисперсию исходной величины восстанавливают по формулам моментов выше. Прямое усреднение $x_i$ даёт состоятельную оценку $E[X]$, но не параметра $\mu$ - путать эти два «средних» нельзя.

Связь с произведением случайных факторов

Почему логнормальный закон возникает так часто? Если величина - это произведение многих независимых положительных факторов $X = \prod_{i=1}^{n} F_i$, то её логарифм $\ln X = \sum \ln F_i$ есть сумма независимых слагаемых. По центральной предельной теореме эта сумма стремится к нормальному закону, а значит, само $X$ - к логнормальному. Это «мультипликативный аналог» ЦПТ. Поэтому модели роста, дробления, накопления процентов и многие финансовые модели (например, цена в модели Блэка - Шоулза) опираются именно на логнормальное распределение.

Квантили и доверительные границы

Поскольку функция распределения выражается через $\Phi$, квантиль уровня $p$ находится явно. Если $z_p$ - квантиль стандартного нормального закона ($\Phi(z_p) = p$), то квантиль логнормального распределения равен

$$x_p = e^{\mu + \sigma z_p}.$$

Эта формула - рабочая лошадка прикладных расчётов. Например, верхняя 95-процентная граница ($p = 0{,}95$, $z_p \approx 1{,}645$) даёт $x_{0{,}95} = e^{\mu + 1{,}645\sigma}$, а центральный 90-процентный интервал заключён между $e^{\mu - 1{,}645\sigma}$ и $e^{\mu + 1{,}645\sigma}$. Заметьте, что интервал несимметричен относительно медианы $e^\mu$: на логарифмической шкале он симметричен, но при возврате в исходную шкалу растягивается вправо. Именно так строят, например, оценки времени безотказной работы или предельных концентраций.

Логнормаль на графике и логарифмическая шкала

Удобный диагностический приём: если построить гистограмму данных в обычных координатах, логнормальное распределение даёт характерный скошенный вправо «горб». Но если перейти к логарифмической оси абсцисс, тот же набор данных превращается в симметричную колоколообразную форму нормального закона. На вероятностной бумаге (Q–Q график логарифмов против нормальных квантилей) логнормальные данные ложатся на прямую - это стандартный способ визуально проверить гипотезу о логнормальности перед формальными критериями согласия вроде Шапиро - Уилка, применённого к $\ln x_i$.

Частые ошибки

• Путать $\mu$ со средним $X$. Параметр $\mu$ - среднее логарифма, а среднее самой величины равно $e^{\mu + \sigma^2/2}$. Подстановка $\mu$ вместо $E[X]$ - самая частая ошибка.
• Забывать множитель $1/x$ в плотности. Без него получается нормальная кривая от $\ln x$, а не плотность $X$; интеграл по $x$ перестаёт давать единицу.
• Оценивать параметры по сырым данным. $\hat{\mu}$ и $\hat{\sigma}$ считаются по $\ln x_i$, а не по $x_i$.
• Применять логнормаль к данным с нулями и отрицательными значениями. Носитель - строго $(0,\infty)$; нули требуют сдвига или другой модели.
• Считать $e^\mu$ средним. Это медиана; среднее больше неё.

FAQ

Чем логнормальное распределение отличается от нормального? Нормальное описывает величину, которая может быть любого знака и симметрична относительно среднего. Логнормальное описывает строго положительную величину с правым хвостом; нормальным является лишь её логарифм.

Что означают параметры $\mu$ и $\sigma$? Это математическое ожидание и стандартное отклонение $\ln X$. В исходной шкале $e^\mu$ - медиана, а $\sigma$ управляет асимметрией и шириной хвоста.

Когда применяют логнормальную модель? Когда величина положительна и формируется как произведение многих случайных факторов: размеры частиц, доходы, время отказа, концентрации, цены активов.

Коротко

Логарифмически нормальное распределение - это закон положительной величины $X$, у которой $\ln X$ нормален с параметрами $\mu$ и $\sigma^2$. Плотность содержит характерный множитель $1/x$, среднее равно $e^{\mu + \sigma^2/2}$, медиана - $e^\mu$, а дисперсия - $(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$. Параметры оцениваются по логарифмам данных, а само распределение естественно возникает там, где величина есть произведение многих независимых факторов - мультипликативный аналог центральной предельной теоремы.