Математическое ожидание биномиального распределения

Биномиальное распределение описывает число успехов в серии из $n$ одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых успех наступает с вероятностью $p$. Классические примеры - сколько орлов выпадет за 20 бросков монеты, сколько бракованных деталей окажется в партии, сколько верных ответов даст студент, угадывающий тест. Самый частый вопрос в задачах: чему равно математическое ожидание такой величины, то есть её среднее значение в долгой серии повторений. Ответ на удивление простой: $E[X] = np$. Ниже разберём, откуда берётся эта формула, как с ней связаны дисперсия и стандартное отклонение, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь параметров, покрутите калькулятор: он пересчитывает $E[X]$, дисперсию и весь профиль вероятностей на лету.

Что такое биномиальное распределение

Пусть проводится $n$ независимых испытаний, и в каждом возможны только два исхода: успех (с вероятностью $p$) или неудача (с вероятностью $1 - p$). Такое отдельное испытание называют испытанием Бернулли. Случайная величина $X$ - это общее число успехов за все $n$ испытаний. Говорят, что $X$ распределена по биномиальному закону, и пишут $X \sim B(n, p)$.

Вероятность получить ровно $k$ успехов задаётся формулой Бернулли:

$P(X = k) = C_n^k \, p^k \, (1 - p)^{n - k},$

где $C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ - число сочетаний, то есть количество способов выбрать, какие именно $k$ из $n$ испытаний окажутся успешными. Множитель $p^k$ отвечает за $k$ успехов, $(1 - p)^{n - k}$ - за оставшиеся неудачи.

Рассчитать для своей задачи

Формула математического ожидания

Математическое ожидание биномиального распределения - это среднее число успехов, которого стоит ожидать в долгой серии повторений всего эксперимента. Главная формула:

$E[X] = np.$

Она интуитивно понятна: если одно испытание даёт успех с вероятностью $p$, то в среднем за одно испытание набирается $p$ успехов, а за $n$ испытаний - в $n$ раз больше. Например, при 20 бросках честной монеты ($n = 20$, $p = 0{,}5$) ожидается $E[X] = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ орлов.

Важно, что $E[X] = np$ не обязано быть целым числом. При $n = 10$ и $p = 0{,}3$ получаем $E[X] = 3$, а при $p = 0{,}25$ уже $E[X] = 2{,}5$ - и это нормально: математическое ожидание не результат одного опыта, а среднее по бесконечной серии.

Вывод E[X] = np через сумму индикаторов

Самый короткий и честный вывод не требует возни с суммами факториалов. Представим $X$ как сумму отдельных испытаний:

$X = X_1 + X_2 + \dots + X_n,$

где каждое $X_i$ равно 1, если в $i$-м испытании успех, и 0, если неудача. Такие величины называют индикаторами. Математическое ожидание одного индикатора считается напрямую:

$E[X_i] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p.$

Поскольку математическое ожидание суммы всегда равно сумме математических ожиданий (свойство линейности, оно верно даже для зависимых слагаемых), получаем:

$E[X] = E[X_1] + \dots + E[X_n] = \underbrace{p + p + \dots + p}_{n} = np.$

Рассчитать для своей задачи

Этот приём с разбиением на индикаторы - один из самых полезных в теории вероятностей: он сводит сложную величину к сумме простых и работает там, где прямое суммирование ряда было бы громоздким.

Дисперсия и стандартное отклонение

Математическое ожидание показывает, где находится центр распределения, но ничего не говорит о разбросе. За разброс отвечает дисперсия:

$D[X] = np(1 - p).$

Её тоже легко получить через индикаторы: дисперсия одного $X_i$ равна $p(1 - p)$, а так как испытания независимы, дисперсии складываются, давая $np(1 - p)$. Стандартное отклонение - это корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{np(1 - p)}.$

Для 20 бросков монеты $D[X] = 20 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 5$, а $\sigma = \sqrt{5} \approx 2{,}24$. Это значит, что фактическое число орлов обычно отклоняется от ожидаемых 10 примерно на пару штук в ту или другую сторону. Заметьте: дисперсия максимальна при $p = 0{,}5$ и стремится к нулю, когда $p$ близко к 0 или 1, - исход становится почти предопределённым.

Связь ожидания с пиком распределения

На графике вероятностей $P(X = k)$ математическое ожидание $np$ лежит почти точно под самым высоким столбиком. Мода (самый вероятный исход) - это целое число рядом с $np$. Это не совпадение: $E[X]$ - центр тяжести всей картины, и распределение примерно симметрично вокруг него, особенно когда $p$ близко к $0{,}5$.

При маленьких или больших $p$ распределение становится скошенным: хвост тянется в сторону менее вероятного исхода. Но даже тогда математическое ожидание остаётся ровно равным $np$ - смещается лишь форма, не центр. Подвигайте ползунок $p$ в калькуляторе выше: линия $E[X]$ скользит вместе с пиком, наглядно показывая эту связь.

Эта картина объясняет, почему среднее так удобно использовать в оценках. Если из биномиальной модели нужно быстро прикинуть типичный исход, берут $np$ и добавляют запас в одно-два стандартных отклонения $\sigma$. Например, ожидая $E[X] = 10$ орлов при $\sigma \approx 2{,}24$, разумно предполагать, что в большинстве серий число орлов попадёт в диапазон примерно от 8 до 12. Само по себе математическое ожидание - это не прогноз конкретного опыта, а ориентир, вокруг которого группируются реальные результаты.

Частые ошибки

• Путают $p$ и $1 - p$. В задаче про брак вероятность успеха - это вероятность нужного события (например, что деталь бракованная), а не дополнение к нему. Сначала чётко определите, что считается успехом.
• Берут $E[X] = n p$ только для целого ответа. Ожидание может быть дробным ($2{,}5$ орла) - округлять его нельзя, это среднее по серии, а не результат одного опыта.
• Считают $\sigma = np(1 - p)$. Это дисперсия, а не стандартное отклонение. Стандартное отклонение - корень: $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$.
• Применяют формулу к зависимым испытаниям. Если шары вынимают без возврата, испытания не независимы и распределение не биномиальное, а гипергеометрическое - формула $np$ для ожидания всё ещё работает, но дисперсия уже другая.
• Забывают условие постоянства $p$. Биномиальная модель требует, чтобы вероятность успеха была одинаковой во всех испытаниях.

FAQ

Почему математическое ожидание равно именно np, а не чему-то сложному? Потому что число успехов раскладывается в сумму $n$ независимых индикаторов, каждый с ожиданием $p$. По свойству линейности ожидание суммы равно сумме ожиданий, то есть $n \cdot p$. Никаких факториалов в выводе не нужно.

Может ли E[X] быть больше n? Нет. Поскольку $0 \le p \le 1$, произведение $np$ не превосходит $n$. Максимум $E[X] = n$ достигается только при $p = 1$, когда успех гарантирован в каждом испытании.

Чем биномиальное распределение отличается от распределения Пуассона? Биномиальное считает успехи в фиксированном числе испытаний $n$. Когда $n$ велико, а $p$ мало (так что $np$ умеренно), биномиальное приближается распределением Пуассона с параметром $\lambda = np$, и тогда $E[X] = \lambda = np$.

Коротко

Математическое ожидание биномиального распределения $X \sim B(n, p)$ равно $E[X] = np$ - среднему числу успехов за $n$ испытаний. Самый ясный вывод идёт через сумму индикаторов: каждое испытание добавляет в среднем $p$ успехов, а линейность ожидания превращает это в $np$. Разброс вокруг центра задают дисперсия $D[X] = np(1 - p)$ и стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$. На графике вероятностей $np$ всегда сидит у пика, а главное условие применимости формулы - независимые испытания с постоянной вероятностью успеха.