Гомоморфизм групп: ядро и образ простыми словами

Гомоморфизм - это отображение между группами, которое уважает их операцию: произведение элементов переходит в произведение их образов. Два множества, связанные с любым гомоморфизмом, несут о нём почти всю информацию: ядро (что схлопывается в единицу) и образ (куда вообще попадает отображение). Через ядро проверяют инъективность, через образ - сюръективность, а теорема о гомоморфизме связывает их в один изоморфизм. Ниже - точные определения ядра и образа, как их вычислять, почему ядро всегда нормально и как из этого вырастает первая теорема об изоморфизме. Если под рукой конкретное отображение, выберите его в форме ниже - соберём разбор ядра и образа.

Что такое гомоморфизм групп

Пусть $G$ и $H$ - группы с операциями, которые для краткости обе пишем как умножение. Отображение $\varphi\colon G \to H$ называется гомоморфизмом, если для любых $a, b \in G$

$$\varphi(ab) = \varphi(a)\,\varphi(b).$$

То есть неважно, перемножить элементы сначала в $G$, а потом перенести в $H$, или сначала перенести каждый, а потом перемножить в $H$ - результат один. Из этого равенства автоматически следуют два факта, которые часто забывают доказывать отдельно:

• $\varphi(e_G) = e_H$ - единица переходит в единицу;
• $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$ - обратный переходит в обратный.

Первое доказывается так: $\varphi(e_G) = \varphi(e_G \cdot e_G) = \varphi(e_G)\varphi(e_G)$, и сокращение на $\varphi(e_G)$ в группе $H$ даёт $\varphi(e_G) = e_H$. Второе следует из $\varphi(a)\varphi(a^{-1}) = \varphi(aa^{-1}) = \varphi(e_G) = e_H$.

Рассчитать для своей задачи

Ядро гомоморфизма

Ядро гомоморфизма $\varphi\colon G \to H$ - это множество всех элементов $G$, которые отображаются в единицу $H$:

$$\ker\varphi = \{\, g \in G : \varphi(g) = e_H \,\}.$$

Ядро всегда содержит единицу $e_G$ и является подгруппой $G$: если $\varphi(a) = \varphi(b) = e_H$, то $\varphi(ab^{-1}) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1} = e_H$, значит $ab^{-1} \in \ker\varphi$. Но у ядра есть свойство сильнее, чем просто быть подгруппой, - оно нормально (об этом следующий раздел).

Простой пример: возьмём $\varphi\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$, $\varphi(k) = k \bmod n$. Это гомоморфизм аддитивных групп, его ядро - все целые, кратные $n$, то есть $\ker\varphi = n\mathbb{Z}$. Другой пример: определитель $\det\colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$ - гомоморфизм по мультипликативности определителя, его ядро - матрицы с определителем 1, то есть специальная линейная группа $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$.

Образ гомоморфизма

Образ - это множество всех значений, которые $\varphi$ реально принимает в $H$:

$$\operatorname{im}\varphi = \{\, \varphi(g) : g \in G \,\} \subseteq H.$$

Образ - подгруппа $H$ (не обязательно нормальная): произведение двух значений снова значение, обратное к значению - тоже значение. Если образ совпадает со всем $H$, гомоморфизм называется сюръективным (эпиморфизмом). В примере с $\det$ образ - это вся группа $\mathbb{R}^*$, потому что любое ненулевое число достигается определителем подходящей диагональной матрицы; значит, определитель сюръективен.

Рассчитать для своей задачи

Удобно держать в голове размерную аналогию из линейной алгебры: для линейного отображения $\dim\ker + \dim\operatorname{im} = \dim V$. Для конечных групп аналог точнее - это теорема о гомоморфизме (ниже), дающая $|G| = |\ker\varphi| \cdot |\operatorname{im}\varphi|$.

Почему ядро нормально

Ключевое отличие ядра от произвольной подгруппы: $\ker\varphi$ - нормальная подгруппа $G$, то есть устойчива к сопряжению. Проверим: пусть $k \in \ker\varphi$ и $g \in G$ - любой. Тогда

$$\varphi(g k g^{-1}) = \varphi(g)\,\varphi(k)\,\varphi(g)^{-1} = \varphi(g)\,e_H\,\varphi(g)^{-1} = e_H,$$

значит $g k g^{-1} \in \ker\varphi$. Это ровно условие нормальности $g\,(\ker\varphi)\,g^{-1} = \ker\varphi$ для всех $g$, которое записывают как $\ker\varphi \trianglelefteq G$.

Верно и обратное утверждение: любая нормальная подгруппа является ядром какого-то гомоморфизма - а именно канонической проекции $G \to G/N$. Так что нормальные подгруппы и ядра - это одно и то же семейство объектов, описанное с двух сторон. Это родственно тому, как устроена фактор-группа по нормальной подгруппе, где сопряжение тоже играет центральную роль.

Инъективность через тривиальное ядро

Есть удобный критерий, заменяющий проверку инъективности «в лоб»: гомоморфизм $\varphi$ инъективен тогда и только тогда, когда его ядро тривиально, то есть $\ker\varphi = \{e_G\}$.

В одну сторону почти очевидно: если $\varphi$ инъективен, то прообраз $e_H$ может состоять только из одного элемента, а $e_G$ туда заведомо входит. В другую сторону: пусть $\ker\varphi = \{e_G\}$ и $\varphi(a) = \varphi(b)$. Тогда

$$\varphi(ab^{-1}) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1} = e_H \;\Rightarrow\; ab^{-1} \in \ker\varphi = \{e_G\} \;\Rightarrow\; a = b.$$

Поэтому на практике инъективность гомоморфизма проверяют не перебором пар, а вычислением ядра: нашли в ядре хоть один элемент кроме единицы - отображение не инъективно. Инъективный гомоморфизм называют мономорфизмом; он вкладывает $G$ как подгруппу в $H$, изоморфную образу.

Теорема о гомоморфизме

Главный результат, связывающий ядро и образ, - первая теорема об изоморфизме (теорема о гомоморфизме). Для любого гомоморфизма $\varphi\colon G \to H$ фактор-группа по ядру изоморфна образу:

$$G / \ker\varphi \;\cong\; \operatorname{im}\varphi.$$

Изоморфизм задаётся естественно: класс смежности $g\,\ker\varphi$ переходит в $\varphi(g)$. Корректность (значение не зависит от представителя класса) обеспечена как раз нормальностью ядра и тем, что элементы одного класса дают одно значение $\varphi$. Это отображение биективно: сюръективно на образ по построению, инъективно потому, что в единицу переходит только класс самого ядра.

Для конечных групп теорема немедленно даёт численное равенство

$$|G| = |\ker\varphi| \cdot |\operatorname{im}\varphi|,$$

потому что $|G/\ker\varphi| = [G : \ker\varphi] = |G|/|\ker\varphi|$ по теореме Лагранжа, а левая часть равна $|\operatorname{im}\varphi|$. Эта формула - рабочий инструмент: зная порядок ядра, сразу получаешь порядок образа, и наоборот.

Рассчитать для своей задачи

Как считать ядро и образ на практике

Алгоритм для конкретного отображения $\varphi\colon G \to H$ почти всегда такой:

1. Проверить, что $\varphi$ вообще гомоморфизм - равенство $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ на образующих или в общем виде.
2. Найти ядро: решить уравнение $\varphi(g) = e_H$ относительно $g$. Множество решений и есть $\ker\varphi$.
3. Найти образ: описать множество значений $\varphi(g)$. Часто удобнее определить порядок образа через формулу $|\operatorname{im}\varphi| = |G|/|\ker\varphi|$, а потом понять, какая это подгруппа.
4. Сделать выводы: ядро тривиально - инъективен; образ совпал с $H$ - сюръективен; оба условия - изоморфизм.

Например, для $\varphi\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_6$, $\varphi(k) = 2k \bmod 6$, ядро - это $k$, для которых $2k \equiv 0 \pmod 6$, то есть $3\mathbb{Z}$; образ - чётные классы $\{0,2,4\}$, подгруппа порядка 3 в $\mathbb{Z}_6$. Проверка: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong \{0,2,4\}$ - обе группы порядка 3, теорема о гомоморфизме сходится.

Частые ошибки

• Путают ядро и образ местами. Ядро живёт в области определения $G$ и собирает то, что схлопывается в единицу; образ живёт в области значений $H$ и собирает достигнутые точки.
• Считают образ нормальной подгруппой. Образ - просто подгруппа $H$, нормальность не гарантирована. Нормально именно ядро (в $G$).
• Проверяют инъективность перебором пар. Достаточно показать $\ker\varphi = \{e\}$ - это короче и надёжнее.
• Забывают доказать, что отображение вообще гомоморфизм. Без проверки $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ разговоры о ядре и образе бессмысленны.
• Пишут $G/\ker\varphi \cong H$ вместо $\cong \operatorname{im}\varphi$. Изоморфизм идёт с образом; со всем $H$ - только если $\varphi$ сюръективен.

FAQ

Чем ядро отличается от прообраза элемента? Ядро - это прообраз именно единицы $e_H$. Прообраз произвольного элемента $h$ - это смежный класс $g_0\,\ker\varphi$, где $\varphi(g_0) = h$; он не подгруппа (если $h \neq e_H$), но имеет ту же мощность, что ядро.

Может ли образ быть больше группы $G$? Нет. Образ - это множество значений, его мощность не превосходит $|G|$, а для конечных групп делит $|G|$ по теореме о гомоморфизме. Образ всегда вкладывается как подгруппа в $H$.

Всегда ли фактор-группа $G/\ker\varphi$ имеет смысл? Да, и именно потому, что ядро нормально. Фактор-группа по ненормальной подгруппе не определена корректно - операция на смежных классах не была бы согласована. Нормальность ядра - то, что делает теорему о гомоморфизме возможной.

Коротко

Гомоморфизм групп сохраняет операцию, и вся его суть собрана в двух множествах: ядро (прообраз единицы, всегда нормальная подгруппа области определения) и образ (множество значений, подгруппа области значений). Ядро отвечает за инъективность - она равносильна $\ker\varphi = \{e\}$; образ отвечает за сюръективность. Первая теорема об изоморфизме связывает их равенством $G/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi$, а для конечных групп даёт $|G| = |\ker\varphi|\cdot|\operatorname{im}\varphi|$ - формулу, по которой ядро и образ восстанавливают друг друга.