Теорема Лагранжа для групп: порядок, индекс, следствия

Теорема Лагранжа - первый структурный результат теории конечных групп, который связывает абстрактное понятие подгруппы с арифметикой делителей. Она утверждает, что порядок любой подгруппы $H$ конечной группы $G$ делит порядок $G$, а отношение даёт индекс $[G:H]$ - число классов смежности. Из этой простой формулы вырастает доказательство малой теоремы Ферма, теоремы Эйлера и львиная доля рассуждений о конечных группах малых порядков. Ниже - точная формулировка, классическое доказательство через классы смежности, разбор обращения теоремы (и почему оно не работает) и типовые применения.

Формулировка

Пусть $G$ - конечная группа, $H \leq G$ - её подгруппа. Тогда

$$|G| = |H| \cdot [G : H],$$

где $[G:H]$ - число левых (или правых - оно совпадает для конечных групп) классов смежности $gH$. Прямое следствие: $|H|$ делит $|G|$.

Формула удобна тем, что переводит вопрос «какие подгруппы могут быть у $G$» в чисто арифметический: их порядки - среди делителей $|G|$. Для $|G| = 12$ возможны подгруппы порядков $1, 2, 3, 4, 6, 12$; для $|G| = 60$ - $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$. Какие из них реально встречаются - отдельный вопрос, к нему вернёмся.

Классы смежности и ключевая лемма

Левый класс смежности подгруппы $H$ по элементу $g$ - это множество $gH = \{gh : h \in H\}$. Два класса либо совпадают, либо не пересекаются: если $g_1 H \cap g_2 H \neq \varnothing$, то $g_1^{-1} g_2 \in H$, откуда $g_1 H = g_2 H$.

Главное наблюдение: отображение $h \mapsto gh$ - биекция между $H$ и $gH$, поэтому

$$|gH| = |H|$$

для любого $g \in G$. Все классы имеют одинаковую мощность, равную порядку подгруппы.

Доказательство теоремы

Объединение всех левых классов смежности покрывает $G$: каждый элемент $x \in G$ лежит в своём классе $xH$, поскольку $x = x \cdot e \in xH$. Классы попарно не пересекаются (выше). Поэтому $G$ распадается в дизъюнктное объединение

$$G = g_1 H \sqcup g_2 H \sqcup \dots \sqcup g_k H,$$

где $k = [G:H]$ - число различных классов. Подсчёт элементов:

$$|G| = \sum_{i=1}^{k} |g_i H| = k \cdot |H| = [G:H] \cdot |H|.$$

Это и есть теорема Лагранжа. Доказательство симметрично для правых классов $Hg$ - для конечных групп их число тоже равно $[G:H]$, хотя сами множества $gH$ и $Hg$ в общем случае различны (совпадают только когда $H$ нормальна).

Индекс подгруппы

Число $[G:H]$ называется индексом подгруппы. Геометрически - это число «копий» $H$, на которые распадается $G$ при действии $H$ сдвигом. Полезные свойства:

• Мультипликативность: если $K \leq H \leq G$, то $[G:K] = [G:H] \cdot [H:K]$. Прямое следствие подсчёта по теореме Лагранжа.
• Подгруппы малого индекса нормальны: подгруппа индекса 2 всегда нормальна (есть только два класса смежности - она сама и её дополнение, причём и левые, и правые классы совпадают). Это даёт быстрый способ находить нормальные подгруппы в $S_n$: знакопеременная $A_n$ имеет индекс 2, значит нормальна.
• Индекс может быть конечным для бесконечной группы: $[\mathbb{Z} : n\mathbb{Z}] = n$, хотя сама $\mathbb{Z}$ бесконечна. Теорема Лагранжа в исходной форме на этот случай не распространяется, но идея разбиения на классы работает.

Следствие: порядок элемента делит порядок группы

Для любого $g \in G$ циклическая подгруппа $\langle g \rangle = \{e, g, g^2, \dots, g^{n-1}\}$ имеет порядок $n = \mathrm{ord}(g)$. По Лагранжу $n$ делит $|G|$. Отсюда сразу - два классических утверждения.

Малая теорема Ферма. Возьмём $G = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\ast$ - мультипликативную группу ненулевых вычетов по простому модулю $p$. Её порядок равен $p - 1$. Для любого $a$, не делящегося на $p$, порядок $a$ делит $p - 1$, значит $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Это и есть малая Ферма как прямое следствие Лагранжа.

Теорема Эйлера. Для произвольного $n$ группа $G = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\ast$ имеет порядок $\varphi(n)$ - функция Эйлера. По той же логике для любого $a$, взаимно простого с $n$,

$$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$

Малая Ферма - частный случай при $n = p$, когда $\varphi(p) = p - 1$.

Обратная теорема: когда работает, когда нет

Естественный вопрос: для каждого делителя $d$ числа $|G|$ найдётся ли подгруппа порядка $d$? В общем случае - нет.

Классический контрпример: $A_4$. Знакопеременная группа на 4 элементах имеет порядок 12, но подгруппы порядка 6 в ней нет. Если бы она была, индекс был бы 2, значит подгруппа нормальна. Но единственные нормальные подгруппы $A_4$ - это $\{e\}$, четверная клейновская $V_4 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ порядка 4 и сама $A_4$. Подгруппы порядка 6 нет.

Когда обращение всё-таки работает:

• Конечные абелевы группы (теорема о структуре): для каждого делителя $d$ порядка $|G|$ найдётся подгруппа порядка $d$.
• $p$-группы (степень простого): по теореме Силова и индукции, для каждого делителя $p^k$ найдётся подгруппа порядка $p^k$.
• Теорема Силова: если $p^k \mid\mid |G|$ (точная степень), то подгруппы порядка $p^k$ (силовские) существуют, и любые две из них сопряжены.
• Теорема Коши: для любого простого $p$, делящего $|G|$, в $G$ есть элемент порядка $p$ (и потому подгруппа порядка $p$).

Иначе говоря, обращение Лагранжа гарантировано для простых делителей и для степеней простых, но не для произвольных составных делителей в неабелевой ситуации.

Применения к классификации малых групп

Теорема Лагранжа резко ограничивает выбор и часто позволяет полностью описать группы малых порядков.

• $|G| = p$ простое: единственная подгруппа - $\{e\}$ и сама $G$, любой неединичный элемент порождает всё, $G \cong \mathbb{Z}_p$. Например, группы порядков 2, 3, 5, 7, 11, 13 единственны с точностью до изоморфизма.
• $|G| = 4$: возможны порядки элементов 1, 2, 4. Если есть элемент порядка 4 - $G \cong \mathbb{Z}_4$. Иначе все нетривиальные элементы имеют порядок 2 - $G \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ (клейновская). Других вариантов нет.
• $|G| = 6$: два класса изоморфизма - $\mathbb{Z}_6$ (циклическая) и $S_3$ (наименьшая неабелева).
• $|G| = 8$: пять классов - $\mathbb{Z}_8$, $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_2^3$, диэдральная $D_4$ и кватернионы $Q_8$.
• $|G| = pq$, $p < q$ простые, $p \nmid q - 1$: единственная группа - циклическая $\mathbb{Z}_{pq}$ (например, $|G| = 15 = 3 \cdot 5$, $3 \nmid 4$, поэтому $G \cong \mathbb{Z}_{15}$).

Каждое из этих рассуждений начинается с «по теореме Лагранжа возможные порядки подгрупп - такие-то», и дальше разбираются варианты.

Историческая справка

Лагранж сформулировал теорему в 1771 году - но не в современных терминах. Он работал с подстановками корней многочленов: показал, что количество значений, которые принимает рациональная функция от корней при их перестановках, делит $n!$. Это эквивалентно теореме о подгруппах $S_n$, но абстрактного понятия группы в 1771-м ещё не было.

Полную формулировку для абстрактных конечных групп дал Коши в 1815 году в работе о теории подстановок. Понятие класса смежности и общая формулировка, близкая к современной, оформились у Жордана в 1870-х в его «Traité des substitutions». Гаусс независимо использовал родственные рассуждения для мультипликативной группы вычетов в «Disquisitiones Arithmeticae» (1801) - именно там малая теорема Ферма получила первое строгое обоснование через групповые соображения.

Частые ошибки

• Считают, что для каждого делителя $|G|$ обязательно есть подгруппа этого порядка. Контрпример - $A_4$ и его несуществующая подгруппа порядка 6.
• Применяют теорему Лагранжа к бесконечным группам в исходной форме. Для бесконечных групп есть аналог через индекс, но равенство $|G| = |H| \cdot [G:H]$ становится формальным.
• Путают индекс $[G:H]$ с порядком фактор-группы $|G/H|$. Они численно совпадают, но фактор существует, только если $H$ нормальна; индекс определён всегда.
• В малой Ферма забывают условие $a \not\equiv 0 \pmod p$ - иначе $a$ не лежит в $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\ast$, и теорема Лагранжа неприменима.
• Доказывают теорему через факторгруппу - это работает только для нормальной $H$. Универсальное доказательство идёт через разбиение на классы смежности, не требующее нормальности.

FAQ

Почему все классы смежности имеют одинаковую мощность? Отображение $h \mapsto gh$ - биекция между $H$ и $gH$: оно сюръективно по определению $gH$, а инъективно - потому что $gh_1 = gh_2$ влечёт $h_1 = h_2$ (домножение слева на $g^{-1}$). Поэтому $|gH| = |H|$ для любого $g$. Это и обеспечивает разбиение $G$ на равные по мощности «полосы».

В чём смысл обращения теоремы и когда оно верно? Обращение спрашивает: для каждого делителя $d$ числа $|G|$ есть ли подгруппа порядка $d$. Для абелевых групп и $p$-групп - да. Для общих неабелевых - нет; минимальный контрпример $A_4$ порядка 12 без подгруппы порядка 6. Гарантия есть для простых делителей (теорема Коши) и для максимальных степеней простых (теорема Силова).

Как теорема Лагранжа связана с малой Ферма? Мультипликативная группа $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\ast$ имеет порядок $p - 1$. По Лагранжу порядок любого элемента делит $p - 1$, значит $a^{p-1} = e$, что в арифметике вычетов записывается как $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. То же рассуждение для произвольного $n$ даёт теорему Эйлера $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$.

Коротко

Теорема Лагранжа - формула $|G| = |H| \cdot [G:H]$ для конечной группы и её подгруппы. Доказательство одностраничное: классы смежности равны по мощности и разбивают $G$. Из неё непосредственно следует, что порядок элемента делит порядок группы, а отсюда - малая теорема Ферма и теорема Эйлера. Обращение работает для абелевых и $p$-групп (через Силова и Коши), но в общем случае нарушается - каноничный контрпример $A_4$. На теореме Лагранжа держится почти весь анализ конечных групп малых порядков: возможные подгруппы перечисляются по делителям, дальше разбираются варианты структуры.