Теоремы Силова: существование, сопряжённость, число подгрупп

Теоремы Силова - это три арифметических утверждения о конечных группах, через которые проще всего извлекать информацию о структуре из одного только числа $|G|$. Они дают существование подгрупп нужного простого порядка, сопряжённость всех таких подгрупп между собой и явные ограничения на их количество. Без них классификация групп малого порядка превращалась бы в перебор; с ними значительная часть случаев решается арифметикой.

Постановка: разложение порядка группы

Пусть $G$ - конечная группа и её порядок разложен в виде

$$|G| = p^k m, \qquad \gcd(p, m) = 1,$$

где $p$ - простое, $k \geq 1$ - кратность вхождения $p$ в $|G|$, а $m$ - оставшаяся часть, взаимно простая с $p$. Силовская $p$-подгруппа - это подгруппа $P \leq G$ порядка ровно $p^k$, то есть максимально возможной степени $p$. Обозначим через $\mathrm{Syl}_p(G)$ множество всех силовских $p$-подгрупп, а через $n_p = |\mathrm{Syl}_p(G)|$ - их количество.

Содержательная теория группы $G$ во многом определяется тем, как ведут себя силовские подгруппы по разным простым $p$, делящим $|G|$. По теореме Лагранжа любая подгруппа имеет порядок, делящий $|G|$, но сама теорема Лагранжа не говорит, существуют ли подгруппы данного порядка; теоремы Силова закрывают этот вопрос для степеней простых.

Теорема 1: существование силовской $p$-подгруппы

Формулировка. Для каждого простого $p$, делящего $|G|$, в $G$ существует подгруппа порядка $p^k$ - силовская $p$-подгруппа.

Это сильнее теоремы Коши, которая гарантирует только элемент порядка $p$ (и, значит, циклическую подгруппу порядка $p$). Силова утверждает существование подгруппы максимальной степени $p$, которая делит $|G|$. В частности, если $|G| = 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, то существуют подгруппы порядков $8$, $9$ и $5$.

Теорема 2: сопряжённость силовских подгрупп

Формулировка. Любые две силовские $p$-подгруппы $P, Q \in \mathrm{Syl}_p(G)$ сопряжены: найдётся $g \in G$ такой, что $Q = g P g^{-1}$.

Сопряжённость имеет два важных следствия. Во-первых, все силовские $p$-подгруппы изоморфны (как факторы по нормализатору одного и того же подгруппового вложения через внутренний автоморфизм). Во-вторых, $n_p = [G : N_G(P)]$, где $N_G(P)$ - нормализатор любой одной силовской $p$-подгруппы $P$. Это сразу даёт $n_p \mid |G|$, а вместе с теоремой 3 - гораздо более сильное $n_p \mid m$.

Полезное следствие: $n_p = 1$ тогда и только тогда, когда силовская $p$-подгруппа нормальна в $G$. Это самый частый способ доказывать существование собственного нормального делителя у группы порядка $p^k m$.

Теорема 3: арифметика числа $n_p$

Формулировка. Число $n_p$ силовских $p$-подгрупп удовлетворяет двум условиям:

$$n_p \equiv 1 \pmod{p}, \qquad n_p \mid m.$$

Делимость $n_p \mid m$ - это уточнение сопряжённости: индекс нормализатора $[G : N_G(P)]$ должен быть взаимно прост с $p$, потому что $P \subseteq N_G(P)$ обеспечивает $p^k \mid |N_G(P)|$. Сравнение $n_p \equiv 1 \pmod p$ получается из подсчёта действия $P$ на $\mathrm{Syl}_p(G)$ сопряжением (тот же приём, что и в лемме Бернсайда): единственная неподвижная точка - это сам $P$, остальные орбиты имеют длину, кратную $p$.

На практике эти два условия задают очень узкий список кандидатов: достаточно перечислить делители $m$, сравнимые с $1$ по модулю $p$, - и в большинстве случаев таких чисел один-два.

Набросок доказательства первой теоремы

Существование силовской $p$-подгруппы традиционно доказывается индукцией по $|G|$ через действие группы на классах смежности.

1. Если $p$ делит $|Z(G)|$, то по теореме Коши в центре есть элемент порядка $p$, порождающий нормальную подгруппу $\langle z \rangle$ порядка $p$. Применяя индукцию к $G/\langle z \rangle$, получим силовскую подгруппу $P'/\langle z \rangle$ порядка $p^{k-1}$, и её полный прообраз $P$ - искомая силовская порядка $p^k$.

2. Если $p$ не делит $|Z(G)|$, посмотрим на уравнение классов:

$$|G| = |Z(G)| + \sum_{i} [G : C_G(x_i)],$$

где сумма по представителям нетривиальных классов сопряжённости. Поскольку $p \mid |G|$, но $p \nmid |Z(G)|$, найдётся слагаемое $[G : C_G(x_i)]$, не делящееся на $p$. Тогда $p^k$ полностью делит $|C_G(x_i)|$, а сам централизатор - собственная подгруппа меньшего порядка. Применяя индукцию к $C_G(x_i)$, получим силовскую $p$-подгруппу в нём - она же будет силовской и в $G$.

База индукции: при $|G| = p$ группа сама силовская. Шаг корректен, и существование доказано.

Применение: классификация групп малого порядка

Группа порядка 45. Здесь $|G| = 3^2 \cdot 5$, то есть $p^k = 9$, $m = 5$. Возможные $n_3$ - делители $5$, сравнимые с $1$ по модулю $3$: только $1$. Силовская $3$-подгруппа нормальна. Аналогично $n_5$ делит $9$ и сравнимо с $1$ по модулю $5$: только $1$. Силовская $5$-подгруппа тоже нормальна. Обе нормальны, их пересечение тривиально, порядки в произведении дают $45$, значит $G \cong P_3 \times P_5$. Подгруппа порядка $9$ абелева (всякая группа порядка $p^2$ абелева), поэтому $G \cong \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_5$ или $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$ - ровно две группы порядка $45$.

Группа порядка 99. $|G| = 9 \cdot 11$. По силовским $n_3 \in \{1, 11\}$ и $n_3 \equiv 1 \pmod 3$, остаётся $n_3 = 1$. Для $n_{11}$ возможны делители $9$, сравнимые с $1$ по модулю $11$: только $1$. Опять обе нормальны, $G \cong \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_{11}$ или $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_{11}$.

Группа порядка 1001. $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$. Для $n_{13}$: делители $77$, сравнимые с $1 \bmod 13$ - только $1$. Для $n_{11}$: делители $91$, сравнимые с $1 \bmod 11$ - только $1$. Для $n_7$: делители $143$, сравнимые с $1 \bmod 7$ - только $1$. Все три силовские нормальны, и $G \cong \mathbb{Z}_7 \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{13} \cong \mathbb{Z}_{1001}$. Группа порядка $1001$ единственна и циклическая.

Классическое следствие: группы порядка $pq$

Пусть $|G| = pq$ с простыми $p < q$. Тогда $n_q \mid p$ и $n_q \equiv 1 \pmod q$, откуда $n_q \in \{1, p\}$; но $p < q$, значит $p \not\equiv 1 \pmod q$, и остаётся $n_q = 1$. Силовская $q$-подгруппа $Q$ нормальна.

Дополнительное условие $p \nmid q - 1$ запрещает нетривиальные гомоморфизмы $\mathbb{Z}_p \to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_q) \cong \mathbb{Z}_{q-1}$. Поэтому полупрямое произведение $\mathbb{Z}_q \rtimes \mathbb{Z}_p$ вырождается в прямое: $G \cong \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}_{pq}$. Группа циклическая.

Если же $p \mid q - 1$, появляется ещё одна, неабелева группа порядка $pq$ - пример: $|G| = 21 = 3 \cdot 7$, где $3 \mid 6$, и существует неабелева группа, реализованная как полупрямое произведение $\mathbb{Z}_7 \rtimes \mathbb{Z}_3$.

Типовые задачи на теоремы Силова

В письменных работах по теории групп типичные задания строятся вокруг трёх сценариев:

1. Доказать, что группа заданного порядка не проста - найти простое $p$, для которого $n_p$ вынужденно равно $1$, и предъявить нормальную силовскую подгруппу.
2. Перечислить все группы данного порядка - разобрать силовские подгруппы каждого простого, понять, какие нормальны, и собрать $G$ как прямое или полупрямое произведение.
3. Оценить число элементов заданного порядка - через арифметику $n_p$ и количество элементов порядка $p$ в каждой силовской: их $n_p (p - 1)$ для силовских порядка $p$ и аккуратнее для $p^k$ с $k \geq 2$.

Систематический шаблон рассуждения: $|G| = p^k m$ → выпиши $n_p$ как делители $m$, сравнимые с $1 \bmod p$ → если в списке только $1$, силовская нормальна → используй нормальность для разложения. Связь с нильпотентностью - см. отдельный разбор.

Частые ошибки

• Считают, что $n_p$ - обязательно делитель $|G|$, а не уточнённое $m = |G|/p^k$. Делитель $|G|$ - это слабее, и при поиске возможных значений лишние варианты остаются.
• Из существования силовской подгруппы выводят её единственность. Существование гарантировано всегда; единственность ($n_p = 1$) - только при выполнении арифметических ограничений.
• Путают сопряжённость с равенством. Силовские подгруппы изоморфны и сопряжены, но в общем случае это разные подгруппы одной группы.
• Применяют теоремы к бесконечным группам. Теоремы Силова формулируются для конечных $G$; для бесконечных профинитных групп есть аналоги, но прямая формулировка не работает.
• Из $n_p \neq 1$ для одного $p$ заключают простоту $G$. Нужно проверить все простые делители $|G|$ - достаточно одной нормальной силовской, чтобы группа не была простой.

FAQ

Чем теоремы Силова отличаются от теоремы Коши? Теорема Коши даёт элемент порядка $p$, то есть подгруппу порядка $p$. Силова - подгруппу максимальной степени $p$, делящей $|G|$, то есть порядка $p^k$, где $p^k \| |G|$. Коши легко доказывается через действие $\mathbb{Z}_p$ на множестве $p$-кортежей с фиксированным произведением; Силова - индукцией с использованием уравнения классов.

Что значит «силовская подгруппа нормальна» на практике? Нормальность силовской $p$-подгруппы $P$ эквивалентна $n_p = 1$ и эквивалентна тому, что $P$ - характеристическая подгруппа, инвариантная относительно всех внутренних автоморфизмов. На уровне факторизации это позволяет писать $G$ как полупрямое (а при двух нормальных - прямое) произведение силовских и часто сразу классифицировать $G$ с точностью до изоморфизма.

Когда теоремы Силова не помогают? Когда $n_p$ может принимать несколько значений и арифметика не вынуждает $n_p = 1$ ни для одного простого делителя. Классический пример - группы порядка $60$: $n_5 \in \{1, 6\}$, $n_3 \in \{1, 4, 10\}$, $n_2 \in \{1, 3, 5, 15\}$. Помимо $\mathbb{Z}_{60}$ и других абелевых вариантов, существует простая $A_5$ - её нельзя поймать одной только арифметикой Силова, нужны дополнительные соображения (подсчёт элементов, действие на смежных классах, простота).

Коротко

Теоремы Силова - это три утверждения для конечной группы $G$ с $|G| = p^k m$, $\gcd(p, m) = 1$: силовская $p$-подгруппа порядка $p^k$ всегда существует, любые две такие подгруппы сопряжены, а их число $n_p$ удовлетворяет $n_p \equiv 1 \pmod p$ и $n_p \mid m$. Этих условий часто хватает, чтобы доказать существование нормальной силовской ($n_p = 1$), разложить $G$ в прямое или полупрямое произведение и классифицировать все группы заданного порядка - особенно для случаев $pq$, $p^2 q$ и произведений трёх различных простых.