Эквивалентность категорий: определение и критерий

Две категории редко бывают буквально равны: их объекты и стрелки - это разные множества, по-разному названные. Но часто они устроены «одинаково с точностью до изоморфизма»: любую конструкцию в одной можно дословно перенести в другую и обратно. Именно это и формализует эквивалентность категорий - главное отношение «похожести» в теории категорий, более гибкое, чем равенство или изоморфизм. Ниже разберём строгое определение через пару функторов и естественные изоморфизмы, докажем рабочий критерий и посмотрим на классические примеры. Можно сразу собрать формулировку своей задачи и получить пошаговый разбор.

Что такое эквивалентность категорий

Категории $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}$ называют эквивалентными (пишут $\mathcal{C} \simeq \mathcal{D}$), если существует пара функторов

$$F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \qquad G\colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$$

и два естественных изоморфизма

$$G F \cong \mathrm{id}_{\mathcal{C}}, \qquad F G \cong \mathrm{id}_{\mathcal{D}}.$$

Функтор $F$ при этом называют эквивалентностью категорий, а $G$ - его квазиобратным. Ключевое слово - «изоморфны», а не «равны»: мы не требуем $G F = \mathrm{id}_{\mathcal{C}}$, достаточно, чтобы $GF$ был естественно изоморфен тождественному функтору. Это и делает понятие практически применимым.

Рассчитать для своей задачи

Чтобы говорить о естественных изоморфизмах функторов, нужно понятие категории функторов: $GF$ и $\mathrm{id}_{\mathcal{C}}$ - это объекты категории $[\mathcal{C}, \mathcal{C}]$, а изоморфизм между ними - обратимый морфизм там. Эквивалентность - это и есть утверждение, что эти объекты изоморфны.

Изоморфизм категорий и почему он слишком жёсткий

Сравним с более сильным условием. Изоморфизм категорий требует функторов $F$ и $G$ с равенствами

$$G F = \mathrm{id}_{\mathcal{C}}, \qquad F G = \mathrm{id}_{\mathcal{D}}.$$

Это значит, что $F$ биективен на объектах и на морфизмах: каждому объекту $\mathcal{C}$ отвечает ровно один объект $\mathcal{D}$, и наоборот. На практике такое почти не встречается, потому что объекты разных категорий - это буквально разные множества.

Классический пример различия: категория всех конечномерных векторных пространств над полем $k$ эквивалентна, но не изоморфна, своей полной подкатегории пространств вида $k^n$. Любое конечномерное пространство изоморфно некоторому $k^n$ (выбором базиса), но не равно ему. Изоморфизм потребовал бы строгого равенства объектов - а его нет. Эквивалентность же спокойно отождествляет «то же самое с точностью до изоморфизма», и именно она отражает реальную математическую практику.

Полный, верный и существенно сюръективный функтор

Чтобы проверять эквивалентность, не выписывая квазиобратный функтор явно, вводят три свойства функтора $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$. Все они говорят про действие $F$ на множествах морфизмов $\mathrm{Hom}$.

• Верный (faithful): отображение $F\colon \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, FY)$ инъективно для всех $X, Y$. $F$ не склеивает разные стрелки.
• Полный (full): то же отображение сюръективно. Каждая стрелка $FX \to FY$ приходит из $\mathcal{C}$.
• Полностью верный (fully faithful): и полный, и верный, то есть $F$ задаёт биекцию $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, FY)$.
• Существенно сюръективный (essentially surjective): для любого объекта $Y \in \mathcal{D}$ найдётся объект $X \in \mathcal{C}$ с изоморфизмом $FX \cong Y$. $F$ покрывает все объекты $\mathcal{D}$ вплоть до изоморфизма.

Рассчитать для своей задачи

Слово «существенно» здесь принципиально: мы не требуем, чтобы каждый $Y$ был равен какому-то $FX$, только изоморфен. Это снова та же идея «с точностью до изоморфизма», что и в самом определении эквивалентности.

Критерий эквивалентности

Главная рабочая теорема связывает определение через квазиобратный функтор с проверяемыми свойствами.

Теорема. Функтор $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ является эквивалентностью категорий тогда и только тогда, когда он полностью верен и существенно сюръективен.

Это и есть критерий, которым пользуются почти всегда: проверять одно отображение $F$ на три свойства куда проще, чем угадывать квазиобратный $G$ и два естественных изоморфизма.

Идея доказательства в сторону «достаточно» конструктивна. Для каждого объекта $Y \in \mathcal{D}$ существенная сюръективность даёт объект $GY \in \mathcal{C}$ и изоморфизм $\eta_Y\colon F(GY) \cong Y$. Полная верность $F$ позволяет однозначно поднять любой морфизм $f\colon Y \to Y'$ до морфизма $GY \to GY'$, превращая выбор объектов $GY$ в функтор $G\colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$. Изоморфизмы $\eta_Y$ собираются в естественный изоморфизм $FG \cong \mathrm{id}_{\mathcal{D}}$, а двойственное рассуждение даёт $GF \cong \mathrm{id}_{\mathcal{C}}$.

Отметим следствие: эквивалентность сохраняет все понятия, формулируемые на языке категорий - изоморфизмы, мономорфизмы, пределы и копределы, начальные и конечные объекты. Поэтому эквивалентные категории взаимозаменяемы в любых категорных рассуждениях.

Примеры эквивалентностей

Понятие оживает на конкретных парах категорий.

1. Конечномерные пространства и матрицы. Категория конечномерных $k$-пространств эквивалентна категории, объектами которой служат натуральные числа $n$, а морфизмами $n \to m$ - матрицы размера $m \times n$. Функтор переводит пространство в его размерность; он полностью верен (линейные отображения ↔ матрицы) и существенно сюръективен.
2. Двойственность Стоуна. Категория булевых алгебр эквивалентна категории, двойственной к категории стоуновых пространств. Здесь $F$ меняет направление стрелок, и эквивалентность называют двойственностью.
3. Пучки и накрытия. Категория накрытий хорошего пространства эквивалентна категории множеств с действием фундаментальной группы. Это превращает геометрический вопрос в алгебраический.
4. Аффинные схемы. Категория аффинных схем эквивалентна категории, двойственной к категории коммутативных колец - мост между геометрией и алгеброй.

Во всех случаях работает один и тот же приём из критерия: эквивалентность тесно связана и с понятием сопряжённых функторов - всякая эквивалентность является сопряжением, у которого единица и коединица обратимы.

Рассчитать для своей задачи

Скелет категории

С эквивалентностью связана удобная конструкция - скелет. Скелет категории $\mathcal{C}$ - это её полная подкатегория, в которую входит ровно по одному объекту из каждого класса изоморфных объектов. Любая категория эквивалентна своему скелету, а две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда у них изоморфные скелеты.

Скелет - это способ «убрать дубликаты». В категории конечномерных пространств бесконечно много изоморфных копий каждой размерности; скелет оставляет по одному представителю, и получается та самая «матричная» категория из примеров выше. Так эквивалентность сводится к более наглядному изоморфизму скелетов, что часто упрощает рассуждения.

Частые ошибки

• Путают эквивалентность с изоморфизмом категорий. Эквивалентность требует естественных изоморфизмов $GF \cong \mathrm{id}$, а не равенств $GF = \mathrm{id}$. Требование равенства почти никогда не выполняется и не отражает практику.
• Забывают про существенную сюръективность. Полностью верного функтора недостаточно: без покрытия всех объектов $\mathcal{D}$ (вплоть до изоморфизма) получается лишь вложение полной подкатегории.
• Считают «существенно сюръективный» обычной сюръективностью на объектах. Достаточно изоморфизма $FX \cong Y$, а не равенства $FX = Y$ - слово «существенно» именно про это.
• Думают, что эквивалентные категории имеют поровну объектов. Число объектов может отличаться (даже бесконечно): эквивалентны категория всех конечномерных пространств и её крошечный скелет.
• Проверяют только верность, забыв полноту. Верный, но не полный функтор инъективен на стрелках, но может «не достать» некоторые морфизмы образа - это не эквивалентность.

FAQ

Чем эквивалентность категорий отличается от изоморфизма? Изоморфизм требует точных равенств $GF = \mathrm{id}$ и $FG = \mathrm{id}$, то есть биекции объектов и морфизмов. Эквивалентность ослабляет равенства до естественных изоморфизмов $GF \cong \mathrm{id}$ и $FG \cong \mathrm{id}$. Поэтому эквивалентность встречается повсеместно, а изоморфизм категорий - почти никогда.

Как проверить, что функтор задаёт эквивалентность? Проще всего через критерий: функтор $F$ - эквивалентность тогда и только тогда, когда он полностью верен (биекция на множествах морфизмов $\mathrm{Hom}$) и существенно сюръективен (любой объект цели изоморфен какому-то образу). Эти три свойства проверяются напрямую, без построения квазиобратного функтора.

Что сохраняет эквивалентность категорий? Все категорные понятия: изоморфизмы, моно- и эпиморфизмы, пределы и копределы, начальные и конечные объекты, сопряжённость функторов. Любое утверждение, сформулированное на языке объектов и стрелок, переносится между эквивалентными категориями без изменений.

Коротко

Эквивалентность категорий $\mathcal{C} \simeq \mathcal{D}$ - это пара функторов $F$ и $G$ с естественными изоморфизмами $GF \cong \mathrm{id}_{\mathcal{C}}$ и $FG \cong \mathrm{id}_{\mathcal{D}}$; в отличие от изоморфизма категорий, равенства ослаблены до изоморфизмов, поэтому понятие применимо повсеместно. Рабочий критерий: функтор задаёт эквивалентность тогда и только тогда, когда он полностью верен и существенно сюръективен. Эквивалентность сохраняет все категорные конструкции, а любая категория эквивалентна своему скелету - категории без изоморфных дубликатов.