Категория функторов: объекты, морфизмы и примеры

Когда между двумя категориями есть много функторов, возникает естественный вопрос: а нельзя ли собрать сами функторы в новую категорию? Оказывается, можно - и это одна из самых важных конструкций теории категорий. Объектами становятся функторы, а морфизмами - естественные преобразования между ними. Эту конструкцию обозначают $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ или $\mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ и называют категорией функторов. Разберём её определение по частям, проверим аксиомы категории и посмотрим, почему предпучки, диаграммы и представления групп - всё это частные случаи одной идеи. Ниже можно собрать точную формулировку своей задачи и сразу получить разбор.

Что такое категория функторов

Зафиксируем две категории $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}$. Категория функторов $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ устроена так:

• объекты - все функторы $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$;
• морфизмы $F \to G$ - естественные преобразования $\alpha\colon F \Rightarrow G$;
• композиция морфизмов - вертикальная композиция естественных преобразований;
• тождественный морфизм объекта $F$ - тождественное преобразование $\mathrm{id}_F$.

Главная мысль: то, что раньше было «отображением между категориями», теперь стало точкой в новом пространстве, а связи между такими точками - естественными преобразованиями. Чтобы конструкция действительно была категорией, нужно проверить, что морфизмы можно складывать ассоциативно и что есть единицы. Это мы и сделаем, но сначала договоримся, что такое естественное преобразование.

Рассчитать для своей задачи

Естественное преобразование как морфизм

Пусть $F, G\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ - два функтора. Естественное преобразование $\alpha\colon F \Rightarrow G$ - это семейство морфизмов в $\mathcal{D}$

$$\alpha_X \colon F(X) \to G(X), \quad X \in \mathcal{C},$$

по одному на каждый объект $X$, такое, что для любого морфизма $f\colon X \to Y$ в $\mathcal{C}$ выполняется условие естественности:

$$G(f) \circ \alpha_X = \alpha_Y \circ F(f).$$

Это равенство означает, что квадрат с вершинами $F(X)$, $F(Y)$, $G(X)$, $G(Y)$ коммутирует. Морфизмы $\alpha_X$ называют компонентами преобразования. Условие естественности - сердце всей конструкции: именно оно гарантирует, что преобразование «согласовано» со структурой стрелок, а не просто набирается из произвольных морфизмов.

Если все компоненты $\alpha_X$ - изоморфизмы в $\mathcal{D}$, то $\alpha$ называют естественным изоморфизмом, а функторы $F$ и $G$ - естественно изоморфными ($F \cong G$). Это и есть «равенство» функторов с точки зрения теории категорий: различать функторы вплоть до естественного изоморфизма - то же, что различать объекты обычной категории вплоть до изоморфизма.

Композиция и проверка аксиом

Чтобы $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ была категорией, нужна композиция морфизмов. Для естественных преобразований $\alpha\colon F \Rightarrow G$ и $\beta\colon G \Rightarrow H$ их вертикальная композиция $\beta \circ \alpha\colon F \Rightarrow H$ задаётся покомпонентно:

$$(\beta \circ \alpha)_X = \beta_X \circ \alpha_X.$$

Проверим, что это снова естественное преобразование. Для морфизма $f\colon X \to Y$ нужно показать $H(f)\circ(\beta\circ\alpha)_X = (\beta\circ\alpha)_Y \circ F(f)$. Раскрывая и пользуясь естественностью сначала $\alpha$, потом $\beta$:

$$\begin{aligned} H(f)\circ \beta_X \circ \alpha_X &= \beta_Y \circ G(f) \circ \alpha_X \\ &= \beta_Y \circ \alpha_Y \circ F(f). \end{aligned}$$

Квадрат снова коммутирует, значит композиция корректна. Ассоциативность и единичность наследуются из категории $\mathcal{D}$: они выполняются покомпонентно, потому что в каждом объекте $X$ мы просто работаем со стрелками $\mathcal{D}$. Тождественный морфизм $\mathrm{id}_F$ имеет компоненты $(\mathrm{id}_F)_X = \mathrm{id}_{F(X)}$. Так все аксиомы категории выполнены - конструкция законна.

Рассчитать для своей задачи

Изоморфизм функторов и эквивалентность

Важно не путать две степени близости. Естественный изоморфизм $F \cong G$ - это обратимый морфизм внутри одной категории $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$. Совсем другое дело - эквивалентность категорий $\mathcal{C} \simeq \mathcal{D}$: пара функторов $F\colon \mathcal{C}\to\mathcal{D}$ и $G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ с естественными изоморфизмами $G F \cong \mathrm{id}_{\mathcal{C}}$ и $F G \cong \mathrm{id}_{\mathcal{D}}$.

Здесь язык категории функторов работает в полную силу: эквивалентность формулируется именно через изоморфизмы в категориях $[\mathcal{C}, \mathcal{C}]$ и $[\mathcal{D}, \mathcal{D}]$. Без понятия естественного изоморфизма пришлось бы требовать строгого равенства $GF = \mathrm{id}$, а это слишком жёсткое условие - на практике почти никогда не выполняется, тогда как эквивалентность встречается повсеместно.

Объект $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$, у которого все морфизмы обратимы, был бы группоидом функторов - но в общем случае это полноценная категория с необратимыми естественными преобразованиями.

Предпучки и важные частные случаи

Самое полезное в категории функторов - что многие знакомые объекты оказываются её частными случаями при удачном выборе $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}$:

1. Предпучки. Категория предпучков на $\mathcal{C}$ - это $[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$. Объекты - контравариантные функторы со значениями в множествах, морфизмы - естественные преобразования. Это основной объект теории топосов и алгебраической геометрии.
2. Диаграммы. Если $\mathcal{C} = J$ - маленькая «индексная» категория (форма диаграммы), то $[J, \mathcal{D}]$ - категория диаграмм формы $J$ в $\mathcal{D}$. Пределы и копределы - это функторы из этой категории.
3. Представления группы. Группу $G$ можно рассматривать как категорию с одним объектом. Тогда $[G, \mathbf{Vect}_k]$ - это в точности категория линейных представлений $G$, а естественные преобразования - сплетающие операторы (морфизмы представлений).
4. Действия моноида. Аналогично моноид $M$ даёт $[M, \mathbf{Set}]$ - категорию множеств с действием $M$.

Эта универсальность - причина, по которой категорию функторов изучают так рано: один и тот же аппарат описывает совершенно разные сюжеты. К ней тесно примыкает и понятие сопряжённых функторов, которое тоже формулируется через естественные преобразования - единицу и коединицу.

Рассчитать для своей задачи

Когда категория функторов наследует структуру

Полезное практическое правило: $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ наследует «хорошие» свойства от целевой категории $\mathcal{D}$, причём поточечно.

• Если в $\mathcal{D}$ есть пределы (произведения, ядра, обратные пределы), то они есть и в $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$, и вычисляются покомпонентно: $(\lim F_i)(X) = \lim (F_i(X))$. То же для копределов.
• Если $\mathcal{D}$ - аддитивная или абелева категория, то и $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ такова. Поэтому категория предпучков абелевых групп $[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Ab}]$ абелева - это фундамент гомологической алгебры. Подробнее об аксиомах см. аддитивную категорию.
• Если $\mathcal{C}$ - малая категория, а $\mathcal{D}$ полна и кополна, то $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ тоже полна и кополна.

Условие малости $\mathcal{C}$ существенно: если $\mathcal{C}$ не мала, классы функторов и естественных преобразований могут оказаться «слишком большими», и тогда $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ перестаёт быть локально малой категорией. С этим аккуратно работают через теоретико-множественные ограничения (универсумы Гротендика).

Частые ошибки

• Путают функторы и естественные преобразования. Функтор переводит объекты в объекты и стрелки в стрелки; естественное преобразование живёт «уровнем выше» - это морфизм между двумя функторами, набор стрелок в $\mathcal{D}$.
• Забывают условие естественности. Произвольное семейство морфизмов $\alpha_X\colon F(X)\to G(X)$ ещё не преобразование - обязателен коммутирующий квадрат для каждой стрелки $f$.
• Смешивают вертикальную и горизонтальную композицию. В $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ морфизмы складываются вертикально (покомпонентно). Горизонтальная композиция - отдельная операция, связывающая преобразования между разными парами функторов.
• Считают естественный изоморфизм равенством. $F \cong G$ не значит $F = G$: компоненты - изоморфизмы, а не тождества. Требовать строгого равенства почти всегда неверно.
• Игнорируют условие малости $\mathcal{C}$. Для больших $\mathcal{C}$ категория функторов может перестать быть локально малой - это не формальная придирка, а реальная теоретико-множественная проблема.

FAQ

Чем категория функторов отличается от обычной категории? Ничем по определению - это полноценная категория, просто её объекты сами являются функторами, а морфизмы - естественными преобразованиями. Аксиомы (ассоциативность, единицы) проверяются и выполняются, как показано выше. Отличие лишь в природе объектов.

Что такое естественное преобразование простыми словами? Это согласованный способ «перевести» один функтор в другой: для каждого объекта мы задаём стрелку $F(X)\to G(X)$, и все эти стрелки уважают исходные морфизмы - соответствующий квадрат коммутирует. Согласованность и есть слово «естественное».

Почему предпучки - это категория функторов? Предпучок на $\mathcal{C}$ по определению есть контравариантный функтор $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$. Все предпучки и естественные преобразования между ними образуют категорию $[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$ - это и есть категория функторов с целевой категорией множеств.

Коротко

Категория функторов $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ собирает функторы $\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ в объекты, а естественные преобразования - в морфизмы; композиция вертикальная и покомпонентная, аксиомы наследуются от $\mathcal{D}$. Естественный изоморфизм играет роль «равенства» функторов и лежит в основе эквивалентности категорий. Конструкция универсальна: предпучки, диаграммы и представления групп - её частные случаи, а хорошие свойства целевой категории (пределы, абелевость) она наследует поточечно.