Аддитивная категория: определение и аксиомы

Аддитивная категория - это категория, в которой множества морфизмов между объектами несут структуру абелевой группы, причём композиция согласована с этой структурой, а конечные наборы объектов можно складывать в бипроизведение. Понятие сидит ровно посередине между «голой» теорией категорий и абелевыми категориями: оно даёт достаточно линейной алгебры, чтобы говорить о суммах морфизмов и матрицах, но ещё не требует существования ядер и коядер. Ниже разберём аксиомы по шагам, покажем, откуда берётся бипроизведение, и научимся отличать аддитивную категорию от абелевой. Если нужно проверить конкретный пример или собрать доказательство аксиомы - соберите запрос в форме ниже и продолжите разбор в чате.

Предабелева структура: Ab-обогащение

Старт - это так называемая Ab-категория (или предаддитивная категория). Категория $\mathcal{C}$ называется предаддитивной, если для любых объектов $A, B$ множество морфизмов $\mathrm{Hom}(A, B)$ снабжено структурой абелевой группы, а композиция билинейна:

$$(f + f') \circ g = f \circ g + f' \circ g, \qquad h \circ (f + f') = h \circ f + h \circ f'.$$

Билинейность означает, что композиция ведёт себя как умножение в кольце: распределяется относительно сложения с обеих сторон. Отсюда сразу следует, что нулевой морфизм $0 \in \mathrm{Hom}(A, B)$ при композиции с чем угодно даёт нуль: $f \circ 0 = 0$ и $0 \circ g = 0$.

Канонический образец предаддитивной категории - категория модулей над кольцом $R$. Сумма гомоморфизмов модулей снова гомоморфизм, поэтому $\mathrm{Hom}_R(M, N)$ - абелева группа, а композиция распределяется. Именно из этого примера и выросла вся абстракция: аддитивная категория обобщает «работу с линейными отображениями» так, чтобы можно было забыть про элементы.

Рассчитать для своей задачи

Нулевой объект

Следующая аксиома требует нулевого объекта $0$ - объекта, который одновременно начальный и конечный. Начальный означает: из $0$ в любой объект $X$ есть ровно один морфизм. Конечный - наоборот: в $0$ из любого $X$ ведёт ровно один морфизм. Совпадение этих двух свойств в одном объекте - нетривиальное условие, и именно оно склеивает нулевые морфизмы в единую картину.

Через нулевой объект однозначно определяется нулевой морфизм между любыми $A$ и $B$ как композиция

$$A \xrightarrow{\;} 0 \xrightarrow{\;} B.$$

В Ab-обогащённой категории этот геометрический нуль совпадает с нейтральным элементом группы $\mathrm{Hom}(A, B)$ - два разных определения нуля сходятся, и это согласование - часть того, что делает категорию аддитивной. В категории модулей нулевой объект - это нулевой модуль $\{0\}$, который и впрямь служит одновременно начальным и конечным.

Бипроизведение: сумма равна произведению

Сердце определения - бипроизведение (biproduct). В обычной категории произведение $A \times B$ и копроизведение $A \sqcup B$ - разные конструкции. В аддитивной категории для любой конечной пары объектов они существуют и совпадают. Объект $A \oplus B$ вместе с проекциями $p_A, p_B$ и вложениями $i_A, i_B$ называется бипроизведением, если выполнены соотношения

$$p_A \circ i_A = \mathrm{id}_A, \quad p_B \circ i_B = \mathrm{id}_B, \quad p_A \circ i_B = 0, \quad p_B \circ i_A = 0,$$ $$i_A \circ p_A + i_B \circ p_B = \mathrm{id}_{A \oplus B}.$$

Первые четыре равенства - обычные «матричные единицы», а последнее (полнота) выражает, что вложения и проекции вместе покрывают весь объект. Замечательно, что наличие Ab-структуры и нулевого объекта автоматически делает любое произведение бипроизведением, и обратно - отдельно требовать совпадения не нужно, оно вытекает из остальных аксиом.

Рассчитать для своей задачи

Матричная запись морфизмов

Бипроизведение даёт самый практичный инструмент аддитивных категорий - матрицы морфизмов. Любой морфизм $f \colon A_1 \oplus A_2 \to B_1 \oplus B_2$ однозначно записывается матрицей

$$f = \begin{pmatrix} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{pmatrix}, \qquad f_{ij} = p_{B_i} \circ f \circ i_{A_j},$$

где каждый блок $f_{ij} \colon A_j \to B_i$ - обычный морфизм. Композиция таких морфизмов считается ровно по правилу умножения матриц, где «умножение» элементов - это композиция, а «сложение» - сложение в группе $\mathrm{Hom}$. Это превращает работу в аддитивной категории в линейную алгебру над «кольцом морфизмов», и именно поэтому теория модулей, представления и гомологическая алгебра так естественно укладываются в этот язык.

Аддитивный функтор

Между аддитивными категориями работают не любые функторы, а аддитивные функторы - те, что сохраняют структуру. Функтор $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ называется аддитивным, если индуцированное отображение на морфизмах

$$F \colon \mathrm{Hom}(A, B) \to \mathrm{Hom}(FA, FB)$$

является гомоморфизмом абелевых групп: $F(f + g) = F(f) + F(g)$. Из этого автоматически следует, что аддитивный функтор сохраняет нулевые морфизмы, нулевой объект и переводит бипроизведения в бипроизведения: $F(A \oplus B) \cong FA \oplus FB$. Тензорное умножение и Hom-функтор в категории модулей - классические аддитивные функторы; на них же строится понятие производного функтора в гомологической алгебре.

Чем аддитивная категория отличается от абелевой

Здесь чаще всего путаются. Абелева категория - это аддитивная категория с двумя дополнительными требованиями: у каждого морфизма есть ядро и коядро, и каждый мономорфизм является ядром, а каждый эпиморфизм - коядром. Иначе говоря, аддитивная даёт лишь сложение морфизмов и прямые суммы, а абелева вдобавок позволяет строить точные последовательности, образы и факторы.

Контрпример помогает увидеть разницу. Категория свободных абелевых групп конечного ранга аддитивна: $\mathrm{Hom}$ - группы, есть $\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}^m = \mathbb{Z}^{n+m}$. Но она не абелева: коядро умножения на $2$, то есть $\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}$, это $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, а оно не свободно и в категории отсутствует. Сложить морфизмы можно, а факторизовать - уже нет. Похожая логика разбирается в материале про группу Брауэра, где тоже важно различать структуру на классах и операции внутри них.

Примеры и неполные примеры

Перечислим эталоны. Аддитивны: категория $R$-модулей $R\text{-}\mathbf{Mod}$, категория абелевых групп $\mathbf{Ab}$, категория конечномерных векторных пространств над полем, категория цепных комплексов. Все они к тому же абелевы. Чисто аддитивна (без абелевости) уже упомянутая категория свободных модулей конечного ранга и, например, категория проективных модулей.

А вот категория всех групп $\mathbf{Grp}$ не аддитивна: $\mathrm{Hom}(G, H)$ для неабелевых групп не несёт структуры абелевой группы (поточечная сумма гомоморфизмов не гомоморфизм). Категория множеств тоже не аддитивна - там нет даже нулевого объекта в нужном смысле, ведь начальный объект (пустое множество) и конечный (одноточечное) различны.

Частые ошибки

• Путать предаддитивную и аддитивную категорию. Ab-обогащения мало: нужны ещё нулевой объект и бипроизведения. Предаддитивная - лишь первый слой.
• Считать бипроизведение отдельной аксиомой совпадения. Не нужно отдельно требовать «произведение равно копроизведению»: при наличии Ab-структуры и нулевого объекта это совпадение доказывается.
• Называть любую аддитивную категорию абелевой. Абелевость - строго сильнее; свободные модули конечного ранга дают аддитивную, но не абелеву категорию.
• Терять билинейность композиции. Если композиция не распределяется относительно сложения, матричное исчисление морфизмов ломается, и это уже не аддитивная категория.
• Считать, что любой функтор сохраняет прямые суммы. Это делает только аддитивный функтор; общий функтор может разрушить групповую структуру на морфизмах.

FAQ

Чем бипроизведение отличается от прямого произведения? Прямое произведение определяется универсальным свойством через проекции, копроизведение - через вложения. Бипроизведение - это объект, который удовлетворяет обоим свойствам сразу и связан соотношениями матричных единиц. В аддитивной категории конечные произведение и копроизведение всегда совпадают и дают бипроизведение.

Каждая ли аддитивная категория абелева? Нет. Абелева категория - это аддитивная плюс существование ядер и коядер с условием, что мономорфизмы являются ядрами, а эпиморфизмы - коядрами. Категория свободных абелевых групп конечного ранга аддитивна, но не абелева.

Зачем нужна матричная запись морфизмов? Она превращает работу с морфизмами между прямыми суммами в обычную линейную алгебру: композиция считается умножением матриц. Это упрощает доказательства в гомологической алгебре, теории представлений и при работе с цепными комплексами.

Коротко

Аддитивная категория - это Ab-обогащённая категория с нулевым объектом и конечными бипроизведениями, где морфизмы складываются, а прямые суммы записываются матрицами. Она обобщает линейную алгебру модулей, но, в отличие от абелевой категории, ещё не гарантирует ядер, коядер и точных последовательностей. Аддитивные функторы сохраняют всю эту структуру и служат базой гомологической алгебры.