Группа Брауэра: центральные простые алгебры

Группа Брауэра - это инвариант поля $K$, который собирает в одну абелеву группу все «скрученные» формы матричных алгебр над $K$. Её элементы - классы эквивалентности центральных простых алгебр относительно тензорного произведения, а нейтральный элемент - сами матричные алгебры $M_n(K)$. Через теорему Веддерберна группа Брауэра тесно связана с телами (алгебрами с делением) над $K$, а через теорию Галуа отождествляется со второй группой когомологий $H^2(\mathrm{Gal}(\bar K/K), \bar K^*)$. Ниже - точные определения, групповая структура, классические вычисления над $\mathbb{R}$, локальными и числовыми полями, и разбор частых ошибок.

Центральные простые алгебры

Конечномерная ассоциативная $K$-алгебра $A$ называется центральной простой алгеброй (ЦПА), если её центр совпадает с $K$ (то есть $Z(A) = K$) и в $A$ нет нетривиальных двусторонних идеалов. Базовый пример - матричная алгебра $M_n(K)$: её центр - скалярные матрицы $\cong K$, а простота известна из линейной алгебры. Другой ключевой пример - кватернионы Гамильтона $\mathbb{H}$ как центральная простая $\mathbb{R}$-алгебра размерности $4$.

Фундаментальный факт - теорема Веддерберна: всякая центральная простая алгебра над $K$ изоморфна $M_n(D)$, где $D$ - тело (алгебра с делением) с центром $K$, причём $n$ и $D$ определены однозначно с точностью до изоморфизма. Размерность любой ЦПА над $K$ - точный квадрат: $\dim_K A = m^2$, и число $m$ называют степенью алгебры.

Чтобы быстро проверить структуру конкретной центральной простой алгебры - её степень, тип тела $D$ и класс в группе Брауэра - воспользуйтесь интерактивным разбором ниже: выбираете поле и алгебру, получаете полный вывод.

Эквивалентность Брауэра и тензорное произведение

Две центральные простые алгебры $A$ и $B$ над $K$ называются эквивалентными по Брауэру, если их тела совпадают, то есть $A \cong M_r(D)$ и $B \cong M_s(D)$ с одним и тем же $D$. Эквивалентно: существуют такие $m, n$, что

$$A \otimes_K M_n(K) \cong B \otimes_K M_m(K).$$

В каждом классе ровно одно тело $D$ (минимальный представитель), так что классы эквивалентности взаимно однозначно соответствуют телам с центром $K$.

Операция на классах - тензорное произведение над $K$. Произведение двух ЦПА снова центрально и просто, поэтому корректно определено умножение

$$[A] \cdot [B] = [A \otimes_K B].$$

Это превращает множество классов в группу, которую обозначают $\mathrm{Br}(K)$.

Групповая структура $\mathrm{Br}(K)$

Проверим аксиомы. Ассоциативность и коммутативность наследуются от тензорного произведения. Нейтральный элемент - класс $[K] = [M_n(K)]$: для любой ЦПА выполнено $A \otimes_K M_n(K) \cong M_n(A)$, что лежит в классе $A$. Обратный элемент даёт противоположная алгебра $A^{\mathrm{op}}$:

$$A \otimes_K A^{\mathrm{op}} \cong M_{d}(K), \qquad d = \dim_K A,$$

поэтому $[A]^{-1} = [A^{\mathrm{op}}]$. Итог: $\mathrm{Br}(K)$ - абелева группа, и это её определяющее свойство.

Важная деталь - кручение: всякий элемент группы Брауэра имеет конечный порядок, равный показателю (exponent) алгебры, который делит её степень. Поэтому $\mathrm{Br}(K)$ - это группа кручения (torsion group).

Когомологическая интерпретация

Самое мощное описание группы Брауэра - через когомологии Галуа. Если $\bar K$ - сепарабельное замыкание, а $G = \mathrm{Gal}(\bar K/K)$ - абсолютная группа Галуа, то есть канонический изоморфизм

$$\mathrm{Br}(K) \;\cong\; H^2\!\left(G,\, \bar K^{\,*}\right).$$

Класс ЦПА $A$ строится так: $A$ расщепляется (становится матричной) после расширения скаляров до подходящего конечного расширения Галуа $L/K$, и набор данных «как именно $A$ собрана из $L$» задаёт 2-коцикл со значениями в $L^*$. Алгебры, построенные таким образом по $L/K$ и коциклу, называют скрещёнными произведениями (crossed products). Для циклического расширения это даёт явные циклические алгебры $(L/K, \sigma, a)$.

Когомологическая картина объясняет, почему $\mathrm{Br}(K)$ абелева и почему она вписана в общую функториальность: расширение полей $K \to K'$ задаёт гомоморфизм ограничения $\mathrm{Br}(K) \to \mathrm{Br}(K')$. Ядро этого ограничения - относительная группа Брауэра $\mathrm{Br}(K'/K)$, состоящая из классов, которые расщепляются после перехода к $K'$. Для конечного расширения Галуа $L/K$ она отождествляется с $H^2(\mathrm{Gal}(L/K), L^*)$, а вся группа $\mathrm{Br}(K)$ получается как объединение (прямой предел) этих относительных групп по всем конечным $L$. Именно поэтому каждый класс расщепляется уже над некоторым конечным расширением - отдельная ЦПА «живёт» в конечном куске абсолютной группы Галуа.

Если вы изучаете соседние сюжеты, полезно держать рядом разбор центрального ряда группы и максимального идеала кольца - групповая и кольцевая стороны здесь работают вместе.

Вычисления над конкретными полями

Сила теории - в том, что для важнейших полей $\mathrm{Br}(K)$ известна явно.

• Алгебраически замкнутое поле (например $\mathbb{C}$): телá отсутствуют, $\mathrm{Br}(\mathbb{C}) = 0$. То же для любого конечного поля $\mathbb{F}_q$ - это малая теорема Веддерберна (всякое конечное тело - поле), так что $\mathrm{Br}(\mathbb{F}_q) = 0$.
• Поле вещественных чисел $\mathbb{R}$: единственное нетривиальное тело - кватернионы $\mathbb{H}$, и

$$\mathrm{Br}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$

Класс $[\mathbb{H}]$ - элемент порядка $2$, так как $\mathbb{H} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{H} \cong M_4(\mathbb{R})$.

• Локальное поле (например $\mathbb{Q}_p$ или $\mathbb{R}$ как архимедово): локальная теория полей классов даёт инвариантный изоморфизм

$$\mathrm{inv}_v\colon \mathrm{Br}(\mathbb{Q}_p) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

• Глобальное (числовое) поле $K$: точная последовательность Хассе-Брауэра-Нётер-Альберта

$$0 \to \mathrm{Br}(K) \to \bigoplus_v \mathrm{Br}(K_v) \xrightarrow{\sum \mathrm{inv}_v} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0$$

говорит, что класс задаётся набором локальных инвариантов, сумма которых равна нулю.

Инвариант и порядок элемента

Над локальным полем каждый класс кодируется рациональным числом $\mathrm{inv}_v(A) \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Его знаменатель (в несократимой записи) - это показатель алгебры, то есть порядок $[A]$ в $\mathrm{Br}(K_v)$. Например, инварианту $\tfrac{1}{2}$ отвечает класс порядка $2$ (локальный аналог кватернионов), а инварианту $\tfrac{1}{n}$ - циклическая алгебра степени $n$.

Для числового поля показатель класса - наименьшее общее кратное знаменателей всех локальных инвариантов. Над числовыми и локальными полями показатель совпадает со степенью минимального тела (равенство «период равен индексу»), хотя в общем случае период лишь делит индекс. Эта согласованность - одно из глубоких следствий теории полей классов: глобальный класс полностью восстанавливается по своим локальным «теням», а единственное ограничение - обращение в нуль суммы инвариантов. На практике это превращает абстрактную $\mathrm{Br}(K)$ в счётный, явно вычислимый объект: чтобы задать алгебру с делением над $\mathbb{Q}$, достаточно расставить конечный набор рациональных инвариантов по местам с нулевой суммой.

Частые ошибки

• Путать ЦПА с произвольной простой алгеброй. Центральность ($Z(A)=K$) обязательна: $\mathbb{C}$ как $\mathbb{R}$-алгебра проста, но не центральна, поэтому не задаёт класс в $\mathrm{Br}(\mathbb{R})$.
• Считать обратным элементом «деление алгебр». Обратный - это противоположная алгебра $A^{\mathrm{op}}$, а соотношение $A \otimes A^{\mathrm{op}} \cong M_d(K)$, а не «$A \otimes A^{-1} = K$».
• Брать размерность тела за порядок класса. Порядок $[A]$ в группе - это показатель (exponent), он делит степень, но в общем случае им не равен.
• Забывать про условие на сумму инвариантов. Для числового поля произвольный набор локальных инвариантов не задаёт глобальный класс: сумма по всем $v$ обязана быть нулём.
• Думать, что $\mathrm{Br}(\mathbb{F}_q)$ нетривиальна. Над конечным полем телá невозможны (малая теорема Веддерберна), поэтому группа Брауэра тривиальна.

FAQ

Почему группа Брауэра всегда абелева? Потому что операция - тензорное произведение, а оно коммутативно с точностью до изоморфизма: $A \otimes_K B \cong B \otimes_K A$. Когомологически это отражено тем, что $\mathrm{Br}(K) = H^2(G, \bar K^*)$ - группа когомологий по определению абелева.

Чем отличаются степень, показатель и индекс? Степень - это $m$ в $\dim_K A = m^2$. Индекс - степень минимального тела $D$ в классе $[A]$. Показатель (период) - порядок $[A]$ в $\mathrm{Br}(K)$. Всегда «период делит индекс», а индекс делит степень; над локальными и числовыми полями период равен индексу.

Как связаны кватернионы и $\mathrm{Br}(\mathbb{R})$? Кватернионы $\mathbb{H}$ - единственное нетривиальное тело над $\mathbb{R}$, и его класс порождает $\mathrm{Br}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Порядок $2$ виден из $\mathbb{H} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{H} \cong M_4(\mathbb{R})$.

Коротко

Группа Брауэра $\mathrm{Br}(K)$ - это абелева группа классов центральных простых алгебр над $K$ по тензорному произведению, где нейтраль - матричные алгебры, а обратный класс даёт противоположная алгебра. По теореме Веддерберна классы отождествляются с телами над $K$, а по теории Галуа - с $H^2(\mathrm{Gal}(\bar K/K), \bar K^*)$. Над $\mathbb{C}$ и $\mathbb{F}_q$ она тривиальна, над $\mathbb{R}$ равна $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, над локальными полями отождествляется с $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ через инвариант, а над числовыми описывается последовательностью Хассе с условием нулевой суммы локальных инвариантов.