Максимальный идеал кольца: определение и свойства

В коммутативной алгебре максимальный идеал кольца - это собственный идеал $M \subsetneq R$, не вкладывающийся ни в какой строго больший собственный идеал. Это понятие выглядит чисто комбинаторным, но именно через него кольцо «видит» свои поля: факторкольцо $R / M$ оказывается полем, а множество всех максимальных идеалов $\mathrm{MaxSpec}(R)$ образует геометрическое пространство, на котором живёт алгебраическая геометрия аффинных многообразий. Дальше - определения, существование через лемму Цорна, классические примеры и связь со спектром.

Определение

Идеал $M \subseteq R$ коммутативного кольца с единицей называется максимальным, если выполнены два условия одновременно:

• $M$ собственный, то есть $M \ne R$ (эквивалентно $1 \notin M$).
• Не существует идеала $I$, для которого $M \subsetneq I \subsetneq R$.

Иначе говоря, $M$ - максимальный элемент частично упорядоченного по включению множества собственных идеалов кольца. Условие «собственный» здесь обязательно: само кольцо $R$ - это идеал, но «максимальный» термин фиксируется именно за собственными.

В частности, в нулевом кольце $R = \{0\}$ нет ни одного максимального идеала, потому что $0 = 1$ и собственных идеалов вообще нет. Этот вырожденный случай - единственный, в котором $\mathrm{MaxSpec}(R) = \emptyset$.

Эквивалент: фактор-кольцо как поле

Фундаментальная характеризация: идеал $M$ максимален тогда и только тогда, когда $R / M$ - поле.

В одну сторону: если $M$ максимален, то для любого $\bar a \ne \bar 0$ в $R / M$ идеал $M + (a)$ строго больше $M$, значит совпадает с $R$, откуда $1 \in M + (a)$ и существует $b \in R$ с $\bar a \bar b = \bar 1$. Обратно, если $R/M$ - поле, то любое строгое расширение $M$ содержит обратимый ненулевой класс и потому равно $R$.

Проверить, что $R/M$ - поле, часто проще, чем разбирать решётку идеалов. В $\mathbb{Z}$ идеал $(7)$ максимален, потому что $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} = \mathbb{F}_7$ - поле; $(6)$ не максимален, потому что $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ - не поле.

Чтобы потрогать понятие руками, ниже - мини-инструмент: выбираете кольцо и вопрос про максимальные идеалы, и в чате собирается разбор через факторкольцо, $\mathrm{MaxSpec}$ и (если применимо) Hilbert Nullstellensatz.

Существование: лемма Цорна

Каждое коммутативное кольцо с единицей $R \ne 0$ содержит хотя бы один максимальный идеал. Доказательство - стандартное применение леммы Цорна к множеству $\mathcal{S}$ всех собственных идеалов $I \subsetneq R$, упорядоченных по включению.

Цепь $\{I_\alpha\}_{\alpha \in A}$ в $\mathcal{S}$ имеет верхнюю грань $I = \bigcup_\alpha I_\alpha$: объединение цепи идеалов - снова идеал, и $I \ne R$, потому что иначе $1 \in I_\alpha$ для какого-то $\alpha$, и $I_\alpha = R$ - противоречие. По лемме Цорна в $\mathcal{S}$ есть максимальный элемент, и он будет максимальным идеалом кольца. Аналогично: всякий собственный идеал $I \subsetneq R$ содержится в некотором максимальном.

Лемма Цорна эквивалентна аксиоме выбора, и без неё существование максимального идеала в общем кольце недоказуемо. Для нётеровых колец цепи стабилизируются и Цорн не нужен - нётеровость, в свою очередь, наследуется по теореме Гильберта о базисе на кольца многочленов.

Всякий максимальный - простой

Простой идеал $\mathfrak{p} \subset R$ - собственный, такой что $ab \in \mathfrak{p} \Rightarrow a \in \mathfrak{p}$ или $b \in \mathfrak{p}$. Эквивалентно: $R / \mathfrak{p}$ - область целостности.

Поскольку всякое поле - область целостности, из «фактор $R/M$ - поле» сразу следует «фактор - область целостности», то есть всякий максимальный идеал прост. Обратное в общем случае неверно: бывают простые, но не максимальные идеалы.

Канонический пример обратного провала - нулевой идеал $(0)$ в $\mathbb{Z}$: он прост (потому что $\mathbb{Z}$ - область целостности), но не максимален (любое $(n)$ с простым $n > 0$ строго больше). Геометрически $(0)$ - это «общая точка» $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$, а максимальные $(p)$ - замкнутые точки.

В коммутативном кольце с единицей включения такие: $\{\text{максимальные}\} \subseteq \{\text{простые}\} \subseteq \{\text{собственные идеалы}\}$. Включения строгие в общем случае: $\mathbb{Z}$ показывает первое, а любое непростое произведение - второе.

Радикал Джекобсона и пересечение максимальных

Пересечение всех максимальных идеалов кольца называется радикалом Джекобсона:

$J(R) = \bigcap_{M \in \mathrm{MaxSpec}(R)} M.$

Эквивалентно: $x \in J(R)$ тогда и только тогда, когда $1 - xy$ обратим в $R$ для всех $y \in R$. В локальном кольце $(R, \mathfrak{m})$ радикал Джекобсона совпадает с $\mathfrak{m}$, и лемма Накаямы становится основным инструментом теории конечно порождённых модулей.

Пересечение всех простых идеалов даёт нильрадикал $\sqrt{0}$ - все нильпотентные элементы. В общем $\sqrt{0} \subseteq J(R)$, и оба совпадают для конечно порождённых $k$-алгебр над полем (кольца Jacobson).

Классические примеры

Где максимальные идеалы реально вычисляются:

• $\mathbb{Z}$: $\mathrm{MaxSpec}(\mathbb{Z}) = \{(p) : p \text{ простое}\}$. Факторы - конечные поля $\mathbb{F}_p$. Идеал $(0)$ - простой, но не максимальный.
• $k[x]$, $k$ алгебраически замкнуто: максимальные идеалы - $(x - a)$ для $a \in k$; фактор $k[x]/(x - a) = k$.
• $k[x_1, \ldots, x_n]$, $k$ алгебраически замкнуто: максимальные идеалы - $(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$ для $(a_1, \ldots, a_n) \in k^n$ (слабая форма Hilbert Nullstellensatz).
• $\mathbb{R}[x]$: максимальны $(x - a)$ и $(x^2 + bx + c)$ с отрицательным дискриминантом; во втором случае фактор - $\mathbb{C}$.
• $k[[x]]$ - формальные степенные ряды: единственный максимальный идеал $(x)$, фактор $= k$. Локальное кольцо.
• Локальное кольцо: по определению - кольцо с ровно одним максимальным идеалом. Примеры: $k[[x_1, \ldots, x_n]]$, локализация $R_\mathfrak{p}$, $p$-адические целые $\mathbb{Z}_p$.

Hilbert Nullstellensatz

Hilbert Nullstellensatz - мост между алгеброй и геометрией. В слабой форме: если $k$ алгебраически замкнуто, то максимальные идеалы $k[x_1, \ldots, x_n]$ - это в точности $\mathfrak{m}_a = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$ для точек $a = (a_1, \ldots, a_n) \in k^n$. Соответствие $a \leftrightarrow \mathfrak{m}_a$ - биекция между $\mathbb{A}^n_k$ и $\mathrm{MaxSpec}(k[x_1, \ldots, x_n])$.

Сильная форма: для произвольного идеала $I \subseteq k[x_1, \ldots, x_n]$ выполнено $I(V(I)) = \sqrt{I}$, где $V(I) \subseteq \mathbb{A}^n_k$ - множество общих нулей. Без условия «$k$ алгебраически замкнуто» Nullstellensatz ломается: над $\mathbb{R}$ идеал $(x^2 + 1) \subset \mathbb{R}[x]$ максимален, но не имеет точки в $\mathbb{R}$ - его «нули» лежат в $\mathbb{C}$.

Спектральная топология MaxSpec

Множество максимальных идеалов $\mathrm{MaxSpec}(R)$ оснащается топологией Зариского: замкнутые множества - $V(I) = \{M : I \subseteq M\}$ для идеалов $I \subseteq R$, открытая база - $D(f) = \{M : f \notin M\}$.

Для $R = k[x_1, \ldots, x_n]$ над алгебраически замкнутым $k$ эта топология переносится по биекции Nullstellensatz на классическую топологию Зариского на $\mathbb{A}^n_k$ - замкнутые множества суть аффинные подмногообразия. Так максимальные идеалы становятся точками, а идеалы - алгебраическими подмножествами.

Расширение картины - полный спектр $\mathrm{Spec}(R)$, состоящий из всех простых идеалов: добавляются «общие точки» неприводимых компонент, что приводит к языку схем Гротендика.

Типовые задачи

Где максимальный идеал кольца обычно фигурирует в учебных задачах:

• Перечислить $\mathrm{MaxSpec}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ - это $\{(p) / n\mathbb{Z} : p \mid n\}$, конечное множество.
• Доказать максимальность $(x^2 + 1) \subset \mathbb{R}[x]$ - через факторкольцо $\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}$.
• Найти все максимальные идеалы в $k[x, y] / (xy)$ - пересечение двух прямых; они отвечают точкам $(a, 0)$ и $(0, b)$.
• Перейти к локальному кольцу $R_M$ по максимальному идеалу - стандартный приём анализа в окрестности точки через локализацию кольца.
• Применить лемму Накаямы в локальном кольце $(R, M)$ к конечно порождённому модулю.

Частые ошибки

• Считают, что максимальный идеал - это «самый большой» идеал. На самом деле он максимален среди собственных. Само $R$ всегда строго больше, но его не учитывают.
• Путают максимальность и простоту. Всякий максимальный прост, но обратное неверно: $(0) \subset \mathbb{Z}$ - простой, но не максимальный.
• Применяют Hilbert Nullstellensatz без алгебраической замкнутости. Биекция точек $k^n$ и максимальных идеалов требует условия «$k$ алгебраически замкнуто». В $\mathbb{R}[x]$ есть максимальные идеалы без точки в $\mathbb{R}$.
• Забывают, что $R = 0$ - особый случай. В нулевом кольце нет максимальных идеалов; формулировки про «всякое кольцо имеет максимальный идеал» подразумевают $R \ne 0$.
• Считают, что у $\mathbb{Z}[x]$ максимальные идеалы - это $(x - a)$. Нет: $(x - a)$ в $\mathbb{Z}[x]$ - простой идеал, но факторкольцо $\mathbb{Z}[x]/(x - a) = \mathbb{Z}$ - не поле. Максимальные идеалы $\mathbb{Z}[x]$ - это $(p, f(x))$ для простого $p$ и многочлена $f$, неприводимого по модулю $p$.

FAQ

Почему именно $R/M$ - поле, а не просто область целостности? Условие «область целостности» соответствует простому идеалу, а максимальный - это сильнее. Геометрически область отвечает неприводимому замкнутому подмножеству, поле - точке. Максимальный идеал «сжимает» $R$ до одной точки спектра, и эта точка алгебраически есть поле вычетов.

Всякое ли коммутативное кольцо имеет максимальный идеал? Да - любое ненулевое коммутативное кольцо с единицей. Доказывается леммой Цорна: множество собственных идеалов непусто, цепи имеют верхней гранью объединение, которое тоже собственно. Без единицы или без аксиомы выбора утверждение в общем случае ломается.

Чем $\mathrm{MaxSpec}$ отличается от $\mathrm{Spec}$? $\mathrm{MaxSpec}(R)$ - множество максимальных идеалов, $\mathrm{Spec}(R)$ - всех простых. Включение $\mathrm{MaxSpec} \subseteq \mathrm{Spec}$ может быть строгим: для $\mathbb{Z}$ добавляется общая точка $(0)$. Классическая геометрия работает на $\mathrm{MaxSpec}$, теория схем - на полном $\mathrm{Spec}$.

Коротко

Максимальный идеал кольца $M \subsetneq R$ - это собственный идеал, не вкладывающийся ни в какой строго больший собственный. Эквивалентная характеризация: $R/M$ - поле. Всякое ненулевое коммутативное кольцо с единицей содержит максимальный идеал (лемма Цорна), и всякий максимальный идеал прост, но не наоборот. Пересечение всех максимальных идеалов даёт радикал Джекобсона. Классические примеры - $(p) \subset \mathbb{Z}$, $(x - a) \subset k[x]$ для $a \in k$ и $(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \subset k[x_1, \ldots, x_n]$ для алгебраически замкнутого $k$ (Hilbert Nullstellensatz). Множество $\mathrm{MaxSpec}(R)$ с топологией Зариского - геометрическая модель аффинных многообразий и точка входа в алгебраическую геометрию.