Проективный модуль: определения, свойства, K-теория

В коммутативной и гомологической алгебре проективный модуль - это $R$-модуль $P$, для которого функтор $\mathrm{Hom}(P, -)$ сохраняет точность, или, что то же самое, через который любая сюръекция «расщепляется». Свободные модули - самый простой пример, но не единственный: проективных модулей обычно больше, и именно зазор между «проективным» и «свободным» оказывается интереснее всего. Этот зазор измеряет группа $K_0(R)$, а геометрически - пространство классов векторных пучков на $\mathrm{Spec}(R)$.

Определение через универсальное свойство

Базовое определение проективного модуля формулируется через подъём (lifting). Модуль $P$ называется проективным, если для любой сюръекции $R$-модулей $\pi: M \twoheadrightarrow N$ и любого гомоморфизма $f: P \to N$ существует гомоморфизм $\tilde f: P \to M$ с $\pi \circ \tilde f = f$. Диаграмма выглядит так: внизу - заданный треугольник $P \xrightarrow{f} N$ и $M \xrightarrow{\pi} N$, и через $P$ можно «поднять» $f$ до $M$, не теряя коммутативности.

Свойство кажется техническим, но именно оно делает $P$ удобным для всех вопросов, где важна точность. Если $0 \to K \to M \to N \to 0$ - короткая точная последовательность, то применить к ней $\mathrm{Hom}(P, -)$ - значит спросить, остаётся ли последовательность $0 \to \mathrm{Hom}(P, K) \to \mathrm{Hom}(P, M) \to \mathrm{Hom}(P, N) \to 0$ точной справа. Проективность $P$ - ровно условие, что да, остаётся.

Эквивалентные определения

Проективность можно охарактеризовать тремя эквивалентными способами, и для практики удобно держать все три в голове.

• Прямое слагаемое свободного. $P$ проективен тогда и только тогда, когда найдётся свободный модуль $F$ и модуль $Q$ с $F \cong P \oplus Q$. То есть $P$ - это «кусок» какого-то свободного модуля.
• Расщепление сюръекции на $P$. Для любой короткой точной последовательности $0 \to K \to F \to P \to 0$ существует сечение $s: P \to F$ с $\pi \circ s = \mathrm{id}_P$. Эквивалентно - $F \cong K \oplus P$.
• Точность $\mathrm{Hom}(P, -)$. Функтор $\mathrm{Hom}_R(P, -)$ точен, то есть переводит точные последовательности в точные.

Все три условия эквивалентны над любым кольцом с единицей. Третье - гомологическое: оно говорит, что $P$ имеет проективную размерность $0$ и $\mathrm{Ext}^n(P, -) = 0$ для всех $n \ge 1$.

Чтобы потрогать проективность руками - выберите кольцо и вопрос, и инструмент соберёт разбор через подходящее определение, локализацию и связь с $K_0$.

Классические свойства

Над любым кольцом верна иерархия

$\text{свободные} \;\subset\; \text{проективные} \;\subset\; \text{плоские}.$

Первое включение - определение «прямое слагаемое свободного». Второе требует чуть больше: проективный модуль $P$ - прямое слагаемое свободного $F$, а $F$ заведомо плосок, и плоскость наследуется на прямые слагаемые. Обратные включения в общем случае не выполнены: бывают плоские, но не проективные модули (например, $\mathbb{Q}$ как $\mathbb{Z}$-модуль), и бывают проективные, но не свободные модули (классический пример ниже).

Другие полезные свойства:

• Прямая сумма проективных проективна; прямое слагаемое проективного проективно.
• Конечно порождённый проективный модуль над нётеровым кольцом (например, над $k[x_1, \ldots, x_n]$ по теореме Гильберта о базисе) конечно представим.
• $\mathrm{Tor}_n^R(P, -) = 0$ для всех $n \ge 1$, так как $P$ плосок.
• Локализация проективного модуля проективна над локализацией кольца: $S^{-1}P$ - проективный $S^{-1}R$-модуль.

Зависимость от типа кольца

Граница «проективен = свободен» зависит от кольца, и это самый содержательный сюжет:

• PID и поля. Над областью главных идеалов любой проективный модуль свободен. В частности, над $\mathbb{Z}$ или $k[x]$ нет «лишних» проективных модулей: всё, что проективно, - это просто $R^n$. Доказательство опирается на структурную теорему о конечно порождённых модулях над PID.
• Локальные кольца. Над локальным кольцом $(R, \mathfrak{m})$ с единственным максимальным идеалом теорема Капланского гарантирует: любой проективный модуль (даже не конечно порождённый) свободен. Локально проективное - это локально свободное.
• Дедекиндовы кольца. В кольце целых $\mathcal{O}_K$ числового поля $K$ проективные модули - это в точности дробные идеалы $I \subset K$, и неглавные идеалы дают неcвободные проективные модули. Группа классов идеалов $\mathrm{Cl}(\mathcal{O}_K)$ - мера «непроективной неcвободности».
• Групповые кольца $\mathbb{Z}[G]$. Здесь категория проективных модулей особенно богата: топологический интерес связан с инвариантами Уайтхеда $K_1(\mathbb{Z}[G])$ и кручением Райдемайстера; конечно порождённые проективные модули над $\mathbb{Z}[G]$ редко свободны.
• Многочленные кольца. Самый знаменитый сюжет.

Теорема Quillen-Suslin (гипотеза Серра)

В 1955 году Жан-Пьер Серр спросил: верно ли, что любой конечно порождённый проективный модуль над кольцом многочленов $k[x_1, \ldots, x_n]$ (где $k$ - поле) свободен? Геометрически это вопрос о том, тривиален ли любой алгебраический векторный пучок над аффинным пространством $\mathbb{A}^n_k$.

Гипотеза оставалась открытой два десятилетия. В 1976 году её независимо доказали Дэниел Квиллен и Андрей Суслин, и теорема получила название Quillen-Suslin: над $k[x_1, \ldots, x_n]$ любой конечно порождённый проективный модуль свободен. Доказательство Суслина - индукция по $n$ с локализацией на каждом шаге; Квиллен использовал «patching» - склейку из локальных тривиализаций.

Без поля результат уже неверен: над $\mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_n]$ открытым долго оставался аналогичный вопрос, частично закрытый. А над неполиномиальными кольцами проективные модули и подавно бывают несвободны.

Связь с алгебраической K-теорией

Алгебраическая K-теория начинается ровно с проективных модулей. Группа $K_0(R)$ определяется как группа Гротендика моноида классов изоморфизма конечно порождённых проективных $R$-модулей по операции прямой суммы:

$K_0(R) = \mathbb{Z}\langle [P] : P \text{ конечно порождённый проективный} \rangle \big/ \langle [P \oplus Q] - [P] - [Q] \rangle.$

Для поля $k$ имеем $K_0(k) = \mathbb{Z}$ (рангом по размерности). Для PID - тоже $\mathbb{Z}$ по теореме о структуре. Для дедекиндова кольца $\mathcal{O}_K$ получается $K_0(\mathcal{O}_K) = \mathbb{Z} \oplus \mathrm{Cl}(\mathcal{O}_K)$ - ранг плюс класс. Для общих колец $K_0$ может быть весьма нетривиальной, и именно её отличие от тривиальной $\mathbb{Z}$ измеряет «непроективную сложность».

Векторные пучки и теорема Серра-Свана

Геометрическая параллель прямая. Для компактного хаусдорфова пространства $X$ и кольца непрерывных функций $C(X)$ конечно порождённые проективные $C(X)$-модули в точности соответствуют векторным расслоениям над $X$ - это содержание теоремы Серра-Свана (1962). Аналог в алгебраической геометрии: проективные модули над $R$ - это локально свободные пучки $\mathcal{O}_X$-модулей на $\mathrm{Spec}(R)$, то есть алгебраические векторные пучки.

Так Quillen-Suslin принимает вид: «любой алгебраический векторный пучок над $\mathbb{A}^n_k$ тривиален» - что любопытно, потому что в топологической категории $\mathbb{R}^n$ это так очевидно, а в алгебраической - глубоко.

Типовые задачи

Где проективные модули встречаются в учебной практике:

• Проверить проективность идеала $I$ в дедекиндовом кольце - он проективен тогда и только тогда, когда дробен, и свободен тогда и только тогда, когда главен.
• Вычислить $K_0$ для конкретного кольца ($\mathbb{Z}$, $k$, $k[x]$, $\mathcal{O}_K$).
• Построить нетривиальный проективный, но не свободный модуль над $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ через идеал $(2, 1+\sqrt{-5})$.
• Показать, что $\mathbb{Z}/2$ как $\mathbb{Z}$-модуль не проективен (сюръекция $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2$ не имеет сечения).
• Использовать $\mathrm{Hom}(P, -)$-точность для построения проективных резольвент и вычисления $\mathrm{Ext}$.

Частые ошибки

• Считают, что «проективен ⟺ свободен» всегда. Это верно над PID и над локальными кольцами, но в общем случае - нет. Идеал $(2, 1+\sqrt{-5})$ в $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ - проективен (как дробный идеал), но не свободен.
• Путают проективность и плоскость. Всякий проективный плосок, но обратное неверно: $\mathbb{Q}$ как $\mathbb{Z}$-модуль плосок, но не проективен.
• Применяют Quillen-Suslin без условия «поле». Теорема работает только для $k[x_1, \ldots, x_n]$ с $k$ - полем. Над $\mathbb{Z}[x]$ ситуация тоньше.
• Забывают про конечную порождённость в $K_0$. $K_0(R)$ строится по конечно порождённым проективным, а не по всем; для всех проективных получаются другие группы (или $0$ по теореме Эйленберга).
• Считают, что $\mathrm{Hom}(P, -)$ всегда точен. Только для проективных $P$. В общем случае функтор лишь левоточен - теряет точность справа.

FAQ

В чём разница между проективным и свободным модулем? Свободный модуль $F = R^I$ - это прямая сумма копий $R$, базис существует и однозначен (для нётеровых колец). Проективный модуль $P$ - лишь прямое слагаемое свободного: $F = P \oplus Q$. Над PID или локальным кольцом эти классы совпадают, но в общем случае проективных строго больше - и именно эта разница важна для $K_0$ и алгебраической геометрии.

Зачем вообще нужны проективные модули, если есть свободные? Потому что в гомологической алгебре требуется свойство «$\mathrm{Hom}(P, -)$ точен», и оно характеризует именно проективные, а не свободные. Проективные резольвенты - основной инструмент вычисления $\mathrm{Ext}$ и $\mathrm{Tor}$; их существование гарантировано в любой категории модулей. Свободных резольвент тоже хватало бы, но проективные часто короче и удобнее.

Что говорит теорема Серра-Свана о пучках? Над компактом $X$ функтор «взять модуль глобальных сечений» даёт эквивалентность категории комплексных векторных расслоений на $X$ и категории конечно порождённых проективных модулей над $C(X)$. То есть проективные модули - это алгебраический способ говорить о векторных пучках. Аналог в алгеброгеометрической категории - соответствие проективных модулей над $R$ и локально свободных пучков на $\mathrm{Spec}(R)$.

Коротко

Проективный модуль $P$ над кольцом $R$ - это модуль, через который любая сюръекция расщепляется, или эквивалентно - прямое слагаемое свободного, или такой, для которого $\mathrm{Hom}(P, -)$ точен. Над PID, полем или локальным кольцом проективные модули совпадают со свободными; теорема Quillen-Suslin (1976) распространяет это на $k[x_1, \ldots, x_n]$ для поля $k$. Над дедекиндовыми кольцами и групповыми кольцами проективные модули обычно строго богаче свободных, и эта разница измеряется группой $K_0(R)$ в алгебраической K-теории. Геометрически проективные модули - это сечения векторных пучков на $\mathrm{Spec}(R)$ по теореме Серра-Свана.