Сопряжённые функторы: биекция Hom, единица и примеры

Сопряжённость функторов - одна из самых ёмких конструкций в теории категорий. Идея проста и при этом охватывает огромный пласт алгебры, топологии и логики: два функтора $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ и $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ называются сопряжёнными ($F$ слева, $G$ справа, записывается $F \dashv G$), если есть естественная биекция $\text{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, Y) \cong \text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GY)$ для любых $X \in \mathcal{C}$, $Y \in \mathcal{D}$. Эта формула, на первый взгляд техническая, прячет в себе универсальные свойства, конструкции свободных объектов, тензор-Hom двойственность, связь с монадами и теорему о существовании сопряжённого. Дальше - аккуратно по каждому пункту.

Определение через изоморфизм Hom-наборов

Пусть даны категории $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ и функторы $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$. Сопряжённость $F \dashv G$ - это семейство биекций

$$\varphi_{X, Y}: \text{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, Y) \xrightarrow{\sim} \text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GY),$$

естественное по $X \in \mathcal{C}$ и по $Y \in \mathcal{D}$. Естественность по $X$ означает: для любой стрелки $f: X' \to X$ и любого $g: FX \to Y$ имеем $\varphi(g) \circ f = \varphi(g \circ F(f))$. Естественность по $Y$ - симметрично через $G$ и постcомпозицию. Содержательно: стрелки в $\mathcal{D}$ из «свободного» объекта $FX$ - это то же самое, что и стрелки в $\mathcal{C}$ из $X$ в «забытый» объект $GY$. Слово «левый» относится к $F$ - он стоит слева от знака $\dashv$ и слева внутри $\text{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, Y)$.

Если хочешь приложить определение к конкретной паре - выбери её ниже, и в чате аккуратно выпишем биекцию hom-наборов, единицу с коединицей и проверим треугольные тождества.

Единица и коединица

Сопряжённость эквивалентно задаётся двумя естественными преобразованиями. Единица - это $\eta: \text{Id}_{\mathcal{C}} \to G F$, её компонента $\eta_X: X \to GFX$ соответствует тождеству $\text{id}_{FX}: FX \to FX$ через биекцию $\varphi_{X, FX}$. Коединица - это $\varepsilon: F G \to \text{Id}_{\mathcal{D}}$, и $\varepsilon_Y: FGY \to Y$ соответствует тождеству $\text{id}_{GY}: GY \to GY$ через обратную биекцию $\varphi^{-1}_{GY, Y}$. Через $\eta$ и $\varepsilon$ исходная биекция восстанавливается: для $g: FX \to Y$ имеем $\varphi(g) = G(g) \circ \eta_X$, а для $h: X \to GY$ - обратно $\varphi^{-1}(h) = \varepsilon_Y \circ F(h)$.

Это даёт второй, эквивалентный способ определить сопряжённость: пара $(F, G)$ вместе с естественными $\eta, \varepsilon$, удовлетворяющими двум тождествам.

Треугольные тождества (snake identity)

Чтобы $\eta$ и $\varepsilon$ действительно задавали сопряжённость, они обязаны удовлетворять двум треугольным тождествам, иначе ещё их называют snake identity:

$$\varepsilon_{F X} \circ F(\eta_X) = \text{id}_{F X}, \qquad G(\varepsilon_Y) \circ \eta_{G Y} = \text{id}_{G Y}.$$

В диаграммах эти равенства выглядят как два треугольника - отсюда и название. Содержательно: применив $F$ к единице и затем коединицу - получаем тождество; то же симметрично для $G$. Это аналог гомотопических условий: $\eta$ и $\varepsilon$ «компенсируют» друг друга при правильном их применении. Любая пара $(\eta, \varepsilon)$, удовлетворяющая обоим тождествам, даёт сопряжённость - и наоборот, всякая сопряжённость через биекцию $\varphi$ порождает такие $\eta$ и $\varepsilon$.

Классические примеры

Свободная группа и забывающий функтор. $F: \text{Set} \to \text{Grp}$ строит свободную группу на множестве $X$; $G = U: \text{Grp} \to \text{Set}$ забывает структуру. Тогда $F \dashv U$, и биекция

$$\text{Hom}_{\text{Grp}}(F X, H) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(X, U H)$$

• это в точности универсальное свойство свободной группы: гомоморфизм из свободной группы на $X$ - то же, что отображение $X$ в множество элементов $H$. Единица $\eta_X: X \to U F X$ - вложение порождающих в свободную группу.

Тензор и Hom. В категории модулей над коммутативным кольцом $R$ для фиксированного $A$ имеем $- \otimes_R A \dashv \text{Hom}_R(A, -)$:

$$\text{Hom}_R(M \otimes_R A, N) \cong \text{Hom}_R(M, \text{Hom}_R(A, N)).$$

Это «карринг» в алгебраическом виде. Аналогичная пара в категории абелевых групп - основа гомологической алгебры: точность тензора слева и точность Hom справа - следствие именно этой сопряжённости.

Абелианизация. $\text{ab}: \text{Grp} \to \text{Ab}$, $G \mapsto G^{\text{ab}} = G/[G, G]$, сопряжён слева к включению $U: \text{Ab} \hookrightarrow \text{Grp}$: $\text{Hom}_{\text{Ab}}(G^{\text{ab}}, A) \cong \text{Hom}_{\text{Grp}}(G, A)$. То же построение работает для коммутатора в кольце, для приведения по идеалу, для частного по эквивалентности.

Экспонента в декартово замкнутой категории. Если $\mathcal{C}$ декартово замкнута, то $- \times A \dashv \text{Hom}(A, -)$: $\text{Hom}(X \times A, Y) \cong \text{Hom}(X, \text{Hom}(A, Y))$. В $\text{Set}$ это карринг функций; в категории топологических пространств - только для $k$-пространств или CGWH, что делает их рабочей средой для homotopy theory.

Сохранение пределов и колимитов

Сопряжённость накладывает жёсткие ограничения на функторы. Базовый факт: правый сопряжённый сохраняет пределы, а левый сопряжённый сохраняет колимиты. Сокращённо - RAPL и LAPC. Пример: если $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ - правый сопряжённый, то $G$ сохраняет произведения, эквалайзеры, обратные пределы. Если $F$ - левый, то он сохраняет копроизведения, коэквалайзеры, прямые пределы.

Доказательство одностраничное. Возьмём предел $\lim_i Y_i$ в $\mathcal{D}$ и проверим, что $G(\lim_i Y_i) \cong \lim_i G Y_i$ через универсальное свойство: $\text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, G(\lim_i Y_i)) \cong \text{Hom}_{\mathcal{D}}(F X, \lim_i Y_i) \cong \lim_i \text{Hom}_{\mathcal{D}}(F X, Y_i) \cong \lim_i \text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, G Y_i) \cong \text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, \lim_i G Y_i)$. Лемма Йонеды добивает изоморфизм объектов из изоморфизма hom-функторов.

Практический вывод: если функтор не сохраняет, скажем, копроизведения - он не может быть левым сопряжённым ни к чему. Это удобный быстрый тест.

Теорема Адамса (RAFT) о существовании сопряжённого

Когда у функтора есть сопряжённый? Полный ответ даёт теорема Фрейда о сопряжённом функторе (General Adjoint Functor Theorem, иногда называется по Адамсу - RAFT, Right Adjoint Functor Theorem). Формулировка: пусть $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ - функтор между полными локально малыми категориями. Тогда $G$ имеет левого сопряжённого тогда и только тогда, когда $G$ сохраняет все малые пределы и удовлетворяет условию solution set: для каждого $X \in \mathcal{C}$ существует множество $\{ f_i: X \to G Y_i \}$ такое, что любой морфизм $X \to G Y$ пропускается через какой-то $f_i$.

Условие solution set отделяет реальные сопряжённости от парадоксов теории классов. Особый случай - Special Adjoint Functor Theorem: для копорождённых, ко-хорошо-степенированных категорий solution set выполнен автоматически, и сохранения пределов достаточно.

Применения: монады из сопряжённости и эквивалентность категорий

Монады. Любая сопряжённость $F \dashv G$ порождает монаду на $\mathcal{C}$: эндофунктор $T = G F$, единица - та же $\eta$, умножение $\mu = G \varepsilon F$. Аксиомы монады - следствия треугольных тождеств. Обратно, каждая монада приходит из некоторой сопряжённости: подойдёт категория алгебр Эйленберга–Мура либо свободных алгебр Клейсли. Так получаются монада списков из $F \dashv U$ для $\text{Set} \to \text{Mon}$, монада абелианизации и многие другие.

Эквивалентность категорий. Если в сопряжённости $F \dashv G$ единица $\eta$ и коединица $\varepsilon$ - изоморфизмы, то $F$ и $G$ задают эквивалентность $\mathcal{C} \simeq \mathcal{D}$. Это самая сильная форма сопряжённости. Многие классические эквивалентности (Стоун: булевы алгебры и компактные тотально несвязные пространства; Гельфанд: коммутативные $C^*$-алгебры и компактные хаусдорфовы пространства; алгебра Ли против односвязной группы Ли) получают однородную формулировку именно через язык сопряжённости.

Частые ошибки

• Путать стороны. $F$ - левый сопряжённый, $G$ - правый. В формуле $\text{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, Y) \cong \text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GY)$ левый функтор стоит слева внутри Hom, и сама сопряжённость записывается $F \dashv G$. Если перепутать, получится не существующая в общем случае пара $G \dashv F$.
• Считать, что у каждого функтора есть сопряжённый. Часто нет. Например, у произвольного забывающего функтора правый сопряжённый существует не всегда; у вложения $\text{Top} \hookrightarrow \text{Set}$ оба сопряжённых есть, а у вложения категории Хаусдорфовых пространств в $\text{Top}$ - только левый (это «хаусдорфизация»).
• Забывать естественность. Биекция $\varphi$ должна быть естественна по обоим аргументам. Просто биекция множеств без условий коммутативности с морфизмами не задаёт сопряжённости.
• Игнорировать треугольные тождества. Пара $(F, G, \eta, \varepsilon)$ без проверки snake identity - не сопряжённость, а только намёк на неё.
• Думать, что сохранение пределов - достаточное условие. Без solution set теорема о сопряжённом функторе не работает; есть функторы, сохраняющие все пределы, но не имеющие левого сопряжённого по теоретико-множественным причинам.

FAQ

Чем сопряжённость отличается от эквивалентности категорий? Эквивалентность сильнее: это сопряжённость, в которой $\eta$ и $\varepsilon$ - изоморфизмы. Сопряжённость лишь требует биекции hom-наборов; объекты $X$ и $G F X$ могут существенно различаться. Все эквивалентности - сопряжённости, обратное неверно.

Зачем нужна вторая формулировка через единицу и коединицу, если есть биекция Hom? Формулировка через $\eta, \varepsilon$ удобнее для построения и проверки. Часто $\eta$ или $\varepsilon$ имеют конкретное описание (вложение порождающих в свободный объект, эпиморфизм факторизации) - и через них быстрее строить конкретные изоморфизмы биекции. К тому же snake identity - это локальная проверка, не требующая бухгалтерии по всем парам $X, Y$.

Как связаны сопряжённость и универсальные свойства? Каждое универсальное свойство - это утверждение о представимости некоторого функтора, и часто эта представимость даёт левого или правого сопряжённого. Свободные объекты - это значения левого сопряжённого к забывающему функтору. Произведение - значение правого сопряжённого к диагональному функтору. Через сопряжённость универсальные конструкции получают единый язык.

Коротко

Сопряжённые функторы $F \dashv G$ - это пара функторов с естественной биекцией $\text{Hom}_{\mathcal{D}}(F X, Y) \cong \text{Hom}_{\mathcal{C}}(X, G Y)$, эквивалентно - с единицей $\eta: \text{Id}_{\mathcal{C}} \to G F$, коединицей $\varepsilon: F G \to \text{Id}_{\mathcal{D}}$ и двумя треугольными тождествами. Левый сопряжённый сохраняет колимиты, правый - пределы. Классические примеры - свободная группа и забывающий, тензор и Hom, абелианизация, экспоненциальный объект в декартово замкнутых категориях. Из сопряжённости получается монада на $\mathcal{C}$, а в особо удачном случае - эквивалентность категорий. Теорема Фрейда (RAFT) сводит существование сопряжённого к сохранению пределов и условию solution set, давая универсальный инструмент диагностики.