Критерий Эйзенштейна: неприводимость многочлена над Q

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами нельзя разложить на множители меньшей степени над полем рациональных чисел, обычно тяжело: вариантов разложения бесконечно много, перебирать их вручную нереально. Критерий Эйзенштейна закрывает эту задачу одним простым числом: если для подходящего $p$ выполнены три арифметических условия, многочлен заведомо неприводим над $\mathbb{Q}$. Ниже разберём, как этот признак устроен, почему он работает и как его применять, когда напрямую он не срабатывает. Соберите свой многочлен в форме ниже и получите готовый разбор по шагам.

Что утверждает критерий Эйзенштейна

Пусть дан многочлен с целыми коэффициентами

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0.$$

Критерий Эйзенштейна о неприводимости многочлена формулируется так. Если существует простое число $p$, для которого выполнены три условия:

$$\begin{aligned} &1)\ p \nmid a_n \quad (\text{старший коэффициент не делится на } p),\\ &2)\ p \mid a_k \ \text{для всех } k = 0, 1, \dots, n-1,\\ &3)\ p^2 \nmid a_0 \quad (\text{свободный член не делится на } p^2), \end{aligned}$$

то $f(x)$ неприводим над полем $\mathbb{Q}$. Иными словами, его нельзя представить как произведение двух многочленов положительной степени с рациональными коэффициентами.

Удобство в том, что проверка чисто арифметическая: берём одно простое число и смотрим делимость коэффициентов. Никакого перебора множителей не нужно.

Рассчитать для своей задачи

Почему три условия дают неприводимость

Понять логику признака помогает рассуждение от противного. Предположим, что $f(x)$ всё-таки раскладывается на два множителя положительной степени. По лемме Гаусса достаточно искать разложение в целых коэффициентах:

$$f(x) = \left( b_r x^r + \dots + b_0 \right)\left( c_s x^s + \dots + c_0 \right).$$

Перемножим и посмотрим на коэффициенты по модулю $p$. Свободный член $a_0 = b_0 c_0$ делится на $p$, но не на $p^2$. Значит, ровно один из $b_0, c_0$ делится на $p$, а второй нет, скажем, $p \mid b_0$, но $p \nmid c_0$.

Дальше идём вверх по коэффициентам произведения и видим, что на $p$ обязаны делиться все $b_i$ вплоть до старшего. Тогда на $p$ делится и старший коэффициент $a_n = b_r c_s$, а это противоречит первому условию. Получили противоречие, значит, разложения нет. Эта связка делимостей и есть суть критерия: простое число $p$ как бы протискивается сквозь все коэффициенты, кроме старшего, и блокирует любое нетривиальное разложение.

Близкая по духу идея используется при работе с минимальным многочленом: неприводимый над $\mathbb{Q}$ многочлен ровно потому и является минимальным для своего корня, что его нельзя разбить на множители (подробнее в статье про минимальный многочлен элемента поля).

Как выбрать простое число p

Простое $p$ не дано заранее, его нужно угадать по коэффициентам. Практический порядок такой:

1. Выпишите свободный член $a_0$ и старший коэффициент $a_n$.
2. Разложите $a_0$ на простые множители. Кандидаты в $p$ ищите среди этих простых.
3. Для каждого кандидата проверьте, что $p$ делит все младшие коэффициенты и не делит старший.
4. Отдельно убедитесь, что $p^2$ не делит свободный член.

Например, для $f(x) = x^4 + 3x^2 + 3$ свободный член равен $3$. Единственный кандидат, простое $p = 3$: оно не делит старший коэффициент $1$, делит все младшие ($3$ и $3$, а коэффициенты при $x^3$ и $x$ равны нулю и делятся на что угодно), и $9$ не делит $3$. Все три условия выполнены, многочлен неприводим над $\mathbb{Q}$.

Когда нужен сдвиг переменной

Бывает, что напрямую критерий не работает ни при одном $p$, но многочлен всё равно неприводим. Тогда выручает подстановка $x \to x + c$ для подходящего целого $c$ (чаще всего $c = 1$). Неприводимость при этом сохраняется: если $f(x + c)$ нельзя разложить, то и $f(x)$ нельзя, ведь замена обратима.

Классический пример, многочлен деления круга

$$\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$$

К нему критерий напрямую неприменим. Но подстановка $x \to x + 1$ даёт

$$\Phi_5(x+1) = x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 10x + 5,$$

и здесь работает $p = 5$: старший коэффициент $1$ на $5$ не делится, остальные ($5, 10, 10, 5$) делятся, а $25$ не делит свободный член $5$. Значит, $\Phi_5(x+1)$ неприводим, а с ним и $\Phi_5(x)$.

Рассчитать для своей задачи

Та же техника решает $f(x) = x^4 + 1$: подстановка $x \to x + 1$ приводит к $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 2$, где срабатывает $p = 2$.

Что значит, когда критерий молчит

Важная и часто упускаемая деталь: критерий Эйзенштейна это достаточное, но не необходимое условие. Если признак не сработал ни при каком $p$ и ни при каком сдвиге, нельзя делать вывод, что многочлен разложим. Признак просто молчит, и нужен другой инструмент.

Что использовать вместо него:

• Редукция по модулю простого $p$: если $f(x)$ остаётся той же степени и неприводим над полем вычетов $\mathbb{F}_p$, то он неприводим и над $\mathbb{Q}$.
• Поиск рациональных корней по теореме о целых корнях (для проверки многочленов степени 2 и 3 наличие корня сразу означает разложимость).
• Прямой разбор на возможные множители для небольших степеней.

То есть неудача критерия Эйзенштейна это сигнал сменить метод, а не приговор многочлену.

Связь с многочленами деления круга

Критерий особенно красиво работает для $\Phi_p(x)$, где $p$ простое: это многочлен степени $p - 1$ со всеми коэффициентами, равными единице. Сдвиг $x \to x + 1$ превращает его в многочлен, к которому критерий применим напрямую с тем же простым $p$, потому что биномиальные коэффициенты в середине делятся на $p$, а старший остаётся равным единице. Так доказывается классический факт: многочлен деления круга простого порядка неприводим над $\mathbb{Q}$. Этот результат лежит в основе теории расширений полей и теории Галуа.

Частые ошибки

• Проверяют только делимость, забывая про $p^2$. Третье условие $p^2 \nmid a_0$ обязательно: без него вывод неверен. Например, при $f(x) = x^2 + 2x + 4$ и $p = 2$ свободный член $4$ делится на $4$, критерий неприменим.
• Берут составное число вместо простого. $p$ должно быть именно простым: для $p = 4$ или $p = 6$ рассуждение от противного ломается.
• Из неудачи делают вывод о разложимости. Молчание критерия ничего не доказывает, нужен другой метод (редукция, корни).
• Забывают про сдвиг. Многие неприводимые многочлены поддаются критерию только после подстановки $x \to x + c$.
• Путают старший и свободный коэффициенты. На $p$ не должен делиться именно старший коэффициент, а на $p^2$ именно свободный член.

FAQ

Можно ли по критерию Эйзенштейна доказать разложимость многочлена? Нет. Критерий устанавливает только неприводимость. Если он не сработал, это не значит, что многочлен разложим: возможно, просто нет подходящего простого числа, хотя многочлен неприводим. Для доказательства разложимости ищут конкретное разложение или рациональный корень.

Над какими полями работает критерий? В стандартной формулировке речь о неприводимости над $\mathbb{Q}$ для многочлена с целыми коэффициентами. Есть обобщения на многочлены над факториальными кольцами с простым элементом вместо простого числа, но базовый случай это многочлены с целыми коэффициентами над полем рациональных чисел.

Как понять, какой сдвиг x to x + c пробовать? Чаще всего достаточно $c = 1$ или $c = -1$. Если не помогло, перебирают небольшие целые $c$ и смотрят, не появится ли простое $p$, делящее все младшие коэффициенты сдвинутого многочлена. Для многочленов деления круга простого порядка $c = 1$ работает всегда.

Коротко

Критерий Эйзенштейна доказывает неприводимость многочлена над $\mathbb{Q}$ через одно простое число $p$: оно не делит старший коэффициент, делит все младшие и не делит свободный член в квадрате. Если напрямую не вышло, помогает сдвиг $x \to x + c$, сохраняющий неприводимость. Признак достаточный, но не необходимый: его молчание не означает разложимости, и тогда переходят к редукции по модулю $p$ или поиску корней.