Минимальный многочлен элемента поля: что это

Если число $\sqrt{2}$ удовлетворяет уравнению $x^2 - 2 = 0$, то этот многочлен в каком-то смысле самый простой среди всех, обнуляющихся на $\sqrt{2}$: степени ниже у такого многочлена быть не может, ведь $\sqrt{2}$ иррационально. Именно эту идею формализует минимальный многочлен элемента поля - единственный нормированный многочлен наименьшей степени, который обращается в ноль на данном элементе и при этом неприводим над основным полем. Он несёт всю алгебраическую информацию об элементе: его степень равна степени расширения, его корни - сопряжённые элементы, а его неприводимость - тот стержень, на котором держится вся теория Галуа. Ниже разберём строгое определение, ключевые свойства, рабочий алгоритм поиска и места, где чаще всего ошибаются. Чтобы сразу получить разбор под свой элемент, соберите запрос в форме ниже.

Определение минимального многочлена

Пусть $K$ - поле, а $L$ - его расширение, и пусть $\alpha \in L$. Элемент $\alpha$ называется алгебраическим над $K$, если существует ненулевой многочлен $f(x) \in K[x]$ такой, что $f(\alpha) = 0$. Среди всех таких многочленов есть один выделенный.

Минимальный многочлен элемента $\alpha$ над полем $K$ - это нормированный (со старшим коэффициентом $1$) многочлен $m_\alpha(x) \in K[x]$ наименьшей степени, для которого $m_\alpha(\alpha) = 0$. Обозначают его обычно $m_\alpha(x)$ или $\mathrm{Irr}(\alpha, K)$.

Три слова в этом определении несут всю нагрузку. Нормированность фиксирует масштаб: без неё минимальных многочленов было бы бесконечно много (любой можно домножить на ненулевую константу). Наименьшая степень отбрасывает все избыточные множители. А неприводимость, как мы увидим, вытекает из минимальности автоматически.

Рассчитать для своей задачи

Если же ни один ненулевой многочлен над $K$ не зануляется на $\alpha$, элемент называют трансцендентным, и минимального многочлена у него нет. Классические примеры трансцендентных чисел над $\mathbb{Q}$ - это $\pi$ и $e$.

Существование и единственность

Почему такой многочлен вообще один? Ответ даёт деление с остатком. Множество всех многочленов из $K[x]$, обнуляющихся на $\alpha$, образует идеал в кольце $K[x]$. А кольцо многочленов над полем - область главных идеалов: каждый идеал порождается одним многочленом. Этот порождающий, нормированный, и есть минимальный многочлен.

Отсюда следует фундаментальное свойство: если произвольный многочлен $f(x) \in K[x]$ удовлетворяет $f(\alpha) = 0$, то $m_\alpha(x)$ делит $f(x)$ нацело. Никакой другой многочлен меньшей степени уже не обнулится на $\alpha$, а любой обнуляющийся обязан содержать $m_\alpha$ как множитель. Это превращает проверку «обнуляется ли $f$ на $\alpha$» в проверку делимости на минимальный многочлен.

Неприводимость как ключевое свойство

Минимальный многочлен всегда неприводим над $K$. Доказательство короткое и поучительное: предположим противное, пусть $m_\alpha(x) = g(x) \cdot h(x)$ с многочленами меньшей степени. Тогда $0 = m_\alpha(\alpha) = g(\alpha) \cdot h(\alpha)$, а раз $L$ - поле и в нём нет делителей нуля, то $g(\alpha) = 0$ либо $h(\alpha) = 0$. Но и $g$, и $h$ имеют степень меньше $\deg m_\alpha$ - противоречие с минимальностью.

Эта неприводимость - вовсе не косметическое свойство. Именно она связывает минимальный многочлен с расширениями полей: фактор-кольцо $K[x] / (m_\alpha(x))$ оказывается полем ровно потому, что $m_\alpha$ неприводим, а идеал $(m_\alpha)$ при этом максимален. И это поле изоморфно $K(\alpha)$ - наименьшему расширению $K$, содержащему $\alpha$.

Рассчитать для своей задачи

Обратное тоже верно и часто используется как определение: любой нормированный неприводимый многочлен, обнуляющийся на $\alpha$, является минимальным. Поэтому весь поиск минимального многочлена сводится к двум задачам - подобрать обнуляющий многочлен и доказать его неприводимость.

Связь со степенью расширения

Степень минимального многочлена - это самая важная числовая характеристика элемента. По определению степень расширения $[K(\alpha) : K]$ - это размерность $K(\alpha)$ как векторного пространства над $K$. Центральная теорема утверждает:

$[K(\alpha) : K] = \deg m_\alpha(x).$

Причина наглядна. Если $\deg m_\alpha = n$, то базисом $K(\alpha)$ над $K$ служат степени $1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{n-1}$. Любая более высокая степень $\alpha^n$ выражается через младшие при помощи соотношения $m_\alpha(\alpha) = 0$, а линейной независимости степеней до $n-1$ мешала бы только формула меньшей степени - но её нет, ведь $m_\alpha$ минимален.

Так, для $\alpha = \sqrt{2}$ минимальный многочлен над $\mathbb{Q}$ это $x^2 - 2$, степень расширения равна $2$, и каждый элемент $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ записывается как $a + b\sqrt{2}$. Для кубического корня $\sqrt[3]{2}$ минимальный многочлен это $x^3 - 2$ (неприводим по Эйзенштейну при $p = 2$), степень расширения равна $3$, базис - это $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}$. Та же логика работает с конечными полями и многочленами Виета, где симметрия корней играет ключевую роль; родственный сюжет о связи корней и коэффициентов разобран в заметке про симметрические многочлены.

Как найти минимальный многочлен: алгоритм

Поиск минимального многочлена для конкретного $\alpha$ - стандартная учебная задача. Рабочая схема такова.

Сначала постройте обнуляющее соотношение. Запишите $\alpha$ и последовательно возводите в степени, выражая радикалы, пока не получите равенство, в которое радикалы войдут «симметрично» и сократятся. Например, для $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ возводим в квадрат: $\alpha^2 = 5 + 2\sqrt{6}$, переносим $5$ и снова возводим в квадрат, получая $(\alpha^2 - 5)^2 = 24$, то есть

$\alpha^4 - 10\alpha^2 + 1 = 0.$

Затем нормируйте полученный многочлен (старший коэффициент сделайте равным $1$) - здесь он уже нормирован.

Наконец, докажите неприводимость над $K$. Для этого годятся: критерий Эйзенштейна, проверка отсутствия рациональных корней (теорема о рациональном корне) для степеней $2$ и $3$, редукция по модулю простого $p$ или прямой перебор возможных разложений на множители меньшей степени. Если многочлен неприводим - это и есть минимальный многочлен, а его степень равна степени расширения.

Сопряжённые элементы и корни

Корни минимального многочлена $m_\alpha(x)$ называются элементами, сопряжёнными к $\alpha$ над $K$. Они алгебраически неотличимы от самого $\alpha$: любой автоморфизм расширения, оставляющий $K$ на месте, переводит $\alpha$ в один из его сопряжённых. Это центральная идея теории Галуа.

Например, у $\sqrt{2}$ над $\mathbb{Q}$ сопряжённый элемент один - это $-\sqrt{2}$, второй корень многочлена $x^2 - 2$. У комплексного числа $i$ сопряжённый - это $-i$, корень $x^2 + 1$. А у $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ сопряжённых три: $\pm\sqrt{2} \pm\sqrt{3}$, ровно четыре корня многочлена $x^4 - 10x^2 + 1$. Число различных сопряжённых равно степени минимального многочлена, если расширение сепарабельно (что всегда выполняется над $\mathbb{Q}$ и над любым полем характеристики ноль).

Частые ошибки

• Забывают про нормировку. Многочлен $2x^2 - 4$ зануляется на $\sqrt{2}$, но минимальным не является - старший коэффициент должен быть $1$, поэтому минимальный это $x^2 - 2$.
• Называют минимальным первый попавшийся обнуляющий многочлен, не проверив неприводимость. Если он раскладывается на множители, минимальный - один из множителей меньшей степени.
• Путают поле, над которым ищут. Над $\mathbb{R}$ минимальный многочлен числа $i$ это $x^2 + 1$, а над $\mathbb{C}$ это просто $x - i$ степени $1$: всё зависит от основного поля $K$.
• Применяют критерий Эйзенштейна не к тому простому числу или забывают условие на свободный член ($p^2$ не должно его делить).
• Считают, что степень обнуляющего многочлена и есть степень расширения. Верно это только если многочлен уже неприводим.

FAQ

Чем минимальный многочлен отличается от характеристического? Характеристический многочлен определяется для линейного оператора (или матрицы) и имеет степень, равную размерности пространства. Минимальный многочлен элемента поля определяется для алгебраического элемента и неприводим. В матричном контексте есть и свой минимальный многочлен оператора - он делит характеристический, но это другое понятие, хотя названия совпадают.

Может ли у элемента не быть минимального многочлена? Да, если элемент трансцендентен над $K$, то есть не зануляет ни один ненулевой многочлен с коэффициентами из $K$. Тогда $K(\alpha)$ изоморфно полю рациональных функций, и понятие минимального многочлена неприменимо. Примеры над $\mathbb{Q}$ - числа $\pi$ и $e$.

Как связаны минимальный многочлен и степень расширения? Степень расширения $[K(\alpha):K]$ ровно равна степени минимального многочлена. Это позволяет вычислять размерности расширений чисто алгебраически: нашли минимальный многочлен - сразу знаете размерность $K(\alpha)$ над $K$ и его базис из степеней $\alpha$.

Коротко

Минимальный многочлен алгебраического элемента $\alpha$ над полем $K$ - это нормированный неприводимый многочлен наименьшей степени с корнем $\alpha$. Он единственен, делит любой обнуляющий многочлен, а его степень равна степени расширения $[K(\alpha):K]$. Чтобы его найти, постройте обнуляющее соотношение, нормируйте многочлен и докажите неприводимость; корни минимального многочлена - сопряжённые к $\alpha$ элементы, лежащие в основе теории Галуа.