Основная теорема теории Галуа: соответствие полей и групп

Основная теорема теории Галуа связывает два, казалось бы, далёких мира: промежуточные поля расширения и подгруппы конечной группы. Эта связь превращает вопросы о решении уравнений в радикалах в чисто групповые вопросы и объясняет, почему общее уравнение пятой степени неразрешимо. Ниже разберём формулировку, условия, обращение порядка и нормальные подгруппы. Если нужно применить теорему к конкретному расширению, соберите запрос в калькуляторе под этим абзацем.

Что утверждает основная теорема теории Галуа

Пусть $E/F$ - конечное расширение Галуа (нормальное и сепарабельное), а $G = \mathrm{Gal}(E/F)$ - его группа Галуа, то есть группа всех автоморфизмов $E$, неподвижных на $F$. Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей $K$ (где $F \subseteq K \subseteq E$) и множеством подгрупп $H \leqslant G$.

Соответствие задаётся двумя взаимно обратными отображениями:

$$K \longmapsto \mathrm{Gal}(E/K), \qquad H \longmapsto E^{H}$$

Здесь $\mathrm{Gal}(E/K)$ - подгруппа автоморфизмов, неподвижных уже на всём $K$, а $E^{H}$ - поле неподвижных точек подгруппы $H$, то есть множество элементов $E$, которые не двигает ни один автоморфизм из $H$. То, что эти отображения обратны друг другу, и есть сердцевина теоремы: каждое промежуточное поле «помнит» ровно одну подгруппу, и наоборот.

Рассчитать для своей задачи

Почему соответствие обращает порядок

Соответствие не просто биективно - оно антитонно, то есть переворачивает включение. Чем больше поле, тем меньше группа, которая его фиксирует:

$$K_1 \subseteq K_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Gal}(E/K_1) \supseteq \mathrm{Gal}(E/K_2)$$

Интуиция простая. Большее поле $K_2$ содержит больше элементов, которые автоморфизм обязан оставлять неподвижными, поэтому подходящих автоморфизмов остаётся меньше. На двух крайних концах башни это видно сразу:

• Само поле $F$ (самое маленькое промежуточное поле) фиксируется всей группой: $\mathrm{Gal}(E/F) = G$.
• Всё расширение $E$ (самое большое) фиксируется только тождественным автоморфизмом: $\mathrm{Gal}(E/E) = \{e\}$.

Из-за обращения порядка диаграмма промежуточных полей и диаграмма подгрупп - это одна и та же решётка, просто перевёрнутая вверх ногами.

Как считаются степени и индексы

Соответствие согласовано со степенями расширений и индексами подгрупп, и это даёт мощный счётный инструмент. Если поле $K$ соответствует подгруппе $H = \mathrm{Gal}(E/K)$, то

$$[E : K] = |H|, \qquad [K : F] = [G : H]$$

То есть степень верхней части башни равна порядку подгруппы, а степень нижней части - её индексу. Поскольку $[E:F] = [E:K]\,[K:F]$, всё согласуется с теоремой Лагранжа $|G| = |H| \cdot [G:H]$. Порядок всей группы равен полной степени расширения: $|G| = [E:F]$.

На практике это значит, что число промежуточных полей конечно и определяется решёткой подгрупп. Если группа $G$ имеет, скажем, восемь подгрупп, то и промежуточных полей ровно восемь - больше взяться неоткуда.

Это перекладывает поиск подполей на чисто групповую задачу. Вместо того чтобы перебирать всевозможные комбинации алгебраических элементов и проверять замкнутость относительно сложения и умножения, достаточно перечислить подгруппы конечной группы - а это конечная и обозримая процедура. Именно в такой переформулировке «трудного в простое» и состоит практическая ценность теоремы для учебных задач.

Нормальные подгруппы и нормальные подрасширения

Самая тонкая часть теоремы касается нормальности. Промежуточное поле $K$ является расширением Галуа над $F$ (то есть $K/F$ нормально) тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа $H = \mathrm{Gal}(E/K)$ нормальна в $G$. В этом случае группа Галуа меньшего расширения получается как факторгруппа:

$$\mathrm{Gal}(K/F) \cong G / H$$

Это объясняет название: нормальные подгруппы отвечают за «нормальные» (галуевы) промежуточные слои. Сама факторгруппа $G/H$ возникает здесь так же, как в гомоморфизме групп через ядро и образ: разрешимость группы в смысле существования цепочки нормальных подгрупп с абелевыми факторами переводится в разрешимость уравнения в радикалах.

Рассчитать для своей задачи

Разбор на примере: расширение четвёртой степени

Возьмём классический пример $E = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ над $\mathbb{Q}$. Это расширение Галуа степени $4$, его группа Галуа - $G \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ (клейновская четверная группа). Каждый автоморфизм независимо меняет знак у $\sqrt{2}$ и у $\sqrt{3}$.

У группы $V_4$ ровно пять подгрупп: тривиальная, вся группа и три подгруппы порядка два. Значит, по теореме, промежуточных полей тоже пять:

$$\mathbb{Q}, \quad \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \quad \mathbb{Q}(\sqrt{3}), \quad \mathbb{Q}(\sqrt{6}), \quad \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$$

Три «средних» поля степени два отвечают трём подгруппам порядка два. Поскольку $V_4$ абелева, все подгруппы нормальны, поэтому каждое из этих полей само является расширением Галуа над $\mathbb{Q}$ - что и подтверждается: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ нормально.

Полезно сверить степени по формулам соответствия. Поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ отвечает подгруппе порядка два, фиксирующей $\sqrt{2}$ и меняющей знак $\sqrt{3}$. Тогда $[E:K] = |H| = 2$ - это степень $E$ над $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, а $[K:F] = [G:H] = 2$ - степень самого $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ над $\mathbb{Q}$. Перемножение даёт полную степень $4 = [E:F]$, как и должно быть. Картина была бы заметно сложнее в неабелевом случае, например для расширения с группой Галуа $D_4$ (как у $x^4 - 2$): там появляются ненормальные подгруппы, и часть промежуточных полей перестаёт быть галуевыми над базой.

Условия применимости: нормальность и сепарабельность

Теорема работает только для расширений Галуа. Два условия критичны:

• Нормальность. Расширение $E/F$ нормально, если каждый неприводимый многочлен над $F$, имеющий в $E$ хотя бы один корень, разлагается в $E$ полностью. Без этого автоморфизмы «убегают» за пределы $E$, и группа не отражает структуру.
• Сепарабельность. Минимальные многочлены не должны иметь кратных корней. Над полями характеристики ноль (как $\mathbb{Q}$) и над конечными полями это выполняется автоматически, поэтому в типичных учебных задачах проверять приходится только нормальность.

Если хотя бы одно условие нарушено, биекция ломается: для несепарабельного расширения порядок группы автоморфизмов меньше степени расширения, и поля неподвижных точек уже не различают подгруппы.

Частые ошибки

• Путают направление соответствия. Большему полю отвечает меньшая подгруппа, а не большая - соответствие обращает порядок.
• Забывают проверить нормальность расширения. Для неГалуа-расширения теорема неприменима, и число автоморфизмов меньше степени.
• Считают, что любое промежуточное поле - расширение Галуа над базой. Это верно только если соответствующая подгруппа нормальна; в неабелевых группах есть подгруппы, которые не нормальны.
• Смешивают порядок и индекс. $[E:K] = |H|$, но $[K:F] = [G:H]$ - это разные величины, путаница ведёт к неверной степени.
• Берут бесконечное расширение. Классическая формулировка работает для конечных расширений Галуа; для бесконечных нужна топология Крулля на группе.

FAQ

Зачем нужна основная теорема теории Галуа? Она переводит трудные вопросы о полях и корнях многочленов в более простые групповые вопросы. Главное следствие - критерий разрешимости уравнения в радикалах: уравнение решается в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Отсюда следует неразрешимость общего уравнения пятой степени, так как группа $S_5$ неразрешима.

Чем группа Галуа отличается от просто группы автоморфизмов? Группа Галуа - это группа автоморфизмов расширения, тождественных на базовом поле $F$. Для расширения Галуа её порядок в точности равен степени расширения; для неГалуа-расширения автоморфизмов оказывается меньше, и теорема не работает.

Как найти все промежуточные поля расширения? Найдите группу Галуа, перечислите все её подгруппы (это конечная задача), и каждой подгруппе $H$ сопоставьте поле неподвижных точек $E^{H}$. Биекция гарантирует, что других промежуточных полей нет, а степени считаются через порядок и индекс подгруппы.

Коротко

Основная теорема теории Галуа устанавливает обращающую порядок биекцию между промежуточными полями расширения Галуа $E/F$ и подгруппами его группы Галуа: поле переходит в фиксирующую его подгруппу, подгруппа - в поле неподвижных точек. Степени и индексы согласованы, а нормальным подгруппам отвечают галуевы подрасширения с факторгруппой в роли группы Галуа. Этот словарь и превращает теорию полей в теорию групп.