Постоянная Гаусса: что это и как её вычислить

Постоянная Гаусса $G$ - это число $G \approx 0{,}8346268$, которое Карл Фридрих Гаусс получил, играя с двумя простейшими средними. Если взять числа $1$ и $\sqrt{2}$ и многократно заменять пару на её среднее арифметическое и среднее геометрическое, последовательности стремительно сходятся к общему пределу $M(1,\sqrt{2})$ - арифметико-геометрическому среднему. Обратная к нему величина и есть постоянная Гаусса: $G = 1/M(1,\sqrt{2})$. За скромным десятичным числом прячется глубокая связь с длиной лемнискаты, эллиптическими интегралами и значением $\Gamma(1/4)$. Ниже - что такое $G$, как её посчитать за пять строк и где она всплывает. Калькулятор под текстом прогоняет итерации сам.

Что такое постоянная Гаусса

Постоянная Гаусса определяется через арифметико-геометрическое среднее (АГС) двух конкретных чисел:

$$G = \frac{1}{M(1,\sqrt{2})}, \qquad M(1,\sqrt{2}) \approx 1{,}1981402347,$$

откуда $G \approx 0{,}8346268416740731$. Это иррациональное (и, как доказал Теодор Шнайдер в 1937 году, трансцендентное) число. Запись «постоянная Гаусса» закрепилась за этой величиной в честь записи самого Гаусса от 30 мая 1799 года, где он отметил совпадение $1/M(1,\sqrt{2})$ с интегралом, задающим длину дуги лемнискаты, и добавил, что «это открывает совершенно новую область анализа».

Важно не путать $G$ с другими «гауссовыми» объектами: это не признак Гаусса сходимости рядов и не гауссова кривизна. Здесь $G$ - именно числовая константа, как $\pi$ или $e$, со своим способом вычисления.

Рассчитать для своей задачи

Арифметико-геометрическое среднее

Чтобы понять $G$, нужно понять АГС. Возьмём два положительных числа $a_0$ и $b_0$ и построим две последовательности:

$$a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad b_{n+1} = \sqrt{a_n\, b_n}.$$

На каждом шаге $a_{n+1}$ - среднее арифметическое, $b_{n+1}$ - среднее геометрическое прежней пары. По классическому неравенству о средних $a_n \ge b_n$ при $n \ge 1$, причём арифметическое убывает, а геометрическое растёт. Обе последовательности зажаты между собой и монотонны, поэтому сходятся, и сходятся к одному и тому же пределу - он и обозначается $M(a_0, b_0)$.

Главное достоинство АГС - квадратичная сходимость: разность $a_n - b_n$ убывает как квадрат предыдущей. Грубо говоря, число верных десятичных знаков удваивается на каждом шаге. Именно поэтому уже на четвёртой итерации $M(1,\sqrt{2})$ известно с точностью больше десяти знаков.

Откуда берётся именно квадрат? Запишем разность через прежнюю пару. После шага $a_{n+1} - b_{n+1} = \tfrac{1}{2}(a_n + b_n) - \sqrt{a_n b_n} = \tfrac{1}{2}(\sqrt{a_n} - \sqrt{b_n})^2$. Дальше эту малую величину делят на $\sqrt{a_n} + \sqrt{b_n} \approx 2\sqrt{M}$, и в итоге $a_{n+1} - b_{n+1} \approx \dfrac{(a_n - b_n)^2}{8M}$. Квадрат в числителе - это и есть формальная причина, почему ошибка не просто уменьшается, а возводится в квадрат: малое становится ничтожным за один шаг.

Как вычислить G за пять строк

Алгоритм короткий и не требует ничего, кроме корня. Стартуем с $a = 1$, $b = \sqrt{2}$ и повторяем итерацию, пока пара не «склеится»:

$$\begin{aligned} a &\leftarrow \tfrac{1}{2}(a + b), \\ b &\leftarrow \sqrt{a_{\text{старое}}\cdot b_{\text{старое}}}. \end{aligned}$$

Проследим вилку $a_n$ и $b_n$ численно:

Видно, как ширина вилки падает: $10^{-1} \to 10^{-2} \to 10^{-5} \to 10^{-10}$ - показатель примерно удваивается, это и есть квадратичная скорость. После четвёртого шага берём $M \approx 1{,}19814023$ и делим единицу: $G = 1/M \approx 0{,}83462684$. Калькулятор выше делает ровно это - двигайте ползунок числа шагов и смотрите, как растёт число совпавших знаков.

Рассчитать для своей задачи

Связь с лемнискатой и эллиптическими интегралами

Главная причина, по которой $G$ вообще интересна, - её геометрический смысл. Лемниската Бернулли $r^2 = \cos 2\varphi$ - кривая в форме восьмёрки. Её полная длина выражается через постоянную Гаусса:

$$L = 2\varpi, \qquad \varpi = \pi G \approx 2{,}6220575543,$$

где $\varpi$ (вариант буквы «пи») называют лемнискатической постоянной. Соотношение $\varpi = \pi G$ - короткая запись того самого открытия Гаусса 1799 года: длина лемнискаты относится к её «диаметру» так же, как $G$ связывает $\pi$ с АГС.

Глубже связь идёт через полный эллиптический интеграл первого рода $K(k)$. Лежандр и Гаусс показали тождество

$$M(1, k') = \frac{\pi}{2K(k)}, \qquad k' = \sqrt{1 - k^2}.$$

При $k = k' = 1/\sqrt{2}$ (лемнискатический модуль) это даёт $M(1, 1/\sqrt{2})$ и через масштаб связывает АГС с $K(1/\sqrt{2})$, а значит и с $G$. Наконец, есть замкнутая формула через гамма-функцию:

$$\varpi = \frac{\Gamma(1/4)^2}{2\sqrt{2\pi}}, \qquad G = \frac{\varpi}{\pi} = \frac{\Gamma(1/4)^2}{2\sqrt{2}\,\pi^{3/2}}.$$

Так одна итерация со средними оказывается завязана сразу на $\pi$, на $\Gamma(1/4)$ и на геометрию восьмёрки.

Рассчитать для своей задачи

Где постоянная Гаусса встречается

Кроме лемнискаты, $G$ и её родственники появляются в нескольких местах:

• Быстрые алгоритмы для $\pi$. АГС из тех же двух средних - сердце алгоритма Брента-Саламина, который удваивает число знаков $\pi$ за итерацию.
• Эллиптические интегралы. Любой период маятника с большой амплитудой или длина эллипса считается через $K(k)$, а значит через АГС; $M(1,\sqrt{2})$ - частный «эталонный» случай.
• Теория чисел. Трансцендентность $G$ и $\varpi$ - результаты о природе констант, связанных с эллиптическими функциями; лемнискатический синус $\operatorname{sl}$ имеет период $2\varpi$.
• Численный анализ. АГС-итерация - образцовый пример квадратично сходящегося метода, его приводят рядом с методом Ньютона.
• Логарифм с высокой точностью. Через АГС вычисляют натуральный логарифм больших чисел: $\ln x \approx \dfrac{\pi}{2\,M(1, 4/x)}$ при больших $x$. Это тот же набор средних, что и для $G$, только с другой стартовой парой.

Объединяет все эти сюжеты одна мысль: пара «среднее арифметическое и среднее геометрическое» - не школьная забава, а вычислительный мотор. Гаусс заметил это первым, и постоянная $G$ осталась самым наглядным следом того наблюдения: одно деление единицы на предел двух простых средних связывает арифметику с геометрией восьмёрки.

Частые ошибки

• Путают $G$ с гауссовым распределением или признаком Гаусса. «Постоянная Гаусса» - это конкретное число $0{,}8346268$, а не нормировочный множитель $1/\sqrt{2\pi}$ и не критерий сходимости.
• Берут не ту пару. $G = 1/M(1,\sqrt{2})$ именно для старта $1$ и $\sqrt{2}$. Со стартом $1$ и $2$ получится другой предел и другое число - это видно в калькуляторе.
• Останавливают итерацию слишком рано или слишком поздно. Из-за квадратичной сходимости 4-5 шагов уже дают машинную точность; делать сотню итераций бессмысленно, а двух мало для шести знаков.
• Путают $M$ и $G$. Предел итераций $M \approx 1{,}198$, а постоянная Гаусса - обратная к нему $G \approx 0{,}835$. Забытое деление - типичная описка.
• Считают геометрическое среднее как $(a_n b_n)/2$. Геометрическое среднее это $\sqrt{a_n b_n}$, а не полусумма произведения.

FAQ

Чему равна постоянная Гаусса? $G = 1/M(1,\sqrt{2}) \approx 0{,}8346268416740731$, где $M$ - арифметико-геометрическое среднее чисел $1$ и $\sqrt{2}$. Число иррациональное и трансцендентное.

Чем постоянная Гаусса отличается от лемнискатической постоянной? Они пропорциональны: лемнискатическая постоянная $\varpi = \pi G \approx 2{,}6220576$ задаёт половину длины лемнискаты Бернулли, а $G$ - её «безразмерный» вариант. Зная одну, мгновенно получаете другую делением или умножением на $\pi$.

Почему АГС сходится так быстро? Сходимость квадратичная: разность $a_n - b_n$ пропорциональна квадрату предыдущей разности, поэтому число верных знаков примерно удваивается за шаг. Уже после 4-5 итераций достигается машинная точность.

Коротко

Постоянная Гаусса $G = 1/M(1,\sqrt{2}) \approx 0{,}8346268$ - обратная к арифметико-геометрическому среднему чисел $1$ и $\sqrt{2}$. Считается она итерацией «среднее арифметическое и среднее геометрическое» с квадратичной сходимостью: 4-5 шагов дают десяток верных знаков. Через соотношение $\varpi = \pi G$ и формулу с $\Gamma(1/4)$ это число связывает простые средние с длиной лемнискаты и эллиптическими интегралами.