Математика и алгоритмы

Страница 21 из 24.

Эксцентриситет вершины графа: определение и расчёт

Что такое эксцентриситет вершины графа: определение через расстояние, формула, пошаговый расчёт по матрице кратчайших путей, свойства и связь с радиусом, диаметром, центром.

27 марта 20267 минут

Процесс Орнштейна-Уленбека: средневозвратная диффузия

Процесс Орнштейна-Уленбека: средневозвратная диффузия, её стохастическое уравнение, среднее и дисперсия, стационарное распределение, автокорреляция и связь с уравнением Ланжевена.

27 марта 20267 минут

Сходимость метода простой итерации: условие и оценка

Сходимость метода простой итерации для уравнения $x = φ (x)$ : принцип сжимающих отображений, условие $∣ φ^{'} (x) ∣ < 1$ , скорость и априорная оценка погрешности, примеры и типичные ошибки.

27 марта 20268 минут

Квадратурная формула Гаусса: узлы и веса

Квадратурная формула Гаусса: узлы как корни полиномов Лежандра, веса квадратуры, алгебраическая точность 2n−1, формула Гаусса-Лежандра, пересчёт на отрезок [a,b] и оценка погрешности.

25 марта 20267 минут

Условный экстремум: множители Лагранжа без зубрёжки

Условный экстремум функции нескольких переменных через множители Лагранжа: функция Лагранжа, система уравнений, проверка на минимум и максимум, окаймлённый гессиан и типичные ошибки.

25 марта 20267 минут

Метод ветвей и границ: задача коммивояжёра по шагам

Метод ветвей и границ для задачи коммивояжёра: матрица расстояний, приведение строк и столбцов, нижняя граница, дерево ветвления и отсечение бесперспективных маршрутов.

24 марта 20267 минут

Радиус и диаметр графа: как считать эксцентриситет

Что такое радиус и диаметр графа и как через эксцентриситет вершин найти центр и периферию графа. Формулы, пошаговый пример и связь с расстояниями между вершинами.

24 марта 20267 минут

Алгоритм Метрополиса-Гастингса: как работает MCMC

Алгоритм Метрополиса-Гастингса позволяет сэмплировать из сложного распределения через цепь Маркова. Разбираем шаг принятия, detailed balance и сходимость на понятных примерах.

23 марта 20268 минут

Формула Эйлера-Маклорена: разбор и применение

Формула Эйлера-Маклорена связывает сумму $\sum f (n)$ с интегралом $\int f$ через числа Бернулли и остаточный член. Разбор формулировки, доказательства и классических приложений.

22 марта 20267 минут

Лемма Фату: формулировка, доказательство и применения

Лемма Фату: для неотрицательных измеримых $f_{n}$ выполнено $\int lim inf f_{n} d μ \leq lim inf \int f_{n} d μ$ . Доказательство через монотонную сходимость, связь с DCT.

22 марта 20269 минут

Локализация кольца: конструкция и геометрия

Локализация кольца $S^{- 1} R$ в коммутативной алгебре: конструкция через классы дробей, поле частных, локальное кольцо $R_{p}$ , плоскость, стебли пучка на Spec.

21 марта 20268 минут

Алгоритм Грэхема: строим выпуклую оболочку точек

Алгоритм Грэхема строит выпуклую оболочку набора точек за O(n log n): опорная точка, сортировка по углу и обход стеком. Разбираем шаги и проверку поворота.

20 марта 20269 минут

Теоремы Силова: существование, сопряжённость, число подгрупп

Теоремы Силова о $p$ -подгруппах конечной группы: существование силовской подгруппы порядка $p^{k}$ , сопряжённость всех таких подгрупп, арифметика числа $n_{p}$ и примеры классификации.

20 марта 20269 минут

Нильпотентная группа: определение, класс, примеры

Нильпотентная группа: стабилизация нижнего и верхнего центральных рядов, класс нильпотентности, теорема о прямом произведении силовских p-подгрупп и примеры.

19 марта 20269 минут

Теорема Гильберта о базисе: формулировка и доказательство

Теорема Гильберта о базисе 1890 года: если кольцо R нётерово, то R[x] тоже нётерово. Идея доказательства, следствия для алгебраической геометрии и типовые задачи.

18 марта 20268 минут

Оператор Лапласа-Бельтрами: формула, спектр и тепловое ядро

Оператор Лапласа-Бельтрами: обобщение лапласиана на риманово многообразие. Разбираем формулу через метрический тензор, спектр, тепловое ядро и асимптотику Вейля с примерами.

16 марта 20269 минут

Расслоение Хопфа: S^3 → S^2 со слоем S^1

Расслоение Хопфа: $S^{3} \to S^{2}$ со слоем $S^{1}$

Расслоение Хопфа: первый нетривиальный пример $S^{3} \to S^{2}$ со слоем $S^{1}$ , кватернионная и октонионная Hopf-фибрации, число Хопфа, $π_{3} (S^{2}) = Z$ , сфера Блоха.

15 марта 20268 минут

Сопряжённые функторы: биекция Hom, единица и примеры

Сопряжённые функторы: естественная биекция Hom-наборов, левый и правый сопряжённый, единица и коединица, классические примеры и сохранение пределов в теории категорий.

15 марта 20269 минут

Теорема Лагранжа для групп: порядок, индекс, следствия

Теорема Лагранжа для конечных групп: порядок подгруппы делит порядок группы, индекс и классы смежности, доказательство, малая Ферма и Эйлер, контрпример $A_{4}$ .

15 марта 20269 минут

Алгоритм Чана: как строить выпуклую оболочку за O(n log h)

Алгоритм Чана строит выпуклую оболочку n точек за O(n log h): разбор идеи с угадыванием числа вершин h, комбинацией Graham scan и Jarvis march по шагам.

14 марта 20269 минут

Неравенство Гёльдера для интегралов: формулы и применение

Неравенство Гёльдера для интеграла: формулировка с сопряжёнными показателями p и q, доказательство через неравенство Юнга, частные случаи и применение в пространствах L^p.