Формула Эйлера-Маклорена: разбор и применение

Формула Эйлера-Маклорена - главный мост между дискретной суммой $\sum_{k=a}^{b} f(k)$ и непрерывным интегралом $\int_a^b f(x)\,dx$. По духу это родственник формулы обращения Мёбиуса - ещё одного классического инструмента для перевода сумм в более удобную форму через вспомогательные числовые последовательности. Она появилась независимо у Эйлера (1735) и Маклорена (1742) как способ ускорить вычисление сумм рядов, а сегодня её используют для асимптотики факториала, оценок гармонических чисел, аналитического продолжения дзета-функции и оценок ошибки квадратурных формул. Разберём формулировку, идею доказательства, оценку остатка и пять-шесть рабочих приложений.

Формулировка

Пусть $f \in C^{2n+1}[a, b]$, а $a, b$ - целые числа, $a < b$. Тогда

$$\sum_{k=a}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{B_{2k}}{(2k)!}\bigl(f^{(2k-1)}(b) - f^{(2k-1)}(a)\bigr) + R_n,$$

где $B_{2k}$ - числа Бернулли с чётными индексами, а $R_n$ - остаточный член. Слагаемое $\tfrac{f(a)+f(b)}{2}$ - поправка трапеций: если убрать асимптотическую сумму и остаток, останется классическая формула трапеций. Числа Бернулли $B_{2k}$ дают поправки всё более высокого порядка к этой грубой квадратуре.

Иногда формулу записывают в эквивалентной форме без явного выделения концов:

$$\sum_{k=a}^{b-1} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx - \frac{f(b)-f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{B_{2k}}{(2k)!}\bigl(f^{(2k-1)}(b) - f^{(2k-1)}(a)\bigr) + R_n.$$

Обе формы эквивалентны: разница - в том, входит ли $f(b)$ в сумму или нет.

Числа Бернулли и периодические функции Бернулли

Числа Бернулли $B_k$ задаются производящим рядом

$$\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_k}{k!} t^k,$$

первые значения: $B_0 = 1$, $B_1 = -\tfrac{1}{2}$, $B_2 = \tfrac{1}{6}$, $B_4 = -\tfrac{1}{30}$, $B_6 = \tfrac{1}{42}$, $B_8 = -\tfrac{1}{30}$. Все нечётные $B_{2k+1}$ при $k \ge 1$ равны нулю, поэтому в формуле Эйлера-Маклорена остаются только чётные индексы. Знаки чередуются: $B_{2k}$ положительны при нечётном $k$ и отрицательны при чётном, что важно для оценки остатка.

Полиномы Бернулли $B_k(x)$ определяются рекурсивно: $B_0(x) = 1$, $B_k'(x) = k B_{k-1}(x)$, $\int_0^1 B_k(x)\,dx = 0$ при $k \ge 1$, причём $B_k(0) = B_k$. Их 1-периодические продолжения $\widetilde{B}_k(x) = B_k(\{x\})$ (где $\{x\}$ - дробная часть) и составляют ядро остаточного члена.

Идея доказательства: интегрирование по частям

Простейший вывод - многократное интегрирование по частям на каждом отрезке $[k, k+1]$. Ключевая база: для гладкой $f$ на $[0, 1]$

$$\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{f(0)+f(1)}{2} - \int_0^1 \bigl(x - \tfrac{1}{2}\bigr) f'(x)\,dx,$$

а функция $x - \tfrac{1}{2} = B_1(x)$ - первый полином Бернулли. Дальше каждое следующее интегрирование по частям с $B_{k}(x)$ даёт следующий член разложения. Просуммировав по $k$ от $a$ до $b-1$ и собрав телескопирующие слагаемые на концах, получаем формулу Эйлера-Маклорена с явным остатком

$$R_n = -\int_a^b \frac{\widetilde{B}_{2n+1}(x)}{(2n+1)!} f^{(2n+1)}(x)\,dx.$$

Остаточный член и его оценка

Главная особенность формулы Эйлера-Маклорена - ряд по числам Бернулли не сходится для большинства функций. Это асимптотический ряд: при фиксированном $n$ остаток $R_n \to 0$ быстро с ростом $b - a$, но при $n \to \infty$ для фиксированных $a, b$ он, как правило, расходится. Оптимальное $n$ выбирают там, где модуль очередного слагаемого начинает расти.

Стандартная оценка: для функций с фиксированным знаком $f^{(2n+2)}$ остаток ограничен модулем первого отброшенного члена и имеет тот же знак:

$$|R_n| \le \frac{|B_{2n+2}|}{(2n+2)!}\,|f^{(2n+1)}(b) - f^{(2n+1)}(a)|.$$

Это и есть та самая «остановка по минимальному слагаемому», которая делает формулу пригодной для практических вычислений с заранее заданной точностью.

Формула Стирлинга

Самое известное приложение - асимптотика $\ln n!$. Берём $f(x) = \ln x$, $a = 1$, $b = n$ и считаем:

$$\ln n! = \sum_{k=1}^{n} \ln k = \int_1^n \ln x\,dx + \frac{\ln 1 + \ln n}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{(2k)!}\bigl(f^{(2k-1)}(n) - f^{(2k-1)}(1)\bigr) + \ldots$$

Поскольку $\int_1^n \ln x\,dx = n\ln n - n + 1$ и $f^{(2k-1)}(x) = (-1)^{2k}(2k-2)!\,x^{1-2k}$, после аккуратного перехода к константе (которая выводится отдельно через формулу Валлиса) получаем

$$\ln n! \sim n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + \frac{1}{12n} - \frac{1}{360 n^3} + \frac{1}{1260 n^5} - \ldots$$

Главная часть $n\ln n - n + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n)$ - собственно формула Стирлинга; поправка $\tfrac{1}{12 n}$ - первый бернуллиевский член, $-\tfrac{1}{360 n^3}$ - второй. Для $n = 10$ уже два члена дают $\ln 10!$ с точностью до $10^{-8}$.

Асимптотика гармонических чисел

Тот же приём для $f(x) = 1/x$, $a = 1$, $b = n$ даёт

$$H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12 n^2} + \frac{1}{120 n^4} - \ldots,$$

где $\gamma \approx 0{,}5772156649$ - постоянная Эйлера-Маскерони, появляющаяся как константа интегрирования (предел разности $H_n - \ln n$). Для $n = 100$ первых трёх членов хватает, чтобы посчитать $H_{100}$ с точностью около $10^{-9}$ - против дробного суммирования это огромный выигрыш.

Связь с дзета-функцией Римана

Применённая к $f(x) = 1/x^s$, формула Эйлера-Маклорена даёт мощный инструмент аналитического продолжения. Для $\Re s > 1$

$$\zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} = \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k^s} + \frac{1}{(s-1)N^{s-1}} + \frac{1}{2 N^s} + \sum_{k=1}^{n} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \frac{(s)_{2k-1}}{N^{s+2k-1}} + R_n(s),$$

где $(s)_m = s(s+1)\cdots(s+m-1)$ - символ Похгаммера. Правая часть аналитична по $s$ всюду, кроме простого полюса в $s = 1$, и тем самым продолжает $\zeta(s)$ на всю плоскость. Из формулы выводится и знаменитое замкнутое выражение для значений в чётных точках:

$$\zeta(2k) = \frac{(-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}}{2(2k)!}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$

Отсюда $\zeta(2) = \pi^2/6$, $\zeta(4) = \pi^4/90$, $\zeta(6) = \pi^6/945$ и так далее. Для нечётных аргументов аналогичной замкнутой формы не существует.

Ускорение сходимости сумм

Любой сходящийся ряд $\sum_{k=1}^{\infty} f(k)$ с медленно убывающей $f$ можно ускорить, отделив «голову» $\sum_{k=1}^{N-1} f(k)$ и применив Эйлера-Маклорена к «хвосту» $\sum_{k=N}^{\infty} f(k)$. Голова считается явно, хвост - через интеграл и асимптотический ряд. Этот трюк применяют, например, для $\sum 1/k^2$: суммируя честно сотню членов, мы знаем $\pi^2/6$ с тремя знаками, а с Эйлером-Маклореном и тем же $N = 100$ - с двенадцатью.

Связанная техника - формула трапеций с поправками Эйлера-Маклорена для гладких функций на отрезке. Если $f$ периодична с периодом, кратным шагу сетки, все бернуллиевские поправки обращаются в ноль, и трапеции дают экспоненциальную точность - этим объясняется парадоксально высокое качество трапеций на периодических интегрантах.

Частые ошибки

• Применять формулу к функции с особенностью внутри $[a, b]$. Полюс или разрыв производной обнуляет оценку остатка; нужно отдельно обрабатывать особую точку.
• Брать слишком большое $n$ и удивляться, что приближение портится. Ряд асимптотический: останавливайтесь на минимальном по модулю слагаемом.
• Путать $B_1 = -1/2$ (из производящего ряда) и $B_1^{+} = +1/2$ (из «другой» условной нормировки). В формуле Эйлера-Маклорена $B_1$ не появляется в основной сумме - есть отдельное слагаемое $(f(a)+f(b))/2$.
• Забывать константу интегрирования при выводе $H_n$ или $\ln n!$ - без $\gamma$ и без $\tfrac{1}{2}\ln(2\pi)$ ответ будет смещён.
• Применять к $f$, у которой производные неограниченно растут на $[a, b]$ (например, $f(x) = e^x$ на длинном отрезке): остаток разнесёт всё разложение.

FAQ

Чем формула Эйлера-Маклорена отличается от формулы трапеций? Формула трапеций - это $\int_a^b f \approx \tfrac{h}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr) + h\sum_{k=1}^{N-1} f(a+kh)$ с ошибкой $O(h^2)$. Формула Эйлера-Маклорена даёт полное асимптотическое разложение этой ошибки по чётным степеням $h$ через числа Бернулли - то есть это «трапеции + все поправки».

Почему ряд расходится, если формула «точная»? Точное равенство - это «конечная сумма $n$ членов плюс остаток $R_n$». Сам бесконечный ряд $\sum B_{2k}\,\cdot$ обычно расходится: $|B_{2k}|$ растёт как $\tfrac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}$, и для большинства $f$ это перебивает убывание $1/(2k)!$. Поэтому формулу применяют как асимптотическую - с оптимальным $n$.

Можно ли применять её для нецелых пределов? Да, но при дробных $a$ или $b$ появляются дополнительные слагаемые с периодическими функциями Бернулли $\widetilde{B}_k$, и аккуратнее всего пользоваться обобщённой версией через формулу Абеля-Планы или прямо через интеграл по контуру.

Коротко

Формула Эйлера-Маклорена связывает дискретную сумму $\sum f(k)$ с интегралом $\int f$ плюс поправка трапеций плюс бернуллиевский асимптотический ряд от значений нечётных производных на концах. Ряд асимптотический, но усечение на правильном $n$ даёт сверхточные численные результаты. Её ключевые приложения - формула Стирлинга для $\ln n!$, асимптотика $H_n = \ln n + \gamma + O(1/n)$, аналитическое продолжение и значения $\zeta(2k)$, а также ускорение сходимости медленных рядов и обоснование точности квадратурных формул на гладких функциях.