Лемма Фату: формулировка, доказательство и применения

Лемма Фату - базовый результат теории интеграла Лебега об одностороннем переходе к пределу под знаком интеграла для неотрицательных функций. В отличие от теоремы Лебега о мажорируемой сходимости, она не требует ни мажоранты, ни монотонности - взамен даёт лишь неравенство. Ниже - формулировка, доказательство через теорему о монотонной сходимости, сравнение с Леви и Лебегом, применения, контрпримеры и обратная Фату.

Формулировка леммы Фату

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu)$ - пространство с мерой, $f_n : X \to [0, \infty]$ - последовательность неотрицательных измеримых функций. Тогда

$$\int_X \liminf_{n \to \infty} f_n \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu.$$

Никаких дополнительных предположений - ни поточечной сходимости, ни мажоранты, ни конечности интегралов. Равенство, вообще говоря, не выполняется: можно построить пример, где левая часть равна нулю, а правая - единице (см. ниже).

Условие $f_n \ge 0$ критично: без него лемма теряет силу. Простейший контрпример - $f_n(x) = -\mathbb{1}_{[n, n+1]}(x)$ на $\mathbb{R}$: $\int f_n = -1$ для всех $n$, поэтому $\liminf \int f_n = -1$, но $\liminf f_n \equiv 0$ и $\int \liminf f_n = 0$. Неравенство $0 \le -1$ ложно.

Подставь свою последовательность $f_n$ ниже - соберём задачу и в чате посчитаем обе части неравенства, проверим знак и при необходимости перейдём к теореме Леви или DCT.

Набросок доказательства

Стандартный приём - представление $\liminf$ как супремума инфимумов и применение теоремы Леви о монотонной сходимости.

По определению, $\liminf_n f_n(x) = \sup_k \inf_{n \ge k} f_n(x)$. Обозначим $g_k(x) = \inf_{n \ge k} f_n(x)$. Последовательность $g_k$ неубывающая ($g_1 \le g_2 \le \dots$), поскольку при $k_1 \le k_2$ инфимум берётся по меньшему множеству и не уменьшается. Кроме того, $g_k \ge 0$ как инфимум неотрицательных функций, и каждая $g_k$ измерима.

По теореме Леви о монотонной сходимости (MCT),

$$\int g_k \, d\mu \nearrow \int \sup_k g_k \, d\mu = \int \liminf_n f_n \, d\mu.$$

С другой стороны, $g_k \le f_n$ для всех $n \ge k$, поэтому $\int g_k \le \int f_n$ при $n \ge k$. Беря инфимум по таким $n$,

$$\int g_k \, d\mu \le \inf_{n \ge k} \int f_n \, d\mu.$$

Переходя к пределу $k \to \infty$ и пользуясь MCT слева,

$$\int \liminf_n f_n \, d\mu = \lim_k \int g_k \, d\mu \le \lim_k \inf_{n \ge k} \int f_n \, d\mu = \liminf_n \int f_n \, d\mu.$$

Это и есть лемма Фату. Существенно используется только неотрицательность (для применения MCT) и линейность интеграла на неотрицательных функциях.

Сравнение с теоремами Леви и Лебега

Три классических результата перехода к пределу под знаком интеграла отличаются предположениями и силой выводов.

Теорема Леви (MCT). Для $0 \le f_1 \le f_2 \le \dots$ с $f_n \to f$ почти всюду выполнено $\int f_n \to \int f$. Требует монотонности, даёт равенство.

Лемма Фату. Для $f_n \ge 0$ выполнено $\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$. Не требует ни монотонности, ни сходимости - но даёт лишь одностороннее неравенство.

Теорема Лебега (DCT). Для $f_n \to f$ почти всюду с мажорантой $|f_n| \le g$, $g \in L^1$, выполнено $\int f_n \to \int f$. Требует мажоранту, даёт равенство и $L^1$-сходимость.

Лемма Фату - самая «дешёвая» по предположениям, но и самая слабая по выводу. Когда последовательность монотонна - берём Леви; когда есть мажоранта - Лебега; когда ни того, ни другого, но функции неотрицательны и нужна оценка сверху на $\int \liminf$ - Фату.

Вывод DCT из леммы Фату

Классическое применение Фату - доказательство теоремы Лебега о мажорируемой сходимости. Пусть $f_n \to f$ почти всюду, $|f_n| \le g$, $\int g < \infty$. Тогда $g - f_n \ge 0$ и $g + f_n \ge 0$, и можно применить Фату дважды.

Шаг 1. К $g - f_n \ge 0$: $\liminf_n (g - f_n) = g - f$ (так как $f_n \to f$), поэтому

$$\int (g - f) \, d\mu \le \liminf_n \int (g - f_n) \, d\mu = \int g \, d\mu - \limsup_n \int f_n \, d\mu.$$

Сокращая $\int g$, получаем $\limsup \int f_n \le \int f$.

Шаг 2. К $g + f_n \ge 0$ аналогично: $\int f \le \liminf \int f_n$.

Объединяя, $\int f \le \liminf \int f_n \le \limsup \int f_n \le \int f$, то есть $\int f_n \to \int f$. Без Фату это доказательство не получается - двойное применение неравенства даёт равенство.

Контрпример: где Фату даёт строгое неравенство

«Уезжающий бугорок» $f_n(x) = n \cdot \mathbb{1}_{[0, 1/n]}(x)$ на $[0, 1]$ - стандартный пример. Поточечно $f_n(x) \to 0$ для всех $x > 0$, поэтому $\liminf f_n = 0$ почти всюду и $\int \liminf f_n = 0$. С другой стороны, $\int f_n = n \cdot (1/n) = 1$ для каждого $n$, поэтому $\liminf \int f_n = 1$. Лемма Фату даёт $0 \le 1$ - верно, но неравенство строгое.

Другой пример - $f_n(x) = \mathbb{1}_{[n, n+1]}(x)$ на $\mathbb{R}$. Поточечный предел нулевой, $\int \liminf f_n = 0$, а $\int f_n = 1$ для всех $n$, $\liminf \int f_n = 1$. Снова строгое неравенство - масса «уезжает на бесконечность».

Случай равенства типичен, когда последовательность монотонно возрастает (тогда Фату совпадает с MCT) или когда есть мажоранта, обеспечивающая равномерную интегрируемость (тогда работает DCT и неравенство превращается в равенство).

Обратная лемма Фату

Если поменять знак и допустить мажоранту сверху, получаем симметричный результат. Пусть $f_n \le g$ почти всюду, $\int g < \infty$, и $f_n$ измеримы (необязательно неотрицательны). Тогда

$$\int \limsup_n f_n \, d\mu \ge \limsup_n \int f_n \, d\mu.$$

Доказательство - применение классической Фату к $g - f_n \ge 0$. Это «обратная Фату», или «лемма Фату для $\limsup$». Удобна, когда последовательность ограничена сверху интегрируемой функцией: даёт оценку сверху на интеграл верхнего предела.

Объединённая форма: если $|f_n| \le g$ с $g \in L^1$, то

$$\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n \le \limsup \int f_n \le \int \limsup f_n.$$

При сходимости $f_n \to f$ почти всюду все четыре величины равны $\int f$ - это и есть DCT.

Типовые задачи

Тип 1: проверить лемму Фату на конкретной последовательности. Найти $\liminf f_n$ поточечно, посчитать $\int \liminf$ и $\int f_n$ для каждого $n$, взять $\liminf$ справа. Сравнить и определить, строгое ли неравенство.

Тип 2: получить оценку $\int f \le C$ через Фату. Если $f_n \to f$ почти всюду, $f_n \ge 0$ и известно $\int f_n \le C$ для всех $n$, то $\int f \le C$. Часто используется в теории вероятностей для оценки моментов предельной случайной величины.

Тип 3: построить контрпример к равенству $\int \liminf = \liminf \int$. Стандартные кандидаты - «уезжающий бугорок» или «волна, бегущая по $\mathbb{R}$».

Тип 4: выбрать между Фату, Леви и DCT. Монотонность → Леви. Только неотрицательность, нужна оценка на $\int f$ → Фату. Мажоранта + сходимость → Лебега.

Частые ошибки

• Применяют Фату к функциям произвольного знака. Условие $f_n \ge 0$ обязательно: контрпример $f_n = -\mathbb{1}_{[n,n+1]}$ ломает неравенство. Если есть ограниченность снизу $f_n \ge -h$ с интегрируемой $h$ - применять Фату к $f_n + h$.
• Путают $\liminf$ и $\lim$. Если $f_n$ не сходится, $\liminf f_n$ всё равно определён поточечно - лемма работает. Если сходится - $\liminf f_n = \lim f_n$.
• Используют Фату вместо Леви при монотонности. Леви даёт сразу равенство, а не неравенство. Применение Фату - потеря информации.
• Забывают, что неравенство одностороннее. Обратное неравенство $\int \liminf \ge \liminf \int$ требует дополнительных условий (мажоранта сверху, равномерная интегрируемость).
• Применяют классическую Фату для $\limsup$. Для $\limsup$ нужна обратная Фату и условие $f_n \le g$ с интегрируемой $g$. Без мажоранты сверху симметричное неравенство ложно.

FAQ

Можно ли заменить $\liminf$ на $\lim$, если $f_n$ сходится? Да, если $f_n \to f$ поточечно почти всюду, то $\liminf f_n = f$ почти всюду, и Фату принимает вид $\int f \, d\mu \le \liminf \int f_n \, d\mu$. Эта форма часто используется как тест: если предельный интеграл нужно оценить снизу, Фату даёт нужное неравенство без мажоранты.

Чем отличаются лемма Фату и теорема Лебега? Фату работает для неотрицательных функций без сходимости и мажоранты, даёт неравенство $\int \liminf \le \liminf \int$. Лебега требует сходимости почти всюду и общей интегрируемой мажоранты $|f_n| \le g$, даёт равенство $\int f_n \to \int f$ и сходимость в $L^1$. DCT - частный случай двойного применения Фату.

Существует ли версия Фату для условных математических ожиданий? Да, для условного математического ожидания $\mathbb{E}[\cdot \mid \mathcal{G}]$ выполнено $\mathbb{E}[\liminf X_n \mid \mathcal{G}] \le \liminf \mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{G}]$ почти наверное для неотрицательных случайных величин. Доказательство повторяет схему интегральной версии, но с условным аналогом MCT.

Коротко

Лемма Фату - фундаментальное неравенство теории меры: для неотрицательных измеримых $f_n$ выполнено $\int \liminf f_n \, d\mu \le \liminf \int f_n \, d\mu$. Доказательство - представление $\liminf$ как $\sup_k \inf_{n \ge k} f_n$ и применение теоремы Леви о монотонной сходимости. По силе предположений Фату - самая «дешёвая» в связке Леви–Фату–Лебега: не требует ни монотонности, ни мажоранты, ни сходимости. Взамен даёт лишь одностороннее неравенство, которое может быть строгим (контрпример - «уезжающий бугорок» $n \mathbb{1}_{[0,1/n]}$, где левая часть равна нулю, а правая - единице). Главные применения: вывод теоремы Лебега о мажорируемой сходимости через двойное применение к $g \pm f_n$, оценка моментов предельных случайных величин, обратная Фату для $\limsup$ с мажорантой сверху.