Математика и алгоритмы
Страница 22 из 24.
Метод Гаусса-Зейделя СЛАУ: формулы и сходимость
Итерационный метод Гаусса-Зейделя для СЛАУ: формулы, условие диагонального преобладания, сравнение с методом Якоби, SOR-релаксация и оптимальный параметр.
Теорема Банаха-Штейнгауза: равномерная ограниченность
Теорема Банаха-Штейнгауза (uniform boundedness principle): поточечная ограниченность семейства операторов в банаховом пространстве влечёт равномерную, доказательство через теорему Бэра.
Квадратичный закон взаимности: золотая теорема Гаусса
Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра: точная формулировка, два дополнения, восемь доказательств, обобщения Якоби, Эйзенштейна и Артина, алгоритм вычисления.
Теорема Морера: обратная к теореме Коши для голоморфности
Теорема Морера: если непрерывная в области даёт по любому треугольнику, то голоморфна. Обратная теоремы Коши, применения и доказательство.
Преобразование Лапласа: ОДУ и системы
Преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений: метод операционного исчисления, учёт начальных условий, разложение на простые дроби и обратное преобразование.
Признак Ермакова: сходимость рядов с логарифмами
Признак Ермакова (1871) для сходимости положительных монотонных рядов через предел : формулировка, примеры с логарифмами, сравнение с Коши.
Симплициальный комплекс: вершины, грани и гомологии
Симплициальный комплекс: симплексы и их грани, цепной комплекс с граничным оператором, группы гомологий и формула Эйлера для поверхностей. Разбираем определения и примеры.
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости: DCT и применения
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости (DCT): условие мажоранты с интегрируемой , переход к пределу под интегралом, доказательство через лемму Фату.
Теорема Борсука-Улама: антиподы, бутерброд и комбинаторика
Теорема Борсука-Улама (1933): для непрерывного отображения сферы в евклидово пространство есть пара антиподов с одинаковым образом. Следствия: ham sandwich, Тверберг, геометрия.
Теорема Дирихле о простых в арифметической прогрессии
Теорема Дирихле 1837 года: в прогрессии a+nd при взаимно простых a и d бесконечно много простых. Идея доказательства через характеры, L-функции и плотность.
Гомотопическая эквивалентность: суть и инварианты
Гомотопическая эквивалентность: отношение на топологических пространствах через непрерывные деформации, отличие от гомеоморфизма, инварианты π_n, H_n, χ и теорема Уайтхеда.
Характеристическая функция в теории вероятностей
Характеристическая функция : преобразование Фурье плотности, моменты через производные, теорема Леви о непрерывности и вывод центральной предельной теоремы.
Разрешимая группа: производный ряд и теория Галуа
Разрешимая группа: производный ряд , стабилизация на тривиальной подгруппе, отличие от нильпотентности, связь с теорией Галуа и Абелем-Руффини.
AVL-дерево: как работает балансировка и ротации
Разбираем, как AVL-дерево восстанавливает баланс после вставки и удаления: инвариант высоты, balance factor и четыре ротации LL, RR, LR, RL за O(log n).
Лемма Йонеды: формулировка, доказательство, вложение
Лемма Йонеды в теории категорий: биекция , представимый функтор , вложение Йонеды и приложения к алгебре и программированию.
Куча Фибоначчи: ленивая структура и амортизация
Куча Фибоначчи: амортизированный на insert и decrease-key, ленивая консолидация при extract-min, потенциал, каскадный cut и применение в алгоритме Дейкстры.
Алгоритм Бойера-Мура-Хорспула: как работает упрощённый BM
Алгоритм Бойера-Мура-Хорспула простыми словами: одна таблица сдвигов по последнему символу окна, среднее время O(n/m), худший случай и сравнение с BM, KMP и Sunday.
Формула обращения Мёбиуса: вывод и применения
Формула обращения Мёбиуса: если , то . Доказательство, тотиент Эйлера, неприводимые многочлены, ряды Дирихле.
Максимальный идеал кольца: определение и свойства
Максимальный идеал кольца: собственный идеал без строго большего собственного над-идеала, факторкольцо как поле, лемма Цорна о существовании, MaxSpec и Nullstellensatz.
Теорема Стоуна-Вейерштрасса: плотность подалгебр в C(K)
Теорема Стоуна-Вейерштрасса: плотность подалгебр в C(K) на компакте, обобщение Вейерштрасса о приближении полиномами, разделение точек, доказательство через решётку.
Венгерский алгоритм: задача о назначениях
Венгерский алгоритм (Hungarian, Кун-Манкр) для задачи о назначениях: минимальное паросочетание в двудольном графе, ЛП-двойственность и сравнение с потоковыми и аукционными методами.
Z-функция строки за O(n): построение и применение
Что такое Z-функция строки, как построить массив за линейное время O(n) с помощью Z-блока, чем она отличается от префикс-функции и какие задачи решает на практике.
Тензор кривизны Римана: формулы, симметрии и роль в ОТО
Тензор кривизны Римана: определение через коммутатор ковариантных производных, формула через символы Кристоффеля, симметрии, тождества Бианки и связь с уравнениями Эйнштейна.
Теорема Гаусса-Бонне: кривизна и эйлерова характеристика
Теорема Гаусса-Бонне в дифференциальной геометрии: , локальная и глобальная версии, связь гауссовой кривизны с топологией поверхностей и классические следствия.