Многозначные функции и ветви: точки ветвления и разрезы

В теории функций комплексного переменного (ТФКП) уже простейшие операции - извлечение корня и логарифмирование - выводят из класса однозначных функций. Уравнение $w^2 = z$ при одном ненулевом $z$ имеет два решения, $w = e^{i\varphi}$ при $z = 1$ - бесконечно много. Так появляются многозначные функции, и чтобы работать с ними как с обычными голоморфными объектами, плоскость разрезают, а на полученной области выделяют ветви. Ниже разберём, что такое точка ветвления, как разрез превращает многозначную функцию в однозначную, чем главная ветвь отличается от остальных и почему обход вокруг особой точки меняет значение.

Что такое многозначная функция и её ветви

Многозначная функция сопоставляет одному значению аргумента $z$ несколько значений $w$. Канонический пример - комплексный логарифм:

$$\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i(\arg z + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Модуль определён однозначно, а аргумент - лишь с точностью до $2\pi k$, поэтому значений бесконечно много. Похожая ситуация у корня $\sqrt[n]{z}$ (ровно $n$ значений) и у степени $z^{\alpha}$ с нецелым $\alpha$.

Ветвь многозначной функции - это однозначная и непрерывная (а на деле голоморфная) функция, заданная в некоторой области и совпадающая в каждой точке с одним из значений исходной многозначной функции. Выделить ветвь - значит непрерывным образом выбрать «один лист» из набора значений так, чтобы не было скачков. Возможность такого выбора зависит от формы области: на всей проколотой плоскости $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ для $\operatorname{Ln} z$ непрерывную ветвь выделить нельзя, а на разрезанной - можно.

Чтобы потренироваться выделять конкретную ветвь и сразу видеть формулу с разрезом, соберите запрос ниже.

Точки ветвления

Точка $z_0$ называется точкой ветвления многозначной функции, если при обходе по достаточно малому замкнутому контуру вокруг $z_0$ значение функции не возвращается к исходному. Формально: непрерывное продолжение вдоль маленькой окружности с центром в $z_0$ переводит одну ветвь в другую.

Различают два типа:

• Точка ветвления конечного порядка (алгебраическая). Для $\sqrt[n]{z - z_0}$ точка $z_0$ имеет порядок $n$: после $n$ обходов значение возвращается. У $\sqrt{z}$ это точки $z = 0$ и $z = \infty$ порядка 2.
• Логарифмическая точка ветвления. Для $\operatorname{Ln}(z - z_0)$ обход вокруг $z_0$ каждый раз прибавляет $2\pi i$, и возврата не происходит никогда - порядок бесконечный.

Важно учитывать и бесконечно удалённую точку $z = \infty$: для $\sqrt{z}$ обе точки $0$ и $\infty$ являются точками ветвления, и разрез обязан их соединять. Точки, не являющиеся точками ветвления, называют точками однозначного характера - вокруг них любая ветвь возвращается к себе.

Разрезы: как сделать функцию однозначной

Чтобы запретить «опасные» обходы и тем самым выделить однозначную ветвь, плоскость разрезают - удаляют из неё кривую (разрез), соединяющую точки ветвления. В разрезанной области ни один замкнутый путь уже не охватывает точку ветвления в одиночку, обход вокруг неё становится невозможным, и непрерывное продолжение однозначно.

Для логарифма и для $\sqrt{z}$ стандартный разрез проводят по лучу - например, по отрицательной вещественной полуоси $(-\infty, 0]$, соединяя точки ветвления $0$ и $\infty$. Тогда в области $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ можно зафиксировать аргумент в пределах $-\pi < \arg z < \pi$ и получить однозначную голоморфную функцию.

Разрез не обязан быть прямым: подойдёт любая жорданова кривая, соединяющая точки ветвления и не пересекающая саму себя. Выбор разреза - вопрос удобства; разные разрезы дают разные области определения, но локально все ветви устроены одинаково. На самом разрезе функция терпит разрыв: значения сверху и снизу от линии разреза отличаются (для корня - знаком, для логарифма - на $2\pi i$).

Главная ветвь логарифма и корня

Среди всех ветвей выделяют главную (главное значение). Для логарифма главная ветвь определяется выбором главного значения аргумента $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]$:

$$\ln z = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z, \quad -\pi < \operatorname{Arg} z \le \pi.$$

Эта ветвь голоморфна в плоскости с разрезом по $(-\infty, 0]$ и удовлетворяет $\ln 1 = 0$. Остальные ветви получаются прибавлением $2\pi i k$.

Главная ветвь корня согласована с логарифмом через $\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2}\ln z}$, так что $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{i} = e^{i\pi/4}$. Аналогично для произвольной степени с нецелым показателем: $z^{\alpha} = e^{\alpha \ln z}$, где $\ln z$ - выбранная ветвь логарифма. Именно поэтому привычные школьные тождества вроде $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ в комплексном случае выполняются не всегда - они зависят от того, попадают ли значения на одну и ту же ветвь.

Аналитическое продолжение вдоль пути и монодромия

Поведение ветвей при обходе точек ветвления формализуется через аналитическое продолжение вдоль кривой. Если задать росток голоморфной функции в точке и непрерывно продолжать его вдоль пути, результат зависит от пути - точнее, от того, как путь огибает точки ветвления.

Теорема о монодромии утверждает: если область односвязна и не содержит точек ветвления, то аналитическое продолжение однозначно - по любым двум путям с общими концами получится одно и то же значение. Разрез как раз и делает область односвязной (точнее, лишает её «дырок» вокруг особенностей), гарантируя однозначность ветви.

Группа всех перестановок ветвей, возникающих при обходах, называется группой монодромии. Для $\sqrt[n]{z}$ она циклическая порядка $n$, для логарифма - бесконечная циклическая ($\mathbb{Z}$). Геометрически согласовать все ветви помогает риманова поверхность - многолистное накрытие плоскости, на котором функция становится однозначной: листы склеены вдоль разрезов, и обход точки ветвления переводит с листа на лист.

Соседний сюжет ТФКП - продолжение функции через границу области отражением; о нём см. принцип симметрии Шварца. А характер особенности, к которой ведёт логарифмическая точка ветвления, по природе ближе к разбору в статье вычет в существенно особой точке.

Частые ошибки

• Считать, что разрез можно провести где угодно, не задумываясь о точках ветвления. Разрез обязан соединять все точки ветвления (включая $z = \infty$), иначе вокруг неизолированной точки останется запрещённый обход и однозначной ветви не выйдет.
• Забывать про точку ветвления на бесконечности. Для $\sqrt{z}$ и $\ln z$ точка $\infty$ - полноценная особенность, и луч $(-\infty, 0]$ соединяет именно $0$ и $\infty$.
• Применять тождество $\sqrt{z_1 z_2} = \sqrt{z_1}\sqrt{z_2}$ или $\ln(z_1 z_2) = \ln z_1 + \ln z_2$ без учёта ветви. В комплексном случае правые и левые части могут отличаться на $2\pi i$ или на знак.
• Путать многозначность с разрывностью. Сама многозначная функция «непрерывна» на римановой поверхности; разрыв возникает только у выбранной ветви и только на линии разреза.
• Полагать, что у любой алгебраической функции конечное число ветвей. Логарифмическая особенность даёт бесконечное число листов, и порядок точки ветвления у неё бесконечен.

FAQ

Чем точка ветвления отличается от обычной особой точки? У обычной изолированной особенности (полюс, устранимая, существенно особая) функция однозначна в проколотой окрестности: обход по контуру возвращает значение. У точки ветвления обход меняет ветвь, поэтому функция там в принципе не однозначна без разреза.

Можно ли выбрать другой разрез вместо отрицательной полуоси? Да. Подойдёт любая кривая, соединяющая точки ветвления и не пересекающая себя, - например, положительная полуось или произвольная дуга. Главная ветвь привязана именно к разрезу по $(-\infty, 0]$, при другом разрезе главное значение аргумента переопределяется.

Зачем нужна риманова поверхность, если хватает разрезов? Разрез удобен для вычислений, но искусственно «рвёт» функцию. Риманова поверхность склеивает все ветви в один гладкий объект, на котором функция глобально однозначна и голоморфна, - это правильный геометрический язык для многозначных функций.

Коротко

Многозначные функции (корень, логарифм, нецелая степень) принимают в одной точке несколько значений; чтобы работать с ними как с голоморфными, выделяют ветви - однозначные непрерывные «листы». Препятствие к однозначности - точки ветвления, вокруг которых обход меняет ветвь; они бывают алгебраическими (конечный порядок) и логарифмическими (бесконечный). Разрез плоскости соединяет точки ветвления и изолирует обходы, после чего на односвязной области ветвь становится однозначной; среди ветвей выделяют главную. Зависимость продолжения от пути описывается монодромией, а геометрически все ветви объединяет риманова поверхность.