Конформное отображение Жуковского: профиль крыла из окружности

Функция Жуковского - это одно из самых наглядных конформных отображений в теории функций комплексного переменного (ТФКП). Заданная простой формулой $w = \tfrac{1}{2}\left(z + \tfrac{1}{z}\right)$, она превращает окружности комплексной плоскости в эллипсы, отрезки и - при правильном выборе центра и радиуса - в характерный профиль крыла самолёта. Именно эта геометрическая особенность сделала конформное отображение Жуковского рабочим инструментом аэродинамики: задачу обтекания крыла сводят к задаче обтекания круга, которая решается элементарно. Ниже разберём саму функцию, образы базовых линий, появление крылового профиля, особые точки и обратное отображение.

Функция Жуковского и её основные свойства

Конформным отображением Жуковского называют функцию

$$w = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right).$$

Она определена на всей плоскости, кроме точки $z = 0$, и голоморфна там, где её производная не обращается в нуль. Вычислим производную:

$$\frac{dw}{dz} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{z^2}\right).$$

Она равна нулю при $z = \pm 1$. В этих двух точках конформность нарушается - отображение перестаёт сохранять углы, и именно там возникает характерная заострённая кромка профиля. Во всех остальных точках $z \neq 0, \pm 1$ функция Жуковского конформна, то есть локально сохраняет углы и ориентацию.

Важное свойство - симметрия относительно единичной окружности: точки $z$ и $1/z$ дают одно и то же значение $w$. Значит, отображение не взаимно однозначно на всей плоскости, но становится таковым, если ограничиться внешностью единичного круга $|z| > 1$ (или, симметрично, его внутренностью). Это и есть рабочая область для построения профиля крыла.

Чтобы потренироваться строить образы конкретных линий и сразу видеть формулу, соберите запрос ниже.

Образы окружностей и отрезков

Удобнее всего понять отображение в полярных координатах. Положим $z = r e^{i\theta}$. Тогда

$$w = \frac{1}{2}\left(r e^{i\theta} + \frac{1}{r} e^{-i\theta}\right),$$

и, выделяя вещественную и мнимую части $w = u + iv$, получаем

$$u = \frac{1}{2}\left(r + \frac{1}{r}\right)\cos\theta, \qquad v = \frac{1}{2}\left(r - \frac{1}{r}\right)\sin\theta.$$

Отсюда сразу читаются образы базовых линий:

• Окружность $|z| = r \neq 1$ переходит в эллипс с полуосями $a = \tfrac{1}{2}\left(r + \tfrac{1}{r}\right)$ и $b = \tfrac{1}{2}\left|r - \tfrac{1}{r}\right|$. Фокусы всех таких эллипсов лежат в точках $\pm 1$, ведь $a^2 - b^2 = 1$.
• Единичная окружность $r = 1$ вырождается: тогда $v = 0$, а $u = \cos\theta$ пробегает отрезок $[-1, 1]$. Окружность «схлопывается» в отрезок вещественной оси.
• Луч $\theta = \mathrm{const}$ переходит в дугу гиперболы с теми же фокусами $\pm 1$, поскольку эллипсы и гиперболы образуют софокусную ортогональную сетку.

Так конформное отображение Жуковского переводит сетку из концентрических окружностей и радиальных лучей в сетку из софокусных эллипсов и гипербол - классическую картину для эллиптических координат.

Профиль крыла Жуковского

Главное прикладное достоинство функции - построение профиля крыла (профиля Жуковского). Идея в том, чтобы взять не окружность с центром в начале координат, а смещённую окружность, проходящую через точку $z = -1$, и подать её на вход отображению.

Пусть центр окружности находится в точке $z_0 = -\delta + i\mu$ (малые $\delta, \mu > 0$), а радиус $R = |1 - z_0|$ подобран так, чтобы окружность проходила через $z = -1$ и охватывала точку $z = 1$ внутри. Тогда:

• В точке $z = -1$, где окружность задевает особую точку отображения, конформность теряется, и образ получает заострённую заднюю кромку - это даёт аэродинамически осмысленный «хвост» профиля.
• Точка $z = 1$ остаётся внутри образа и скругляется в переднюю кромку.
• Смещение центра вверх ($\mu > 0$) создаёт несимметричный, выгнутый профиль с кривизной; смещение влево ($\delta$) задаёт толщину.

В результате окружность отображается в замкнутую гладкую кривую с одной угловой точкой - узнаваемый профиль крыла. Меняя $\delta$ и $\mu$, получают семейство профилей разной толщины и кривизны. Геометрия особых точек $z = \pm 1$ здесь работает так же, как точки разветвления у других многозначных конструкций - подробнее о таком поведении см. многозначные функции и ветви.

Особые точки и обратное отображение

Обратить функцию Жуковского - значит решить относительно $z$ квадратное уравнение $z^2 - 2wz + 1 = 0$, откуда

$$z = w \pm \sqrt{w^2 - 1}.$$

Двузначность корня отражает уже отмеченную симметрию $z \leftrightarrow 1/z$: два знака дают две точки, произведение которых равно $1$. Чтобы сделать обратное отображение однозначным, фиксируют ветвь корня. Подкоренное выражение $w^2 - 1 = (w-1)(w+1)$ имеет точки ветвления $w = \pm 1$ - это образы особых точек $z = \pm 1$. Между ними проводят разрез по отрезку $[-1, 1]$, и тогда на разрезанной плоскости выделяется однозначная голоморфная ветвь, отображающая внешность отрезка во внешность единичного круга.

Выбор знака корня привязывают к нужной области: для аэродинамики берут ветвь, переводящую внешность профиля во внешность круга, чтобы перенести туда известное решение задачи обтекания. Техника продолжения через разрез и согласования значений ветви тесно связана с принципом симметрии Шварца, который позволяет аналитически продолжать функцию через граничный отрезок.

Применение в аэродинамике

Практическая ценность конформного отображения Жуковского - в перенесении решений. Потенциальное безвихревое обтекание кругового цилиндра решается явно: комплексный потенциал известен, циркуляцию подбирают из условия Чаплыгина–Жуковского (сход потока с задней кромки). Конформность отображения гарантирует, что комплексный потенциал переносится на образ без изменений: если $\Phi(z)$ - потенциал обтекания круга, то $\Phi(z(w))$ - потенциал обтекания профиля. Так из элементарной задачи о круге получают распределение скоростей и подъёмную силу реального крылового профиля. Историческая формула Жуковского для подъёмной силы $Y = \rho v \Gamma$ (плотность, скорость, циркуляция) выводится именно на этом пути.

Частые ошибки

• Забывают про особые точки $z = \pm 1$ и удивляются, что углы не сохранились - в этих двух точках конформность отображения принципиально теряется.
• Применяют отображение на всей плоскости и теряют взаимную однозначность: нужно ограничиться внешностью (или внутренностью) единичного круга из-за симметрии $z \leftrightarrow 1/z$.
• Путают, какая точка даёт заострённую кромку: задняя кромка возникает там, где граница окружности проходит через особую точку $z = -1$.
• В обратном отображении не выбирают ветвь корня и проводят разрез не по отрезку $[-1,1]$, получая разрывную функцию.
• Считают, что любая смещённая окружность даёт профиль: она обязана проходить через одну особую точку и охватывать вторую, иначе кромка не образуется.

FAQ

Почему функцию Жуковского называют конформным отображением? Потому что вне особых точек $z = 0, \pm 1$ её производная отлична от нуля, а такое голоморфное отображение локально сохраняет углы между кривыми и ориентацию - это и есть определение конформности.

Во что переходит единичная окружность? В отрезок вещественной оси $[-1, 1]$: на $|z| = 1$ мнимая часть образа обнуляется, а вещественная пробегает значения $\cos\theta$ от $-1$ до $1$.

Зачем смещать центр окружности при построении профиля? Смещение центра задаёт толщину и кривизну профиля и обеспечивает прохождение границы через особую точку $z = -1$, благодаря чему образ получает заострённую заднюю кромку - без смещения вышел бы симметричный отрезок или эллипс.

Коротко

Конформное отображение Жуковского $w = \tfrac{1}{2}\left(z + \tfrac{1}{z}\right)$ переводит окружности в эллипсы, единичную окружность - в отрезок $[-1,1]$, а смещённую окружность через особую точку $z = -1$ - в профиль крыла с заострённой задней кромкой. Конформность теряется лишь в точках $z = \pm 1$; обратное отображение $z = w \pm \sqrt{w^2-1}$ однозначно после разреза по $[-1,1]$. Эта геометрия позволяет переносить решение задачи обтекания круга на крыловой профиль, что и сделало функцию Жуковского основой классической аэродинамики.