Вычет в существенно особой точке: как считать

Вычет в существенно особой точке - это коэффициент $c_{-1}$ в разложении функции в ряд Лорана вокруг этой точки. В отличие от полюса, для существенной особенности нет формулы через предел вида $\lim (z-z_0)^n f(z)$: единственный надёжный способ - выписать ряд Лорана и прочитать нужный коэффициент. Эта статья разбирает, что такое существенно особая точка, чем её вычет отличается от вычета в полюсе, как его аккуратно вычислять на классических примерах $e^{1/z}$ и $\sin(1/z)$, и почему теорема Сохоцкого-Вейерштрасса делает такие точки принципиально иными.

Что такое существенно особая точка

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f$ - это точка, в проколотой окрестности которой $0 < |z - z_0| < R$ функция голоморфна, а в самой $z_0$ - нет. Классификация особых точек опирается на главную часть ряда Лорана (слагаемые с отрицательными степенями):

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n, \qquad 0 < |z - z_0| < R.$$

• Устранимая особенность - главной части нет, все $c_n = 0$ при $n < 0$.
• Полюс порядка $m$ - главная часть конечна, $c_{-m} \neq 0$, а $c_n = 0$ при $n < -m$.
• Существенно особая точка - главная часть бесконечна, то есть среди $c_n$ с $n < 0$ бесконечно много ненулевых.

Именно последний случай нас интересует. Канонический пример - $f(z) = e^{1/z}$ в точке $z_0 = 0$: её разложение содержит все отрицательные степени сразу. Поведение функции около такой точки хаотично, и это формализуется теоремой Сохоцкого-Вейерштрасса (ниже). Чтобы быстро определить тип особенности и сразу собрать вычет конкретной функции, воспользуйся инструментом.

Определение вычета через ряд Лорана

Вычет функции $f$ в изолированной особой точке $z_0$ - это, по определению, коэффициент при $(z - z_0)^{-1}$ в её ряде Лорана:

$$\operatorname{res}_{z_0} f = c_{-1}.$$

Эквивалентное интегральное определение - через контурный интеграл по малой окружности $\gamma$, охватывающей только $z_0$:

$$\operatorname{res}_{z_0} f = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(z)\, dz.$$

Совпадение двух определений следует из того, что при почленном интегрировании ряда Лорана все степени $(z - z_0)^n$ при $n \neq -1$ дают ноль, и только член $c_{-1}(z - z_0)^{-1}$ даёт $2\pi i \cdot c_{-1}$. Подробнее связь интеграла с особенностями разобрана в материале про интегральную теорему Коши.

Ключевой момент: определение вычета одинаково для полюса и для существенной особенности - это всегда $c_{-1}$. Разница только в способе вычисления. Для полюса есть удобные формулы; для существенной особенности их нет, и приходится работать с рядом напрямую.

Почему формула для полюса здесь не работает

Для полюса порядка $m$ вычет считается дифференцированием:

$$\operatorname{res}_{z_0} f = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \bigl[ (z - z_0)^m f(z) \bigr].$$

Эта формула опирается на то, что главная часть конечна: домножение на $(z - z_0)^m$ убирает все отрицательные степени и превращает $f$ в голоморфную функцию, у которой можно брать производные.

В существенно особой точке главная часть бесконечна. Какую бы степень $m$ мы ни выбрали, $(z - z_0)^m f(z)$ всё равно содержит бесконечно много отрицательных степеней - особенность не устраняется. Предел $\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z)$ не существует ни при каком $m$. Поэтому формула для полюса неприменима в принципе, а не «неудобна». Остаётся единственный путь: построить ряд Лорана и выписать $c_{-1}$.

Пример 1: вычет функции $e^{1/z}$

Возьмём $f(z) = e^{1/z}$ в точке $z_0 = 0$. Подставим $1/z$ в стандартное разложение экспоненты $e^w = \sum_{k=0}^{\infty} w^k / k!$:

$$e^{1/z} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\, z^{-k} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!\, z^2} + \frac{1}{3!\, z^3} + \dots$$

Это и есть ряд Лорана. Отрицательных степеней бесконечно много - особенность существенная. Коэффициент при $z^{-1}$ соответствует $k = 1$:

$$\operatorname{res}_{0}\, e^{1/z} = \frac{1}{1!} = 1.$$

Метод универсален: чтобы найти вычет $g(z) = e^{a/z}$, ищем член с $z^{-1}$, он отвечает $k = 1$ и равен $a$, так что $\operatorname{res}_0 e^{a/z} = a$.

Пример 2: вычет функции $\sin(1/z)$ и $\cos(1/z)$

Для $f(z) = \sin(1/z)$ подставим $1/z$ в ряд синуса $\sin w = w - \frac{w^3}{3!} + \frac{w^5}{5!} - \dots$:

$$\sin\frac{1}{z} = \frac{1}{z} - \frac{1}{3!\, z^3} + \frac{1}{5!\, z^5} - \dots$$

Коэффициент при $z^{-1}$ равен $1$, поэтому $\operatorname{res}_0 \sin(1/z) = 1$. А вот $\cos(1/z)$ содержит только чётные отрицательные степени:

$$\cos\frac{1}{z} = 1 - \frac{1}{2!\, z^2} + \frac{1}{4!\, z^4} - \dots,$$

члена с $z^{-1}$ нет, значит $\operatorname{res}_0 \cos(1/z) = 0$. Обе точки существенно особые (бесконечная главная часть), но вычет может оказаться нулевым - нулевой вычет вовсе не означает, что особенность устранимая или полюс.

Пример 3: произведения и комбинации

Часто нужен вычет произведения голоморфной функции на функцию с существенной особенностью, например $f(z) = z^2 e^{1/z}$. Умножаем известный ряд на $z^2$:

$$z^2 e^{1/z} = z^2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{-k}}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2-k}}{k!}.$$

Член с $z^{-1}$ возникает при $2 - k = -1$, то есть $k = 3$:

$$\operatorname{res}_0\, z^2 e^{1/z} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}.$$

Тот же приём работает для $e^{1/z}/(1 - z)$, $\sin(1/z)\cdot \cos z$ и подобных: разложить голоморфный множитель в ряд Тейлора вокруг $z_0$, перемножить ряды и собрать все вклады в коэффициент при $(z - z_0)^{-1}$. Перемножение рядов - обычная свёртка коэффициентов, главное не потерять ни одного слагаемого, дающего нужную степень.

Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса

Почему существенно особые точки выделяются среди всех особенностей? Ответ даёт теорема, описывающая дикое поведение функции около них.

Теорема (Сохоцкий-Вейерштрасс). Если $z_0$ - существенно особая точка функции $f$, то для любого $w \in \mathbb{C}$ найдётся последовательность $z_n \to z_0$, такая что $f(z_n) \to w$. Иначе говоря, образ любой проколотой окрестности $z_0$ всюду плотен в $\mathbb{C}$.

Это резкий контраст с полюсом, где $f(z) \to \infty$ единообразно, и с устранимой особенностью, где предел конечен. Около существенной особенности функция «успевает» подойти сколь угодно близко к любому комплексному числу. Усиление этого факта - великая теорема Пикара: в любой проколотой окрестности существенно особой точки функция принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз, за возможным исключением одного значения. Для $e^{1/z}$ исключение - это $0$: уравнение $e^{1/z} = 0$ решений не имеет, а любое другое значение достигается бесконечно часто.

Связь с вычетом косвенная, но важная для понимания: именно бесконечность главной части ряда Лорана отвечает и за дикое поведение по Сохоцкому-Вейерштрассу, и за невозможность вычислить $c_{-1}$ предельными формулами. Это две стороны одного факта.

Вычет на бесконечности

Отдельный сюжет - вычет в бесконечно удалённой точке $z = \infty$, которая для многих функций оказывается существенно особой. Он определяется так:

$$\operatorname{res}_{\infty} f = -\frac{1}{2\pi i} \oint_{|z| = R} f(z)\, dz = -c_{-1},$$

где $c_{-1}$ - коэффициент при $z^{-1}$ в разложении $f$ в окрестности бесконечности (по убывающим степеням $z$). Знак минус возникает из ориентации контура. Полезное следствие - теорема о полной сумме вычетов: для функции, голоморфной всюду, кроме конечного набора особых точек, сумма всех вычетов (включая вычет на бесконечности) равна нулю. Это часто позволяет найти трудный вычет через сумму остальных, что роднит технику с подсчётом нулей и полюсов в теореме Руше.

Частые ошибки

• Применяют формулу полюса к существенной особенности. Для $e^{1/z}$ нет конечного порядка, формула с производными $(z-z_0)^m f(z)$ бессмысленна. Только ряд Лорана.
• Путают точку разложения экспоненты. Подставлять $1/z$ нужно в ряд $e^w = \sum w^k/k!$, а не пытаться разложить $e^{1/z}$ по Тейлору вокруг $z_0 = 0$ - там функция даже не определена.
• Берут не тот коэффициент. Вычет - это $c_{-1}$, коэффициент именно при $(z - z_0)^{-1}$, а не свободный член, не $c_{-2}$ и не сумма главной части.
• Считают нулевой вычет признаком отсутствия особенности. У $\cos(1/z)$ вычет в нуле равен нулю, но точка существенно особая - главная часть бесконечна.
• Забывают про голоморфный множитель. В $z^2 e^{1/z}$ домножение сдвигает все степени: член с $z^{-1}$ берётся уже из $k = 3$, а не из $k = 1$.

FAQ

Можно ли найти вычет в существенно особой точке без ряда Лорана? В общем случае нет. Иногда помогает интегральное определение $\frac{1}{2\pi i}\oint f\, dz$, если интеграл удаётся взять другими средствами, или теорема о сумме всех вычетов (включая бесконечность). Но прямой предельной формулы, как для полюса, не существует - бесконечная главная часть это исключает.

Чем существенная особенность отличается от полюса по поведению функции? В полюсе $f(z) \to \infty$ при $z \to z_0$ по любому пути. В существенно особой точке предела нет вовсе: по теореме Сохоцкого-Вейерштрасса функция в любой окрестности подходит сколь угодно близко к любому комплексному числу, а по теореме Пикара принимает почти все значения бесконечно часто.

Всегда ли вычет в существенно особой точке отличен от нуля? Нет. Вычет - лишь один коэффициент $c_{-1}$ бесконечного ряда. У $\cos(1/z)$ он равен нулю, хотя особенность существенная. Существенность определяется бесконечностью всей главной части, а не конкретно вычетом.

Коротко

Вычет в существенно особой точке $z_0$ - это коэффициент $c_{-1}$ при $(z - z_0)^{-1}$ в ряде Лорана, как и для любой изолированной особенности. Отличие в том, что главная часть бесконечна, поэтому предельные формулы полюса (с домножением на $(z-z_0)^m$ и дифференцированием) неприменимы - единственный надёжный путь - выписать ряд Лорана и прочитать нужный коэффициент. Для $e^{1/z}$ вычет равен $1$, для $\sin(1/z)$ - $1$, для $\cos(1/z)$ - $0$, для $z^2 e^{1/z}$ - $1/6$. Дикое поведение функции около таких точек описывают теоремы Сохоцкого-Вейерштрасса и Пикара; для вычета на бесконечности работает теорема о нулевой сумме всех вычетов.