Теорема Руше: подсчёт нулей аналитической функции

Теорема Руше - рабочий инструмент комплексного анализа, который позволяет считать нули аналитической функции не вычисляя их, а сравнивая «доминирующий» член $f$ с «возмущением» $g$. На контуре проверяют одно неравенство $|g(z)| < |f(z)|$ - и сразу получают, что $f+g$ имеет внутри ровно столько нулей, сколько $f$. Это коренное свойство используется в новом доказательстве основной теоремы алгебры, в локализации корней многочленов в кольцах и в оценках устойчивости спектра.

Формулировка теоремы Руше

Пусть $f$ и $g$ голоморфны в области, содержащей замкнутый кусочно-гладкий простой контур $C$ и его внутренность $D$. Если на самом контуре выполнено строгое неравенство

$|g(z)| < |f(z)| \quad \text{для всех } z \in C,$

то функции $f$ и $f+g$ имеют одинаковое число нулей в $D$, считая каждый с учётом его кратности. Ноль $z_0$ кратности $m$ даёт вклад $m$ в общий счёт.

Условие строгости важно: при $|g|=|f|$ хотя бы в одной точке контура аргумент функции $f+g$ может «зацепить» начало координат, и подсчёт сорвётся. Условие голоморфности - внутри $D$, не только на контуре. Полюсов внутри быть не должно (иначе используют обобщение через принцип аргумента с поправкой на полюса).

Набросок доказательства через принцип аргумента

Принцип аргумента утверждает: для голоморфной функции $h$ без нулей на $C$

$\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{h'(z)}{h(z)}\, dz = N_h,$

где $N_h$ - число нулей внутри $C$ с учётом кратности. Геометрически левая часть - это число оборотов кривой $h(C)$ вокруг нуля.

Рассмотрим семейство $h_t(z) = f(z) + t\,g(z)$ при $t \in [0,1]$. На контуре $|h_t(z)| \geq |f(z)| - t|g(z)| \geq |f(z)| - |g(z)| > 0$, значит, $h_t$ не обращается в нуль на $C$ ни при каком $t$. Следовательно, число $N_{h_t}$ - целочисленная непрерывная функция от $t$, то есть константа. При $t=0$ оно равно $N_f$, при $t=1$ - равно $N_{f+g}$. Значит, $N_f = N_{f+g}$.

Как применять: выбор доминирующего члена

Алгоритм решения задач на локализацию корней почти всегда один и тот же.

1. Зафиксировать контур $C$ - обычно окружность $|z|=R$.
2. Разбить исследуемую функцию $p$ на сумму $p = f + g$ так, чтобы один член $f$ имел понятные нули и доминировал по модулю на $C$.
3. Оценить $|g(z)|$ сверху и $|f(z)|$ снизу на контуре с помощью неравенства треугольника.
4. Если $|g| < |f|$, заключить, что $p$ имеет столько же нулей внутри, сколько $f$.

Если разбиение не проходит - пересобрать его (поменять, какой член считать главным, изменить $R$, перейти к кольцу как разности двух кругов).

Пример: число корней $z^4 - 5z + 1$ в круге $|z|<1$

Берём $f(z) = -5z$, $g(z) = z^4 + 1$. На окружности $|z|=1$:

$|f(z)| = 5, \qquad |g(z)| \leq |z|^4 + 1 = 2.$

Неравенство $|g|<|f|$ выполнено. У $f(z) = -5z$ ровно один нуль внутри $|z|<1$ (это $z=0$, кратность 1). Значит, $z^4 - 5z + 1$ имеет ровно один корень в круге $|z|<1$.

Пример: тот же многочлен в кольце $1<|z|<2$

Проверим круг $|z|<2$. Возьмём $f(z) = z^4$, $g(z) = -5z + 1$. На $|z|=2$:

$|f(z)| = 16, \qquad |g(z)| \leq 5\cdot 2 + 1 = 11.$

Неравенство выполнено, $f(z)=z^4$ имеет 4 нуля в $|z|<2$ (нуль кратности 4 в точке $z=0$). Значит, во всём круге $|z|<2$ многочлен имеет 4 корня. Вычитая один корень из $|z|<1$, получаем: в кольце $1<|z|<2$ лежит ровно три корня многочлена $z^4 - 5z + 1$.

Новое доказательство основной теоремы алгебры

Пусть $p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_0$, $a_n \neq 0$. Выберем $f(z) = a_n z^n$, $g(z) = a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_0$. На окружности $|z|=R$

$\frac{|g(z)|}{|f(z)|} \leq \frac{|a_{n-1}|}{|a_n| R} + \dots + \frac{|a_0|}{|a_n| R^n} \to 0$

при $R \to \infty$. Значит, для достаточно большого $R$ выполнено $|g|<|f|$ на $|z|=R$. У $f(z) = a_n z^n$ ровно $n$ нулей в $|z|<R$ (нуль кратности $n$ в точке $z=0$). По теореме Руше у $p$ внутри тот же набор - ровно $n$ нулей в $\mathbb{C}$. Это и есть основная теорема алгебры.

Подсчёт нулей $z^n + p(z)$ при малом возмущении

Если $p$ - многочлен степени меньше $n$ и на единичной окружности выполнено $|p(z)|<1$, то $z^n + p(z)$ имеет ровно $n$ нулей в $|z|<1$. Берём $f(z) = z^n$, $g(z) = p(z)$. Условие $|g| < |f| = 1$ на $|z|=1$ задано напрямую, и $f$ даёт нуль кратности $n$ в начале. Эту конструкцию используют, чтобы доказывать, что возмущение полинома малой нормой не выкидывает корни за пределы круга.

Симметричная (обобщённая) форма теоремы Руше

Эстерле и Глейзер заметили, что условие $|g|<|f|$ можно ослабить до симметричного

$|f(z) + g(z)| < |f(z)| + |g(z)| \quad \text{на } C.$

Это эквивалентно тому, что $f(z)$ и $-g(z)$ нигде на контуре не сонаправлены как векторы. Симметричная форма удобна, когда заранее не ясно, какой из членов «главный»: проверка через сонаправленность часто проще, чем сравнение модулей. Заключение прежнее - $f$ и $f+g$ имеют одинаковое число нулей внутри.

Отличие от принципа аргумента и теоремы об обратной функции

Теорема Руше - это следствие принципа аргумента в удобной упаковке. Принцип аргумента считает нули и полюса через интеграл от логарифмической производной и работает для функций с полюсами. Руше выгоднее, когда полюсов нет и есть удобное разбиение $p=f+g$: не нужно считать интеграл, достаточно одного неравенства на контуре.

Теорема об обратной функции отвечает на другой вопрос - локальная обратимость в окрестности точки, где $f'\neq 0$. Руше говорит про глобальный счёт нулей в области и не требует ничего знать о производной.

Частые ошибки

• Берут неравенство нестрогим: $|g|\leq|f|$. На границе допустимо обращение $f+g$ в нуль на $C$, и подсчёт нулей внутри становится некорректным.
• Подбирают $f$ так, что у него самого нет нулей внутри $D$, и тогда теорема Руше даёт тривиальный ответ «нулей нет», но при $|g|>|f|$ на части контура заключение неверно - нужно проверять неравенство на всём $C$, не в одной точке.
• Забывают учесть кратность: у $f(z)=z^n$ внутри $|z|<R$ не один, а $n$ нулей.
• Используют теорему для функций с полюсами внутри контура - нужен принцип аргумента с поправкой $N - P$, а не Руше в чистом виде.
• Пытаются применить теорему к функциям, голоморфным только на контуре, но не во всей внутренности - условие голоморфности в $\overline{D}$ обязательно.

FAQ

В чём разница между теоремой Руше и принципом аргумента? Принцип аргумента - общий: считает $N-P$ через интеграл от $h'/h$ по контуру для мероморфной $h$. Теорема Руше - частный случай для голоморфных функций без полюсов, в котором интеграл заменён на простое сравнение модулей $|g|<|f|$.

Можно ли применять теорему Руше к трансцендентным функциям? Да. Условия - голоморфность в окрестности замкнутого контура и строгое неравенство модулей на нём. Например, для $f(z) = z$ и $g(z) = \sin z$ на $|z|=1$ имеем $|g|\leq \sinh 1 < 1 = |f|$, значит, $z+\sin z$ имеет один ноль в $|z|<1$.

Что делать, если на контуре $|g|=|f|$ в одной точке? Сдвинуть контур: взять $|z|=R\pm\varepsilon$ при малом $\varepsilon$. Если на сдвинутом контуре строгое неравенство выполнено, ответ распространяется по непрерывности (нули $p$ не лежат точно на $|z|=R$ при типичной задаче).

Коротко

Теорема Руше - это компактная переформулировка принципа аргумента: на контуре сравнивают модули двух слагаемых, а внутри получают равенство числа нулей. Главное умение - правильно выбрать «доминирующий» член $f$, у которого нули известны, и оценить «возмущение» $g$ сверху. На этом построены доказательство основной теоремы алгебры, локализация корней многочленов в круге и кольце и оценки устойчивости спектра при возмущении коэффициентов.