Как рассчитать пружину растяжения: жёсткость и зацеп

Дано: витая цилиндрическая пружина растяжения, диаметр проволоки $d = 4$ мм, средний диаметр витка $D = 20$ мм, число рабочих витков $n = 10$, модуль сдвига $G = 8 \cdot 10^4$ МПа, сила предварительного натяжения $F_0 = 60$ Н, рабочая нагрузка $F = 300$ Н. Допускается $[\tau] = 400$ МПа в витках и $[\sigma] = 720$ МПа в зацепе. Найти: жёсткость, удлинение и напряжения в двух опасных местах.

Пружина растяжения считается теми же тремя формулами, что и пружина сжатия, но с двумя поправками: удлинение отсчитывается от силы натяга, а проверять приходится не только витки, но и зацеп. Ответ: $c = 32{,}0$ Н/мм, удлинение $\lambda = 7{,}5$ мм, $\tau = 312{,}9$ МПа в витках и $\sigma = 584{,}9$ МПа в зацепе. Калькулятор сверху открыт на этих числах: подними ползунок натяга и увидишь, как вся характеристика уезжает вверх, а удлинение тает.

Решение по шагам

Дано.

Найти: жёсткость $c$, удлинение $\lambda$, напряжения в витках и в зацепе, длину пружины.

Шаг 1. Индекс пружины и поправка на кривизну витка. Индекс показывает, насколько круто загнута проволока, и от него зависит поправочный коэффициент по формуле Валя:

$$i = \frac{D}{d} = \frac{20}{4} = 5, \qquad k = \frac{4i - 1}{4i - 4} + \frac{0{,}615}{i} = \frac{19}{16} + \frac{0{,}615}{5} = 1{,}3105.$$

Индекс попал в рабочий диапазон $4 \ldots 12$, а в справочных таблицах поправку округляют до $1{,}311$.

Шаг 2. Жёсткость. Формула витой пружины одна и та же на растяжение и на сжатие: проволока в обоих случаях работает на кручение, а знак нагрузки роли не играет.

$$c = \frac{G d^4}{8 D^3 n} = \frac{8 \cdot 10^4 \cdot 4^4}{8 \cdot 20^3 \cdot 10} = \frac{2{,}048 \cdot 10^7}{6{,}4 \cdot 10^5} = 32{,}0 \ \text{Н}/\text{мм}.$$

Размеры подставлены в миллиметрах, а модуль сдвига в мегапаскалях, то есть в ньютонах на квадратный миллиметр, поэтому жёсткость сразу выходит в Н/мм.

Шаг 3. Удлинение с учётом натяга. Вот здесь расчёт расходится с пружиной сжатия. Витки навиты вплотную и с натягом, поэтому первые $60$ Н уходят на то, чтобы их разжать, и в перемещение не превращаются:

$$\lambda = \frac{F - F_0}{c} = \frac{300 - 60}{32{,}0} = 7{,}5 \ \text{мм}.$$

Если про натяг забыть и поделить всю силу на жёсткость, выйдет $9{,}375$ мм, то есть ошибка на 25 %. Накопленная работа равна $U = (F + F_0) \lambda / 2 = 1350$ Н·мм, около $1{,}35$ Дж.

Шаг 4. Проверка витков на кручение. Проволока тела пружины нагружена так же, как в пружине сжатия: сила смещена относительно оси проволоки на $D/2$, и в сечении возникает крутящий момент.

$$\tau = k \, \frac{8 F D}{\pi d^3} = 1{,}3105 \cdot \frac{8 \cdot 300 \cdot 20}{3{,}1416 \cdot 4^3} = 1{,}3105 \cdot 238{,}7 = 312{,}9 \ \text{МПа} \le 400 \ \text{МПа}.$$

Загрузка 78 % допускаемого, но это ещё не ответ о прочности пружины.

Шаг 5. Проверка зацепа на изгиб. В петле проволока перестаёт быть скрученным стержнем: сила тянет вдоль оси пружины, а сечение зацепа отстоит от линии действия силы, и появляется изгибающий момент. Радиус кольцевого зацепа равен радиусу витка, поэтому его параметр кривизны совпадает с индексом пружины:

$$C_1 = \frac{2 r_1}{d} = \frac{D}{d} = 5, \qquad K_A = \frac{4 C_1^2 - C_1 - 1}{4 C_1 (C_1 - 1)} = \frac{94}{80} = 1{,}175.$$

К изгибу добавляется обычное растяжение проволоки силой $F$, распределённое по площади сечения:

$$\sigma = K_A \frac{16 F D}{\pi d^3} + \frac{4 F}{\pi d^2} = 1{,}175 \cdot 477{,}5 + 23{,}9 = 561{,}0 + 23{,}9 = 584{,}9 \ \text{МПа} \le 720 \ \text{МПа}.$$

Загрузка 81 % против 78 % в витках: самое нагруженное место пружины растяжения находится не в теле, а в петле.

Шаг 6. Боковой гиб зацепа и предельная сила. Там, где петля отгибается вбок, проволока опять работает на кручение, но с более крутым радиусом. При радиусе гиба $r_2 = 2d = 8$ мм получается:

$$C_2 = \frac{2 r_2}{d} = 4, \qquad K_B = \frac{4 C_2 - 1}{4 C_2 - 4} = 1{,}25, \qquad \tau_B = K_B \frac{8 F D}{\pi d^3} = 298{,}4 \ \text{МПа}.$$

Напряжения линейны по силе, поэтому предельную нагрузку находят делением допускаемых значений на напряжение, приходящееся на один ньютон: по виткам получается $400 / 1{,}043 = 383{,}6$ Н, по зацепу $720 / 1{,}950 = 369{,}3$ Н. Меньшее и есть предел: $F_{\max} = 369$ Н, слабое звено - зацеп.

Шаг 7. Длина пружины. Шага у пружины растяжения нет, витки тела лежат вплотную, поэтому длина тела считается по числу витков напрямую: $L_{\text{т}} = (n + 1) d = 11 \cdot 4 = 44$ мм. Два кольцевых зацепа добавляют примерно по одному среднему диаметру витка каждый, то есть длина в свободном состоянии $L_0 = 44 + 2 \cdot 20 = 84$ мм, а под рабочей нагрузкой $L = L_0 + \lambda = 91{,}5$ мм.

Ответ. Жёсткость $c = 32{,}0$ Н/мм, удлинение под силой 300 Н равно $7{,}5$ мм, касательное напряжение в витках $312{,}9$ МПа при допускаемых 400 МПа, напряжение изгиба в зацепе $584{,}9$ МПа при допускаемых 720 МПа. Предельная сила 369 Н ограничена зацепом. Длина в свободном состоянии 84 мм, под нагрузкой $91{,}5$ мм.

Откуда берётся сила предварительного натяжения

Пружину растяжения навивают витком к витку, и при этом в проволоке остаются напряжения от самой навивки: виток давит на виток. Чтобы витки начали расходиться, внешняя сила должна сперва преодолеть это давление - его и называют силой предварительного натяжения $F_0$. До неё пружина ведёт себя как жёсткий стержень, после неё становится обычной линейной пружиной.

Отсюда и вид характеристики на графике сверху: она не выходит из начала координат, а стартует с вертикального участка высотой $F_0$. Прямая описывается как $F = F_0 + c \lambda$, то есть жёсткость по-прежнему задаёт наклон, но отсекается ненулевой отрезок. У пружины сжатия такого участка нет вовсе, её характеристика идёт из нуля, и в этом расчёт пружины сжатия проще.

В задачах натяг обычно задан, а на практике его получают из двух замеров. Нагрузили пружину силой $F_1$ и получили удлинение $\lambda_1$, затем $F_2$ и $\lambda_2$. Жёсткость находится как отношение разностей $c = (F_2 - F_1) / (\lambda_2 - \lambda_1)$, а натяг - обратным ходом: $F_0 = F_1 - c \lambda_1$. Для нашей пружины пара замеров 120 Н при $1{,}875$ мм и 300 Н при $7{,}5$ мм даёт ровно 32 Н/мм и 60 Н.

Величину натяга задают не произвольно: чем плотнее навивка и меньше индекс, тем выше остаточные напряжения, которые удаётся заложить, а сам натяг в пересчёте на напряжение обычно укладывается в 50-130 МПа.

Зацеп: почему он и есть слабое место

В нашей задаче тело пружины загружено на 78 % допускаемого, а зацеп на 81 %, и это типичная картина: у большинства пружин растяжения разрушение начинается с петли. Причины две. Первая - изгиб: в теле проволока работает только на кручение, а в зацепе к кручению добавляется изгибающий момент, и коэффициент перед основной формулой удваивается ($16FD$ против $8FD$). Вторая - технология: тело упрочняют дробью и заневоливанием, а зацеп после гибки этих операций не получает.

Отсюда практические выводы. Радиус бокового гиба берут не меньше двух диаметров проволоки: при $r_2 = 2d$ поправка $K_B$ равна $1{,}25$, а при $r_2 = d$ она вырастает до $1{,}75$, и напряжение в гибе поднимается до $417{,}8$ МПа, то есть выходит за допускаемые 400. Укороченный зацеп с вдвое меньшим радиусом петли поднимает $K_A$ с $1{,}175$ до $1{,}433$, то есть добавляет к напряжению почти пятую часть. Если нагрузка велика, петлю вообще не делают: в торец пружины ввинчивают резьбовую пробку, и проверка на изгиб отпадает - переключи чипы в калькуляторе и сравни.

Разница между двумя типами витых пружин удобно укладывается в таблицу.

Обратная задача: сколько витков под заданное удлинение

Чаще на курсовом задают не готовую пружину, а требование: обеспечить силу $F$ при заданном ходе. Пусть нужно то же усилие 300 Н при натяге 60 Н, но удлинение должно составить 10 мм. Требуемая жёсткость считается сразу: $c = (300 - 60) / 10 = 24$ Н/мм.

Диаметр проволоки и диаметр витка уже проверены по прочности на шаге 5, менять их не нужно, поэтому остаётся число витков. Формула жёсткости разворачивается обратным ходом:

$$n = \frac{G d^4}{8 D^3 c} = \frac{2{,}048 \cdot 10^7}{8 \cdot 8000 \cdot 24} = 13{,}33 \ \to \ 13{,}5 \ \text{витка}.$$

Витки округляют до половины, после чего жёсткость пересчитывают по факту: $c = 23{,}70$ Н/мм, удлинение $10{,}13$ мм вместо требуемых 10. Расхождение в пределах пары процентов нормально и оговаривается одной строкой в пояснительной записке. Напряжения при этом не изменились: в формулы для $\tau$ и $\sigma$ число витков не входит вовсе, поэтому прочность пружины растяжения от длины не зависит - только ход.

Заодно вырастет длина: тело станет $(13{,}5 + 1) \cdot 4 = 58$ мм, свободная длина 98 мм. Модуль сдвига для нестальной проволоки берут из закона Гука при сдвиге, а работа проволоки на кручение разобрана в материале про кручение круглого вала.

Частые ошибки

• Делят всю силу на жёсткость. Формула $\lambda = F / c$ верна для пружины сжатия, но для пружины растяжения завышает ход на величину $F_0 / c$: здесь это $1{,}875$ мм, или 25 % ответа.
• Берут наружный диаметр вместо среднего. В чертеже стоит $D_{\text{нар}}$, а в формулы идёт $D = D_{\text{нар}} - d$. Разница 24 мм против 20 мм занижает жёсткость в $1{,}73$ раза, потому что диаметр входит в куб.
• Проверяют только витки. Самое нагруженное сечение почти всегда в зацепе, и пружина, проходящая по касательным напряжениям с запасом, может сломаться по петле на первом же цикле.
• Считают зацеп по формуле кручения. В петле проволока изгибается, а не скручивается, и в числителе стоит $16FD$, а не $8FD$: разница ровно вдвое.
• Смешивают допускаемые напряжения. Касательное и изгибное допускаемые значения различаются почти вдвое, подставить $[\tau]$ в проверку зацепа - значит забраковать годную пружину.
• Подставляют модуль сдвига в гигапаскалях. При размерах в миллиметрах $G$ нужен в МПа, иначе жёсткость уходит в тысячу раз.

FAQ

Чем отличается формула жёсткости пружины растяжения от пружины сжатия? Ничем: $c = G d^4 / (8 D^3 n)$ работает одинаково, потому что проволока в обоих случаях скручивается. Различаются точка отсчёта перемещения и набор проверок на прочность.

Как понять, есть ли у пружины предварительный натяг? Посмотри на витки в свободном состоянии: если между ними нет зазора и пальцами их не развести, натяг есть. Численно он находится по двум замерам силы и удлинения.

Какое число витков считать рабочим? Работают все витки тела: поджатых опорных витков, как в пружине сжатия, здесь нет, а в петли уходит проволока за пределами тела. Длина тела при плотной навивке равна $(n + 1) d$.

Можно ли растягивать пружину до соприкосновения с упором? Максимальное удлинение ограничено не геометрией, как у сжатия, а прочностью зацепа: здесь предел наступает при 369 Н, то есть при удлинении $9{,}7$ мм. Запас по опасному сечению оценивают так же, как при подборе сечения балки.

Коротко

1. Найди индекс $i = D / d$ по среднему диаметру витка и поправку Валя: здесь $20 / 4 = 5$ и $k = 1{,}3105$.
2. Посчитай жёсткость $c = G d^4 / (8 D^3 n) = 32{,}0$ Н/мм - формула та же, что у пружины сжатия.
3. Вычти натяг и только потом дели: $\lambda = (F - F_0) / c = (300 - 60) / 32 = 7{,}5$ мм.
4. Проверь витки на кручение: $\tau = k \cdot 8 F D / (\pi d^3) = 312{,}9$ МПа против допускаемых 400 МПа.
5. Проверь зацеп на изгиб: $\sigma = K_A \cdot 16 F D / (\pi d^3) + 4F / (\pi d^2) = 584{,}9$ МПа против 720 МПа. Предельная сила 369 Н, слабое звено - зацеп, длина пружины 84 мм в свободном состоянии и $91{,}5$ мм под нагрузкой.