Как рассчитать пружину сжатия: жёсткость и осадка

Дано: витая цилиндрическая пружина сжатия, диаметр проволоки $d = 4$ мм, средний диаметр витка $D = 25$ мм, число рабочих витков $n = 8$, материал сталь 60С2А с модулем сдвига $G = 8 \cdot 10^4$ МПа и допускаемым касательным напряжением $[\tau] = 480$ МПа, рабочая нагрузка $F = 300$ Н. Найти: жёсткость, осадку под нагрузкой и максимальное касательное напряжение в проволоке.

Расчёт пружины сжатия укладывается в три формулы подряд: индекс пружины, жёсткость и напряжение кручения в проволоке с поправкой на кривизну витка. Ответ: $c = 20{,}48$ Н/мм, осадка $\lambda = 14{,}65$ мм, $\tau = 370{,}4$ МПа при допускаемых $480$ МПа. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: сдвинь ползунок диаметра проволоки на десятую долю миллиметра и увидишь, насколько резко реагирует жёсткость.

Решение по шагам

Дано.

Найти: жёсткость $c$, осадку $\lambda$, максимальное касательное напряжение $\tau$, шаг витка и высоту пружины.

Шаг 1. Индекс пружины. С него начинают любой расчёт: индекс показывает, насколько виток «крутой», и от него зависит поправка на кривизну.

$$i = \frac{D}{d} = \frac{25}{4} = 6{,}25.$$

Значение попало в рабочий диапазон $4 \ldots 12$. Пружины с индексом меньше четырёх тяжело навивать, а больше двенадцати получаются слишком податливыми и теряют устойчивость.

Шаг 2. Жёсткость. Основная формула витой цилиндрической пружины связывает жёсткость с четвёртой степенью диаметра проволоки и с кубом диаметра витка:

$$c = \frac{G d^4}{8 D^3 n} = \frac{8 \cdot 10^4 \cdot 4^4}{8 \cdot 25^3 \cdot 8} = \frac{2{,}048 \cdot 10^7}{10^6} = 20{,}48 \ \text{Н}/\text{мм}.$$

Все размеры здесь в миллиметрах, а модуль сдвига в мегапаскалях, то есть в ньютонах на квадратный миллиметр, поэтому жёсткость сразу выходит в ньютонах на миллиметр.

Шаг 3. Осадка под рабочей нагрузкой. Пружина линейна, пока витки не сомкнулись, так что осадка получается прямым делением:

$$\lambda = \frac{F}{c} = \frac{300}{20{,}48} = 14{,}65 \ \text{мм}.$$

Заодно считается запасённая энергия: $U = F \lambda / 2 = 300 \cdot 14{,}65 / 2 = 2197$ Н·мм, то есть около $2{,}2$ Дж.

Шаг 4. Коэффициент кривизны. Виток пружины не прямой стержень: внутреннее волокно короче наружного, и напряжение на нём выше расчётного. Поправку берут по формуле Валя:

$$k = \frac{4 i - 1}{4 i - 4} + \frac{0{,}615}{i} = \frac{24}{21} + \frac{0{,}615}{6{,}25} = 1{,}143 + 0{,}098 = 1{,}241.$$

Шаг 5. Проверка на прочность. Проволока пружины сжатия работает не на сжатие, а на кручение, поэтому в проверке стоят касательные напряжения:

$$\tau = k \, \frac{8 F D}{\pi d^3} = 1{,}241 \cdot \frac{8 \cdot 300 \cdot 25}{3{,}1416 \cdot 4^3} = 1{,}241 \cdot 298{,}4 = 370{,}4 \ \text{МПа} \le 480 \ \text{МПа}.$$

Загрузка составляет 77 % допускаемого, условие прочности выполнено.

Шаг 6. Шаг витка и высоты. Опорные витки поджимают и сошлифовывают, поэтому полное число витков $n_1 = n + 1{,}5 = 9{,}5$, а высота при полном сжатии равна $H_{\text{с}} = (n_1 - 0{,}5) d = 9 \cdot 4 = 36$ мм. Под рабочей нагрузкой между витками должен остаться зазор не меньше $0{,}1 d$ на виток, отсюда шаг:

$$t \ge d + \frac{\lambda}{n} + 0{,}1 d = 4 + 1{,}83 + 0{,}4 = 6{,}23 \ \text{мм}, \quad \text{принимаем } t = 6{,}25 \ \text{мм}.$$

Тогда осадка до соприкосновения витков $\lambda_3 = n (t - d) = 8 \cdot 2{,}25 = 18$ мм, а высота в свободном состоянии $H_0 = H_{\text{с}} + \lambda_3 = 36 + 18 = 54$ мм. Полному сжатию отвечает сила $F_3 = c \lambda_3 = 368{,}6$ Н и напряжение $455$ МПа: даже сжатая до смыкания витков пружина остаётся в пределах допускаемого. Гибкость $H_0 / D = 54 / 25 = 2{,}16 < 2{,}5$, направляющий стержень не нужен.

Ответ. Жёсткость $c = 20{,}48$ Н/мм, осадка под нагрузкой 300 Н $\lambda = 14{,}65$ мм, максимальное касательное напряжение $\tau = 370{,}4$ МПа при допускаемых 480 МПа. Геометрия: шаг $6{,}25$ мм, высота в свободном состоянии 54 мм, при полном сжатии 36 мм.

Откуда берётся формула жёсткости

Формулу $c = G d^4 / (8 D^3 n)$ не нужно заучивать, она собирается из одной картинки. Разрежем виток мысленно поперёк: внешняя сила $F$ действует по оси пружины, а сечение проволоки отстоит от этой оси на $D/2$. Значит, в сечении возникает крутящий момент $T = F D / 2$ и небольшая перерезывающая сила, которой в первом приближении пренебрегают.

Дальше работает обычная теория кручения круглого стержня: угол закручивания пропорционален моменту, длине и обратно пропорционален модулю сдвига и полярному моменту инерции $\pi d^4 / 32$. Развёрнутая длина рабочей части пружины равна $\pi D n$. Подставив это в формулу угла закручивания и пересчитав поворот сечения в осевое перемещение, получают осадку:

$$\lambda = \frac{8 F D^3 n}{G d^4}, \qquad c = \frac{F}{\lambda} = \frac{G d^4}{8 D^3 n}.$$

Отсюда две практические вещи. Первая: пружина чувствительна к диаметру проволоки в четвёртой степени, и всего 10 % прибавки к $d$ дают рост жёсткости на 46 %. Вторая: диаметр витка входит в куб и работает в обратную сторону, так что увеличение $D$ на те же 10 % делает пружину мягче на 25 %. Именно поэтому допуски на проволоку в чертеже пружины жёстче, чем кажется. Модуль сдвига $G$, связывающий касательное напряжение с углом перекоса, разобран отдельно в материале про чистый сдвиг и закон Гука при сдвиге, а сама теория кручения проволоки повторяет расчёт касательных напряжений в круглом валу.

Коэффициент кривизны: почему без него ответ занижен

Формула $\tau = 8 F D / (\pi d^3)$ описывает прямой стержень. У витка внутреннее волокно лежит на меньшем радиусе, длина его дуги меньше, а угол закручивания тот же, поэтому деформация сдвига там больше. Плюс к этому добавляется перерезывающая сила, которая на внутренней стороне складывается с напряжением кручения, а на наружной вычитается.

Обе поправки сведены в коэффициент $k$, и чем «круче» виток, тем он больше:

В нашей задаче без поправки вышло бы $298{,}4$ МПа вместо $370{,}4$ МПа, то есть занижение на 24 %. Для пружины, работающей циклически, такая ошибка означает разницу между расчётным ресурсом и поломкой через месяц. Кроме формулы Валя в задачниках встречается формула Бергштрессера $k = (4i + 2)/(4i - 3)$, она даёт для нашего индекса $1{,}227$ - разница с Валем меньше процента, и в учебной работе годится любая, если её честно назвать.

Обратная задача: подобрать пружину под нагрузку

Чаще на курсовом дают не готовые размеры, а требование: обеспечить силу $F$ при осадке $\lambda$. Порядок расчёта тогда меняется. Сначала из условия прочности назначают диаметр проволоки, потом из требуемой жёсткости - число витков.

Пусть нужна та же осадка $14{,}65$ мм, но под нагрузкой 500 Н. Требуемая жёсткость $c = 500 / 14{,}65 = 34{,}13$ Н/мм. Проверим проволоку 4 мм при том же диаметре витка: $\tau = 617$ МПа против допускаемых 480 - не проходит. Берём $d = 5$ мм, тогда индекс $i = 5$, коэффициент $k = 1{,}311$ и напряжение $\tau = 333{,}7$ МПа, условие выполняется с запасом.

Число витков находится из формулы жёсткости обратным ходом:

$$n = \frac{G d^4}{8 D^3 c} = \frac{8 \cdot 10^4 \cdot 625}{8 \cdot 15625 \cdot 34{,}13} = 11{,}7 \ \to \ 11{,}5 \ \text{витка}.$$

Витки округляют до половины (пружину навивают с шагом в полвитка), после чего пересчитывают жёсткость по факту: $c = 34{,}78$ Н/мм и осадка $14{,}38$ мм вместо 14,65. Такое расхождение в пределах пары процентов нормально и в пояснительной записке оговаривается одной строкой. Дальше пружину привязывают к остальному узлу - так же, как подбирают муфту по расчётному моменту, сверяясь с посадочными размерами соседних деталей.

Частые ошибки

• Подставляют наружный диаметр вместо среднего. В чертеже часто стоит $D_{\text{нар}}$, а в формулу идёт $D = D_{\text{нар}} - d$. Разница 29 мм против 25 мм даёт жёсткость в 1,56 раза меньше, потому что диаметр входит в куб.
• Считают по полному числу витков. В формулу жёсткости идут только рабочие витки: опорные поджаты и не деформируются. Взять 9,5 вместо 8 значит занизить жёсткость на 16 %.
• Забывают коэффициент кривизны. Прямая формула кручения занижает напряжение на 20-40 % в зависимости от индекса, и проверка на прочность превращается в фикцию.
• Путают размерности модуля сдвига. $G$ подставляют в МПа, то есть в Н/мм², вместе с размерами в миллиметрах. Гигапаскали без перевода уменьшают жёсткость в тысячу раз.
• Проверяют прочность только по рабочей нагрузке. Если пружину можно дожать до смыкания витков, считать надо по силе $F_3$: здесь это 368,6 Н и 455 МПа вместо 370,4.
• Не смотрят на гибкость. При $H_0 / D > 2{,}5$ пружина теряет устойчивость и выпучивается вбок, поэтому её ставят на направляющий стержень или в стакан.

FAQ

Зависит ли жёсткость от свободной высоты пружины? Нет. В формулу входят диаметр проволоки, диаметр витка и число рабочих витков, а высота и шаг задают только ход до смыкания витков. Две пружины с одинаковыми $d$, $D$ и $n$, но разным шагом имеют одну и ту же жёсткость и разный запас хода.

Как изменится жёсткость, если пружину разрезать пополам? Вырастет вдвое: число рабочих витков уменьшилось вдвое, а жёсткость обратно пропорциональна $n$. По той же причине две одинаковые пружины, поставленные одна за другой, дают вдвое меньшую суммарную жёсткость, а поставленные рядом - вдвое большую.

Какое допускаемое напряжение брать для пружинной стали? Для пружин II класса из стали 60С2А берут $[\tau] = 480$ МПа, для 65Г около 400 МПа, для 50ХФА до 560 МПа. Значение зависит не только от марки, но и от класса пружины: при большом числе циклов его снижают, при статической нагрузке допускают выше.

Как связать жёсткость с частотой колебаний груза на пружине? Через ту же величину $c$: период определяется массой и жёсткостью, и найденные здесь 20,48 Н/мм подставляются в динамический расчёт напрямую. Подробнее это разобрано в материале про колебания точки на пружине.

Коротко

1. Найди индекс пружины $i = D / d$ по среднему, а не по наружному диаметру витка: здесь $25 / 4 = 6{,}25$, диапазон $4 \ldots 12$.
2. Посчитай жёсткость $c = G d^4 / (8 D^3 n)$ по рабочим виткам: $20{,}48$ Н/мм при $G = 8 \cdot 10^4$ МПа.
3. Раздели нагрузку на жёсткость и получи осадку: $\lambda = 300 / 20{,}48 = 14{,}65$ мм, энергия $2{,}2$ Дж.
4. Возьми коэффициент кривизны по Валю $k = 1{,}241$ и проверь проволоку на кручение: $\tau = k \cdot 8 F D / (\pi d^3) = 370{,}4$ МПа против допускаемых 480 МПа.
5. Назначь шаг с зазором $0{,}1 d$ на виток: $t = 6{,}25$ мм, высота в свободном состоянии 54 мм, при полном сжатии 36 мм, напряжение при смыкании витков 455 МПа - условие прочности выполняется на всём ходе.