Как рассчитать цепную передачу: подбор цепи и звёздочек

Дано: цепная передача в приводе конвейера, передаваемая мощность $P = 7{,}5$ кВт, частота вращения ведущей звёздочки $n_1 = 200$ об/мин, передаточное число $u = 3$, предварительное межосевое расстояние $a \approx 40t$, передача горизонтальная, нагрузка с умеренными толчками, смазка картерная, работа односменная. Найти: числа зубьев звёздочек, шаг и типоразмер цепи, делительные диаметры, число звеньев, уточнённое межосевое расстояние и проверить передачу.

Расчёт цепной передачи идёт не «на прочность звена», а на износ шарниров: шаг цепи подбирают так, чтобы давление в шарнире не превысило допускаемого, а потом проверяют результат на разрыв. Ответ: цепь ПР-25,4-60, звёздочки на 23 и 69 зубьев, делительные диаметры 186,5 и 558,1 мм, 128 звеньев, межосевое расстояние 1024 мм; давление в шарнире 26,8 МПа при допускаемых 30 МПа, запас прочности 12,0 при нормативном 8,3. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: на его графике видно, что шаг 25,4 мм - первый в ряду, у которого кривая фактического давления уходит под кривую допускаемого.

Решение по шагам

Дано.

Шаг 1. Числа зубьев звёздочек. Число зубьев малой звёздочки назначают по эмпирической формуле $z_1 = 29 - 2u = 29 - 6 = 23$ и округляют до нечётного. Число зубьев большой звёздочки $z_2 = z_1 u = 23 \cdot 3 = 69$, тоже нечётное. Фактическое передаточное число $u_{\text{ф}} = 69/23 = 3{,}00$, отклонение нулевое, частота вращения ведомой звёздочки $n_2 = 200/3 = 66{,}7$ об/мин.

Шаг 2. Момент на ведущей звёздочке.

$$T_1 = \frac{9550 P}{n_1} = \frac{9550 \cdot 7{,}5}{200} = 358{,}1 \ \text{Н} \cdot \text{м}.$$

Шаг 3. Коэффициент эксплуатации. Это произведение шести поправок, каждая из которых учитывает свои условия работы передачи.

Итого $K_{\text{э}} = 1{,}25 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1{,}25$.

Шаг 4. Шаг цепи. Допускаемое давление в шарнире берут по таблице для ожидаемого шага и частоты вращения: при $n_1 = 200$ об/мин и шаге порядка 25 мм это $[p] = 30$ МПа. Число рядов цепи $m = 1$:

$$t \ge 28 \sqrt[3]{\frac{T_1 K_{\text{э}}}{z_1 [p] m}} = 28 \sqrt[3]{\frac{358{,}1 \cdot 1{,}25}{23 \cdot 30 \cdot 1}} = 28 \sqrt[3]{0{,}6488} = 24{,}2 \ \text{мм}.$$

Ближайший больший шаг стандартного ряда - 25,4 мм, ему соответствует цепь ПР-25,4-60 с разрушающей нагрузкой $Q = 60$ кН, массой метра $q = 2{,}6$ кг и проекцией опорной поверхности шарнира $A = 179{,}7$ мм².

Шаг 5. Скорость цепи и окружная сила. Цепь идёт по звёздочке не по окружности, а по многоугольнику, поэтому её скорость считают через шаг и число зубьев:

$$v = \frac{z_1 t n_1}{60\,000} = \frac{23 \cdot 25{,}4 \cdot 200}{60\,000} = 1{,}947 \ \text{м/с}, \qquad F_t = \frac{P}{v} = \frac{7500}{1{,}947} = 3851 \ \text{Н}.$$

Шаг 6. Проверка давления в шарнире.

$$p = \frac{F_t K_{\text{э}}}{A} = \frac{3851 \cdot 1{,}25}{179{,}7} = 26{,}8 \ \text{МПа} \le [p] = 30 \ \text{МПа}.$$

Шарнир загружен на 89 процентов от допускаемого - это рабочий результат: запас есть, но цепь не переразмерена.

Шаг 7. Диаметры звёздочек. Делительный диаметр звёздочки - это диаметр окружности, на которой лежат оси валиков цепи:

$$d_1 = \frac{t}{\sin(180^\circ / z_1)} = \frac{25{,}4}{\sin 7{,}826^\circ} = 186{,}5 \ \text{мм}, \qquad d_2 = \frac{t}{\sin(180^\circ / z_2)} = \frac{25{,}4}{\sin 2{,}609^\circ} = 558{,}1 \ \text{мм}.$$

Шаг 8. Число звеньев. Предварительное межосевое расстояние $a = 40t = 40 \cdot 25{,}4 = 1016$ мм. Число звеньев считают в шагах:

$$L_t = \frac{2a}{t} + \frac{z_1 + z_2}{2} + \left(\frac{z_2 - z_1}{2\pi}\right)^2 \frac{t}{a} = 80 + 46 + 1{,}34 = 127{,}34.$$

Округляем вверх до чётного: $L_t = 128$ звеньев, длина цепи $128 \cdot 25{,}4 = 3251$ мм.

Шаг 9. Уточнение межосевого расстояния. Число звеньев изменилось, значит изменилось и расстояние между валами. Обратная формула при $\varkappa = [(z_2 - z_1)/(2\pi)]^2 = 53{,}60$ и $L_t - (z_1 + z_2)/2 = 82$:

$$a = \frac{t}{4}\left[82 + \sqrt{82^2 - 8 \cdot 53{,}60}\right] = 6{,}35 \cdot (82 + 79{,}34) = 1024 \ \text{мм}.$$

Монтажное расстояние берут на 0,2...0,4 процента меньше, чтобы цепь имела провисание: $1024 \cdot 0{,}997 = 1021$ мм.

Шаг 10. Запас прочности. В натяжение ведомой ветви входят провисание и центробежная сила. Для горизонтальной передачи коэффициент провисания $K_f = 6$:

$$F_0 = 9{,}81 K_f q a = 9{,}81 \cdot 6 \cdot 2{,}6 \cdot 1{,}024 = 157 \ \text{Н}, \qquad F_v = q v^2 = 2{,}6 \cdot 1{,}947^2 = 9{,}9 \ \text{Н},$$ $$s = \frac{Q}{K_{\text{д}} F_t + F_0 + F_v} = \frac{60\,000}{1{,}25 \cdot 3851 + 157 + 9{,}9} = \frac{60\,000}{4980} = 12{,}0 \ge [s] = 8{,}3.$$

Ответ: цепь ПР-25,4-60, звёздочки $z_1 = 23$ и $z_2 = 69$, диаметры 186,5 и 558,1 мм, 128 звеньев, межосевое расстояние 1024 мм (монтажное 1021 мм); $p = 26{,}8$ МПа при $[p] = 30$ МПа, $s = 12{,}0$ при $[s] = 8{,}3$.

Формула шага и откуда она берётся

Формула с кубическим корнем выглядит подозрительно, пока не увидишь её вывод. Цепь изнашивается в шарнирах: валик трётся о втулку под давлением, и чем это давление выше, тем быстрее шаг цепи растёт от износа. Именно вытянувшаяся цепь, а не лопнувшее звено, и есть типичный конец службы передачи, поэтому основным расчётом здесь стал расчёт на износостойкость.

Условие износостойкости записывается просто: $p = F_t K_{\text{э}} / A \le [p]$. Окружная сила выражается через момент и делительный диаметр, а делительный диаметр - через шаг: $F_t = 2T_1/d_1 = 2T_1 \sin(180^\circ/z_1)/t$. Площадь проекции шарнира у роликовых цепей пропорциональна квадрату шага, $A \approx 0{,}28 t^2$: у ПР-25,4-60 это даёт 180,6 мм² против табличных 179,7 мм².

Подставив оба выражения в условие, получаем $t^3 \ge 2T_1 \sin(180^\circ/z_1) K_{\text{э}} / (0{,}28 [p])$. Синус малого угла почти равен самому углу в радианах, то есть $\pi/z_1$, и после арифметики перед корнем остаётся коэффициент около 28. Так эмпирическая на вид формула оказывается обычным условием прочности на смятие, свёрнутым к одной переменной.

Отсюда же понятно, почему шаг так резко решает дело: давление падает примерно как куб шага. На графике калькулятора при шаге 19,05 мм давление получается 60,7 МПа, а на следующем шаге 25,4 мм - уже 26,8 МПа, вдвое с лишним меньше. Промежуточных значений нет, ряд шагов дискретен, поэтому расчёт всегда заканчивается перебором по таблице.

Почему числа зубьев берут нечётными

Формула $z_1 = 29 - 2u$ связывает число зубьев с передаточным числом: чем оно больше, тем сильнее цепь перегибается на малой звёздочке и тем меньше зубьев имеет смысл оставлять. Нижняя граница - 13 зубьев для тихоходных передач и 19 для быстроходных: на малом числе зубьев цепь начинает двигаться рывками из-за многоугольного эффекта, скорость звена внутри одного оборота колеблется тем сильнее, чем крупнее угол между зубьями.

Нечётность - требование другого рода. Число звеньев цепи всегда чётное, и если число зубьев тоже чётное, один и тот же зуб постоянно встречается с одним и тем же звеном. Износ концентрируется на нескольких парах. При нечётном числе зубьев звенья перебираются по кругу, и выработка распределяется по всему венцу. По той же причине нечётным стараются делать и $z_2$.

Верхняя граница большой звёздочки - 120 зубьев. Причина в износе: когда шаг вытянутой цепи вырастает, её звенья поднимаются по профилю зуба к вершине, и у звёздочки с большим числом зубьев такой подъём приводит к соскакиванию цепи раньше, чем цепь выработает ресурс. Если требуемое передаточное число не укладывается в этот диапазон, передачу разбивают на две ступени или ставят перед ней редуктор, где передаточное число считают по числам зубьев зубчатых колёс.

Чем цепная передача отличается от ремённой и зубчатой

Цепь не проскальзывает, поэтому передаточное число у неё строго постоянно и равно отношению чисел зубьев - как в зубчатой передаче, где геометрию считают через модуль зацепления. В отличие от зубчатой, цепь работает при межосевых расстояниях в несколько метров и не требует корпуса с точной соосностью валов.

От ремённой передачи цепную отличает отсутствие предварительного натяжения. Ремень тянет за счёт трения, поэтому клиновой ремень натягивают с большой силой, и эта сила целиком ложится на валы. У цепи ведомая ветвь натянута только собственным весом, и нагрузка на валы примерно в полтора-два раза меньше при той же передаваемой мощности. В нашем примере $F_0 = 157$ Н против сотен и тысяч ньютонов у ремня, и это заметно облегчает подбор диаметра вала.

Плата за это - шум, потребность в смазке и ограничение по скорости. Допустимая скорость цепи составляет около 15 м/с, а практически передачу стараются держать ниже 10 м/с: с ростом скорости растут удары звена о зуб, и износ идёт лавинообразно. Наша скорость 1,95 м/с далека от предела, что типично для тихоходных приводов конвейеров и элеваторов, где цепь как раз и применяют чаще всего.

Частые ошибки

• Считают скорость цепи по формуле окружности $v = \pi d n / 60\,000$. Цепь обходит звёздочку по вписанному многоугольнику, правильная формула $v = z_1 t n_1 / 60\,000$. При 23 зубьях разница около 0,3 процента, при 13 зубьях - уже больше процента.
• Подставляют момент в неправильных единицах. В формуле шага $T_1$ берут в ньютон-метрах, а результат получается в миллиметрах. Перевод момента в ньютон-миллиметры даёт шаг в десять раз больше, и в ответ попадает несуществующая цепь.
• Берут допускаемое давление без учёта оборотов. Величина $[p]$ падает с ростом частоты вращения почти вдвое в рабочем диапазоне: 35 МПа при 50 об/мин и 19 МПа при 1000 об/мин для того же шага. Таблицу приходится читать по двум входам, а после выбора шага возвращаться и уточнять значение.
• Округляют число звеньев вниз или до нечётного. Нечётное число звеньев требует переходного изогнутого звена, которое слабее обычного и снижает несущую способность цепи примерно на двадцать процентов. Округляют только вверх и только до чётного.
• Забывают пересчитать межосевое расстояние после округления звеньев. Расчёт вели при 1016 мм, а 128 звеньев дают 1024 мм, и именно от этого значения считают натяжение от провисания и монтажный размер.
• Проверяют цепь только на разрыв. Запас прочности в нашем примере 12,0 при норме 8,3, то есть по разрыву цепь избыточна, а по давлению в шарнире загружена на 89 процентов. Определяющим почти всегда оказывается износ, а не прочность.

FAQ

Когда ставят двухрядную цепь вместо однорядной? Когда однорядная по расчёту требует шага крупнее 38,1 мм или когда габарит звёздочки не влезает в компоновку. Число рядов $m$ входит в формулу шага делителем, а несущая способность растёт не пропорционально: коэффициент рядности равен 1,7 для двух рядов и 2,5 для трёх, потому что нагрузка между рядами распределяется неравномерно.

Как выбрать межосевое расстояние, если оно не задано? Оптимальный диапазон - от 30 до 50 шагов, в расчётах обычно принимают $a = 40t$. Меньше 30 шагов угол обхвата малой звёздочки становится недостаточным, а цепь чаще заходит на зубья и быстрее изнашивается. Больше 50 шагов ведомая ветвь сильно провисает и начинает бить по раме, поэтому такие передачи снабжают натяжной звёздочкой или опорной шиной.

Почему у цепной передачи нужен запас регулировки? Цепь вытягивается по мере износа шарниров, и допустимым считают увеличение шага примерно на 3 процента. Компенсируют это перемещением одного из валов или натяжной звёздочкой, поэтому в компоновке сразу закладывают ход около двух шагов. Когда регулировки не хватило, из цепи удаляют два звена.

Совпадает ли момент на ведомой звёздочке с произведением $T_1 u$? Нет, его надо умножить ещё и на коэффициент полезного действия передачи, который для цепной передачи с картерной смазкой составляет 0,96...0,98. Дальше этот момент идёт на вал ведомой машины и в расчёт соединяющей их муфты.

Коротко

1. Числа зубьев: $z_1 = 29 - 2u = 23$, $z_2 = z_1 u = 69$, оба нечётные; фактическое передаточное число 3,00, обороты ведомой звёздочки 66,7 об/мин.
2. Момент $T_1 = 9550 P / n_1 = 358{,}1$ Н·м, коэффициент эксплуатации $K_{\text{э}} = 1{,}25$, допускаемое давление $[p] = 30$ МПа при 200 об/мин.
3. Шаг $t \ge 28\sqrt[3]{T_1 K_{\text{э}} / (z_1 [p] m)} = 24{,}2$ мм округляется вверх по ряду до 25,4 мм: цепь ПР-25,4-60, $A = 179{,}7$ мм², $Q = 60$ кН, $q = 2{,}6$ кг/м.
4. Проверки: $v = z_1 t n_1 / 60\,000 = 1{,}947$ м/с, $F_t = P/v = 3851$ Н, $p = F_t K_{\text{э}} / A = 26{,}8$ МПа против 30 МПа и $s = Q/(K_{\text{д}} F_t + F_0 + F_v) = 12{,}0$ против 8,3.
5. Геометрия: $d_1 = 186{,}5$ мм, $d_2 = 558{,}1$ мм, $L_t = 127{,}34 \to 128$ звеньев, межосевое расстояние 1024 мм, монтажное 1021 мм.