Как выбрать радиальный подшипник: расчёт ресурса

Дано: опора вала под подшипник диаметром $d = 40$ мм, радиальная нагрузка $F_r = 3000$ Н, осевая $F_a = 900$ Н, частота вращения $n = 960$ об/мин, нагрузка с умеренными толчками, требуемый ресурс $L_{10h} = 10\,000$ ч. Найти: типоразмер радиального однорядного шарикоподшипника и его расчётный ресурс.

Выбор идёт в два приёма: осевая и радиальная силы сворачиваются в одну эквивалентную нагрузку $P$, а затем ресурс считается по отношению динамической грузоподъёмности к этой нагрузке в кубе. Подшипник лёгкой серии 208 даёт только 7420 ч и требование не выполняет, поэтому берём средний подшипник 308 с ресурсом около 14 300 ч. Калькулятор сверху пересчитывает все четыре серии сразу под свои нагрузки и обороты.

Решение по шагам

Дано. $d = 40$ мм, $F_r = 3000$ Н, $F_a = 900$ Н, $n = 960$ об/мин, $L_{10h}^{\text{треб}} = 10\,000$ ч, коэффициент безопасности $K_{\text{б}} = 1{,}3$ (умеренные толчки), температурный коэффициент $K_{\text{т}} = 1{,}0$, вращается внутреннее кольцо, поэтому $V = 1$.

Шаг 1. Выписываем кандидатов. Диаметр посадочного места вала задан, значит две последние цифры обозначения фиксированы: $40/5 = 8$. Остаются четыре серии по ГОСТ 8338-75, отличающиеся наружным диаметром и шириной:

Начинаем с самого лёгкого варианта, который выглядит правдоподобно по нагрузке, - с подшипника 208.

Шаг 2. Параметр осевого нагружения $e$. Коэффициенты $X$ и $Y$ зависят не от осевой силы как таковой, а от её отношения к статической грузоподъёмности:

$$\frac{F_a}{C_0} = \frac{900}{17\,800} = 0{,}0506.$$

По таблице ГОСТ 18855 интерполяцией между строками 0,028 и 0,056 получаем $e = 0{,}252$ и $Y = 1{,}764$.

Шаг 3. Сравниваем с $e$ и берём коэффициенты. Считаем отношение осевой силы к радиальной с учётом коэффициента вращения:

$$\frac{F_a}{V F_r} = \frac{900}{1 \cdot 3000} = 0{,}300 > e = 0{,}252,$$

значит осевая сила «работает» и её нельзя отбрасывать: $X = 0{,}56$, $Y = 1{,}764$.

Шаг 4. Эквивалентная динамическая нагрузка.

$$P = (X V F_r + Y F_a) K_{\text{б}} K_{\text{т}} = (0{,}56 \cdot 3000 + 1{,}764 \cdot 900) \cdot 1{,}3 = 3268 \cdot 1{,}3 = 4248 \text{ Н}.$$

Шаг 5. Ресурс подшипника 208. Для шариковых подшипников показатель степени $p = 3$:

$$L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^3 = \left(\frac{32\,000}{4248}\right)^3 = 7{,}53^3 = 427 \text{ млн об.}$$ $$L_{10h} = \frac{10^6 L_{10}}{60 n} = \frac{427 \cdot 10^6}{60 \cdot 960} = 7420 \text{ ч} < 10\,000 \text{ ч.}$$

Не проходит: до требуемого ресурса не хватает четверти. Переходим на следующую серию.

Шаг 6. Пересчёт для подшипника 308. Статическая грузоподъёмность выросла, поэтому таблица даёт другие коэффициенты: $F_a / C_0 = 900/22\,400 = 0{,}0402$, отсюда $e = 0{,}237$ и $Y = 1{,}868$. Отношение $F_a/(V F_r) = 0{,}300$ по-прежнему больше $e$, так что $X = 0{,}56$:

$$P = (0{,}56 \cdot 3000 + 1{,}868 \cdot 900) \cdot 1{,}3 = 3360 \cdot 1{,}3 = 4370 \text{ Н},$$ $$L_{10} = \left(\frac{41\,000}{4370}\right)^3 = 9{,}39^3 = 826 \text{ млн об}, \qquad L_{10h} = \frac{826 \cdot 10^6}{57\,600} = 14\,340 \text{ ч.}$$

Ответ. Подходит радиальный однорядный шарикоподшипник 308 (ГОСТ 8338-75, $D \times B = 90 \times 23$ мм, $C = 41{,}0$ кН): эквивалентная нагрузка 4370 Н, расчётный ресурс 826 млн оборотов или около 14 300 ч, запас по ресурсу 1,43.

Формула ресурса и откуда она берётся

Базовый расчётный ресурс - это наработка, которую выдержат 90 % подшипников партии до появления первых признаков усталостного выкрашивания. Отсюда индекс 10 в обозначении $L_{10}$: отказать за это время имеют право 10 % изделий. Связь ресурса с нагрузкой экспериментальная и выражается степенным законом:

$$L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^{p}, \qquad p = 3 \text{ (шариковые)}, \qquad p = \frac{10}{3} \text{ (роликовые)}.$$

Динамическая грузоподъёмность $C$ - это паспортная характеристика подшипника: такая постоянная нагрузка, при которой ресурс равен ровно одному миллиону оборотов. Её берут из каталога, а не считают. Куб в формуле означает, что перегрузка на 26 % уполовинивает срок службы, и наоборот: подшипник, нагруженный вдвое слабее, живёт в восемь раз дольше.

Ресурс в миллионах оборотов неудобен для сравнения с режимом работы машины, поэтому его переводят в часы через частоту вращения:

$$L_{10h} = \frac{10^6}{60 n} \left(\frac{C}{P}\right)^{p}.$$

Обратная задача решается той же формулой, только относительно $C$. Если ресурс задан техническим заданием, требуемая грузоподъёмность равна

$$C_{\text{треб}} = P \sqrt[p]{\frac{60 n L_{10h}}{10^6}} = 4370 \cdot \sqrt[3]{576} = 36{,}4 \text{ кН},$$

и дальше из каталога берётся ближайший типоразмер с $C \geq C_{\text{треб}}$. Для нашей задачи это тот же подшипник 308: у серии 208 грузоподъёмность 32,0 кН, и до 36,4 кН она не дотягивает.

Эквивалентная нагрузка: как получаются X и Y

Подшипник нагружен двумя силами сразу, а формула ресурса принимает только одну. Эквивалентная нагрузка $P$ - это та радиальная сила, которая изнашивает подшипник так же, как реальная комбинация $F_r$ и $F_a$:

$$P = (X V F_r + Y F_a) K_{\text{б}} K_{\text{т}}.$$

Коэффициент вращения $V = 1$, когда вращается внутреннее кольцо, и $V = 1{,}2$, когда наружное: при вращении наружного кольца зона нагружения перемещается по внутреннему, и дорожка изнашивается быстрее. Коэффициент безопасности $K_{\text{б}}$ учитывает характер нагрузки: 1,0 при спокойной работе, 1,3 при умеренных толчках, до 1,8 при ударной. Температурный коэффициент $K_{\text{т}}$ равен единице до 100 градусов и растёт выше.

Коэффициенты $X$ и $Y$ выбираются по двум условиям сразу. Сначала по отношению $F_a/C_0$ находят параметр $e$, потом сравнивают с ним отношение $F_a/(V F_r)$:

Если $F_a/(V F_r) \leq e$, осевая сила воспринимается подшипником «бесплатно»: $X = 1$, $Y = 0$, и эквивалентная нагрузка равна просто $V F_r K_{\text{б}} K_{\text{т}}$. Если больше, то $X = 0{,}56$, а $Y$ берётся из той же строки таблицы. Промежуточные значения интерполируют линейно - именно так в шаге 2 получились числа 0,252 и 1,764.

Когда шарикоподшипник не подходит

Радиальный шарикоподшипник - вариант по умолчанию: он дешевле всех, допускает перекос до 10 угловых минут и держит умеренную осевую силу. Но три ситуации выводят его из игры. Первая: требуемая грузоподъёмность не набирается даже в тяжёлой серии. Наружный диаметр опоры растёт быстрее ресурса, и вместо 408-го разумнее поставить роликовый подшипник того же габарита - у него больше площадь контакта и показатель $p = 10/3$. Вторая: осевая сила соизмерима с радиальной ($F_a > F_r$), тогда нужен радиально-упорный подшипник с углом контакта. Третья: вал вращается очень медленно или стоит под нагрузкой, и усталость не успевает накопиться - такой подшипник считают не по ресурсу, а по статической грузоподъёмности, сравнивая $C_0$ с приведённой статической нагрузкой $P_0 = 0{,}6 F_r + 0{,}5 F_a$ (но не меньше $F_r$). В нашей задаче $P_0 = 3000$ Н и запас $C_0/P_0 = 7{,}5$, так что статика не лимитирует.

Радиальная нагрузка $F_r$ в таких задачах почти никогда не дана прямо: это реакция опоры от сил в зацеплении или от натяжения ремня, её находят из уравнений равновесия вала - как в разборе реакций опор балки. Частота вращения на промежуточном валу берётся из передаточного числа редуктора, а диаметр посадочного места - из расчёта диаметра вала с округлением до кратного пяти.

Частые ошибки

• Сравнивают $F_a$ с $e$ напрямую. Параметр $e$ безразмерный, с ним сравнивают отношение $F_a/(V F_r)$, а само $e$ ищут по другому отношению - $F_a/C_0$. Две разные дроби в двух соседних строках решения, и их постоянно меняют местами.
• Подставляют $C$ вместо $C_0$ при поиске $e$. Параметр осевого нагружения определяется через статическую грузоподъёмность. С динамической $e$ получится вдвое меньше, а $Y$ - завышенным.
• Забывают про $K_{\text{б}}$. Коэффициент безопасности входит множителем в $P$, а $P$ стоит в кубе: потерянный множитель 1,3 завышает ресурс в 2,2 раза.
• Смешивают единицы. $C$ в каталоге дана в килоньютонах, а нагрузки в задаче - в ньютонах. Отношение $C/P$ должно получаться безразмерным числом порядка 5-15; если вышло 0,008 или 9000, перепутаны килоньютоны с ньютонами.
• Берут показатель $p = 3$ для роликового подшипника. У роликовых $p = 10/3$, ресурс получается заметно больше, и занижать его - значит без нужды раздувать опору.
• Делят миллионы оборотов на обороты в минуту. В переводе в часы участвует произведение $60 n$: минуты в часе тоже нужно учесть, иначе ответ будет меньше в 60 раз.

FAQ

Что означают цифры в обозначении 308? Две последние цифры, умноженные на 5, дают диаметр отверстия в миллиметрах: 08 соответствует 40 мм (правило работает начиная с номера 04). Третья справа цифра - серия по наружному диаметру: 1 особо лёгкая, 2 лёгкая, 3 средняя, 4 тяжёлая. Первая цифра слева от них кодирует тип подшипника, и у радиального однорядного шарикового она нулевая, поэтому её не пишут.

Можно ли взять подшипник с запасом по ресурсу в несколько раз? Можно, но за это платят габаритом опоры, массой и ценой корпуса. Нормальным считается запас от 1,1 до 2 по ресурсу; если получается десятикратный, серия выбрана слишком тяжёлой, и стоит вернуться на шаг вниз.

Что делать, если осевой нагрузки нет совсем? При $F_a = 0$ отношение $F_a/(V F_r)$ равно нулю и заведомо меньше $e$, поэтому $X = 1$, $Y = 0$ и эквивалентная нагрузка сводится к $P = V F_r K_{\text{б}} K_{\text{т}}$. Таблицу с $e$ смотреть вообще не нужно.

Почему в каталогах ресурс иногда называют $L_{10}$, а иногда $L_{nm}$? $L_{10}$ - базовый ресурс при 90 % надёжности и идеальной смазке. Скорректированный ресурс $L_{nm} = a_1 a_{\text{ISO}} L_{10}$ дополнительно учитывает другую надёжность (коэффициент $a_1$), качество смазочной плёнки и загрязнение. В учебных задачах обычно ограничиваются базовым ресурсом.

Коротко

1. Зафиксируй диаметр посадочного места по валу - он задаёт две последние цифры обозначения, выбирать остаётся только серию.
2. Найди $e$ по отношению $F_a/C_0$, сравни с ним $F_a/(V F_r)$ и возьми $X$ и $Y$: при малой осевой силе $X = 1$, $Y = 0$, иначе $X = 0{,}56$.
3. Посчитай эквивалентную нагрузку $P = (X V F_r + Y F_a) K_{\text{б}} K_{\text{т}}$.
4. Получи ресурс $L_{10} = (C/P)^3$ в миллионах оборотов и переведи в часы: $L_{10h} = 10^6 L_{10} / (60 n)$; не хватает до требуемого - бери следующую серию.
5. Для условия $d = 40$ мм, $F_r = 3000$ Н, $F_a = 900$ Н, $n = 960$ об/мин и 10 000 ч ответ: подшипник 308, $P = 4370$ Н, ресурс около 14 300 ч.